Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını inceledim. Şimdi gel, bu soruları birlikte adım adım, kolayca anlayacağın bir şekilde çözelim. Rasyonel ve irrasyonel sayılar konusunu bu sayede iyice pekiştirmiş olacağız.
***
Etkinlik Bölümü
Öncelikle etkinlikteki sayıları rasyonel ve irrasyonel olarak gruplandırmamız isteniyor. Hatırlayalım: Rasyonel sayılar, a/b şeklinde (yani kesir olarak) yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise bu şekilde yazılamayan, virgülden sonraki kısmı düzensiz bir şekilde sonsuza dek devam eden sayılardır.
Soru: Yukarıda verilen sayılardan rasyonel sayı olanları yandaki yeşil dairenin içine yerleştirelim.
Çözüm:
Sayılarımızı tek tek inceleyelim ve rasyonel olanları bulalım:
- 3 → Bir tam sayıdır. Her tam sayının paydasına 1 yazabileceğimiz için (3/1), bu bir rasyonel sayıdır.
- 0,5 → Bir ondalık sayıdır. 5/10 olarak yazılabilir. Bu bir rasyonel sayıdır.
- -1/5 → Zaten a/b şeklinde yazılmış. Bu bir rasyonel sayıdır.
- √25 → Karekök 25, “hangi sayının karesi 25’tir?” demektir. Cevap 5’tir. 5 bir tam sayı olduğu için (5/1), bu bir rasyonel sayıdır.
- 2 → Bir tam sayıdır ve 2/1 olarak yazılabilir. Bu bir rasyonel sayıdır.
- 150 → Bir tam sayıdır ve 150/1 olarak yazılabilir. Bu bir rasyonel sayıdır.
Sonuç olarak, yeşil daireye yerleştireceğimiz sayılar şunlardır: 3, 0.5, -1/5, √25, 2, 150
Soru: Yeşil dairenin içine yerleştiremediğimiz sayıları, mavi dairenin içine yerleştirelim. Mavi dairenin içine yerleştirdiğiniz sayıların ortak özelliğini yazınız.
Çözüm:
Adım 1: Yeşil daireye koyamadığımız sayılar hangileriydi? Geriye 2√3 ve -√7 kaldı.
Adım 2: Bu sayıları mavi daireye yerleştirelim.
Adım 3: Bu sayıların ortak özelliğini düşünelim. √3 ve √7, kök dışına tam olarak çıkamayan sayılardır. Bu tür sayılar, virgülden sonra düzensiz olarak sonsuza kadar devam ederler. Yani a/b şeklinde kesir olarak ifade edilemezler.
Sonuç: Mavi dairedeki sayıların ortak özelliği, ikisinin de irrasyonel sayı olmasıdır.
Soru: Sayıların tamamını yerleştirebileceğiniz bir daire olabilir mi? Tartışınız.
Çözüm:
Evet, olabilir! Hem rasyonel sayıları (yeşil daire) hem de irrasyonel sayıları (mavi daire) içine alan daha büyük bir küme vardır. Bu kümeye Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi diyoruz ve R harfi ile gösteriyoruz. Yani tüm bu sayıları tek bir “Gerçek Sayılar” dairesine yerleştirebiliriz.
***
Aşağıdaki Sayıları Sınıflandırma Bölümü
Soru: Aşağıda verilen sayılardan hangilerinin rasyonel, hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu belirleyelim.
a) √81
Çözüm:
Adım 1: √81 sayısının değerini bulalım. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 81 eder?” diye düşünüyoruz. 9 x 9 = 81 olduğunu biliyoruz.
Adım 2: Bu durumda √81 = 9’dur.
Adım 3: 9 sayısı bir tam sayıdır ve 9/1 şeklinde kesir olarak yazılabilir. a/b şeklinde yazılabildiği için √81 rasyonel bir sayıdır.
b) 2,3654…
Çözüm:
Adım 1: Sayının sonundaki üç nokta (…) bize bu sayının ondalık kısmının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir.
Adım 2: Rakamların tekrar eden bir düzeni (yani devreden bir kısmı) var mı diye bakalım: 3, 6, 5, 4… Belirli bir tekrar düzeni göremiyoruz.
Adım 3: Virgülden sonraki kısmı hem sonsuza gidiyorsa hem de düzensiz bir şekilde devam ediyorsa, bu sayıyı a/b şeklinde yazamayız. Bu yüzden 2,3654… irrasyonel bir sayıdır.
c) 1,572
Çözüm:
Adım 1: Bu ondalık sayının sonunda üç nokta (…) yok. Bu, sayının bittiği anlamına gelir. Bu tür sayılara “sonlu ondalık gösterim” deriz.
Adım 2: Bütün sonlu ondalık gösterimler kesir olarak yazılabilir. Sayıyı virgülsüz olarak paya (1572), paydaya ise 1’in yanına virgülden sonraki basamak sayısı kadar (3 tane) sıfır koyarak yazarız.
Adım 3: Yani, 1,572 = 1572/1000 olur. Gördüğün gibi a/b şeklinde yazabildik. Bu yüzden 1,572 rasyonel bir sayıdır.
ç) 0,2
Çözüm:
Adım 1: Sayının üzerindeki çizgi, 2 rakamının sonsuza kadar tekrar ettiği anlamına gelir. Yani bu sayı aslında 0,2222… şeklindedir. Bu sayılara “devirli ondalık sayılar” diyoruz.
Adım 2: Devirli ondalık sayıları kesre çevirmek için bir kuralımız vardı. Bu kurala göre bu sayı 2/9’a eşittir.
Adım 3: Sayıyı 2/9 yani a/b şeklinde yazabildiğimiz için 0,2 rasyonel bir sayıdır.Unutma, bir sayının ondalık kısmı sonsuza gitse bile eğer düzenli bir tekrar varsa o sayı rasyoneldir!
d) √10
Çözüm:
Adım 1: “Hangi tam sayının kendisiyle çarpımı 10 eder?” diye soralım. Böyle bir tam sayı olmadığını hemen fark ederiz. (Çünkü 3²=9 ve 4²=16’dır).
Adım 2: 10 sayısı bir tam kare sayı değildir. Bu yüzden √10 kök dışına tam sayı olarak çıkamaz.
Adım 3: Kök dışına tam olarak çıkamayan bu tür sayılar (tam kare olmayan sayıların karekökleri) irrasyonel sayılardır.
e) π
Çözüm:
Adım 1: Pi (π) sayısını çember hesaplamalarından tanıyoruz. Sorularda bize kolaylık olsun diye yaklaşık değerini 3 veya 3,14 almamız istenir.
Adım 2: Ancak Pi sayısının gerçek değeri 3,14159265… şeklinde başlar ve virgülden sonraki rakamları hiçbir düzen olmadan sonsuza kadar devam eder.
Adım 3: Bu özelliği nedeniyle Pi sayısı, a/b şeklinde yazılamaz ve irrasyonel sayıların en bilinen örneğidir.
Umarım açıklamalarım konuyu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Başarılar dilerim