Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle doğrusal ilişkiler konusunu pekiştirmek için kitabımızdaki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, günlük hayattan örneklerle konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacak. Hazırsanız, haydi başlayalım! Unutmayın, matematiği anlamanın en güzel yolu adım adım ilerlemektir.
—
Soru 1:Lokanta sahibi Fatih Bey, 1 hafta boyunca lokantasına günlük gelen müşteri sayısını not ederek yandaki tabloyu oluşturdu. Tabloya göre müşteri sayısı ile geçen gün sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirten denklemi yazınız. Tablodaki verilerle bir grafik oluşturarak grafiği yorumlayınız. Bağımlı ve bağımsız değişkeni belirleyiniz.
Haydi bu soruyu birlikte inceleyelim. Tabloya baktığımızda çok ilginç bir durum var, değil mi? Her gün aynı sayıda müşteri gelmiş.
Adım 1: Tabloyu Analiz Edelim
Tabloya baktığımızda, 1. gün, 2. gün, 3. gün… ve 7. gün, lokantaya gelen müşteri sayısının hep 55 olduğunu görüyoruz. Yani geçen gün sayısı artsa da müşteri sayısı hiç değişmiyor.
Adım 2: Denklemi Yazalım
Bu tür ilişkilere sabit fonksiyon diyoruz. Yani bir değişken artarken diğeri hep sabit kalıyor. Burada geçen gün sayısına x, müşteri sayısına da y diyelim. Gün sayısı ne olursa olsun (x=1, x=2, …), müşteri sayısı (y) hep 55’tir. Bu yüzden denklemimiz çok basit:
y = 55
Bu denklem, “x ne olursa olsun, y her zaman 55’tir” anlamına gelir.
Adım 3: Grafiği Oluşturalım ve Yorumlayalım
Grafiği çizerken yatay eksene (x ekseni) günleri, dikey eksene (y ekseni) ise müşteri sayısını yazarız.
- 1. günde müşteri sayısı 55. (Noktamız: (1, 55))
- 2. günde müşteri sayısı 55. (Noktamız: (2, 55))
- 3. günde müşteri sayısı 55. (Noktamız: (3, 55))
Bu şekilde devam ettiğimizde, tüm noktaların y=55 hizasında olduğunu görürüz. Bu noktaları birleştirdiğimizde, x eksenine paralel, düz bir çizgi elde ederiz.
Grafiğin Yorumu: Bu grafik bize, bir hafta boyunca lokantaya gelen müşteri sayısının değişmediğini ve sabit kaldığını göstermektedir.
Adım 4: Bağımlı ve Bağımsız Değişkenleri Belirleyelim
Bağımsız değişken, bizim kontrolümüzde olan veya kendiliğinden değişen değişkendir. Burada zaman (günler) ilerliyor. Bu yüzden;
Bağımsız Değişken:Geçen Gün Sayısı (x)
Bağımlı değişken, bağımsız değişkene göre değeri belirlenen değişkendir. Burada müşteri sayısı, gün sayısına göre belirleniyor (her ne kadar değişmese de).
Bağımlı Değişken:Müşteri Sayısı (y)
—
Soru 2:Ece, telefonuna 50 TL yüklemiştir ve her gün bu miktarın 10 TL’sini kullanmaktadır. Telefonda TL kalmadığında eksili değerlere düştüğü bilinmektedir. Buna göre, 1 hafta boyunca geçen gün sayısı ile telefondaki TL miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirten tabloyu, denklemi ve grafiği oluşturarak yorumlayınız.
Bu soru, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir para harcama durumu. Gelin adım adım çözelim.
Adım 1: Tabloyu Oluşturalım
Başlangıçta (0. gün) 50 TL var. Her gün 10 TL azalacak. Geçen gün sayısına x, kalan TL miktarına y diyelim.
- Başlangıç (x=0): 50 TL
- 1. gün sonunda (x=1): 50 – 10 = 40 TL
- 2. gün sonunda (x=2): 40 – 10 = 30 TL
- 3. gün sonunda (x=3): 30 – 10 = 20 TL
- 4. gün sonunda (x=4): 20 – 10 = 10 TL
- 5. gün sonunda (x=5): 10 – 10 = 0 TL
- 6. gün sonunda (x=6): 0 – 10 = -10 TL
- 7. gün sonunda (x=7): -10 – 10 = -20 TL
Adım 2: Denklemi Yazalım
Kalan para (y), başlangıçtaki paradan (50 TL), geçen her gün (x) için harcanan 10 TL’nin çıkarılmasıyla bulunur. Yani;
y = 50 – 10x
Bu denklem, x yerine gün sayısını koyduğumuzda bize kalan parayı (y) verir.
Adım 3: Grafiği Oluşturalım ve Yorumlayalım
Yatay eksene (x) günleri, dikey eksene (y) kalan TL miktarını yazalım. Tablodaki noktaları (0, 50), (1, 40), (2, 30), … (5, 0), (6, -10) grafikte işaretleyip birleştirdiğimizde, aşağı doğru eğimli düz bir çizgi elde ederiz.
Grafiğin Yorumu: Grafik, zaman ilerledikçe Ece’nin telefonundaki para miktarının doğrusal (düzenli) bir şekilde azaldığını göstermektedir. Grafik, 5. günde x eksenini keser, bu da paranın o gün bittiği anlamına gelir. Sonrasında ise eksiye düşmeye devam eder.
—
Soru 3:Bir tiyatroda oynanan oyunun bilet fiyatı 20 TL’dir. Buna göre, tiyatroda satılan bilet sayısı ile elde edilen kazanç (TL) arasındaki doğrusal ilişkiyi belirten tabloyu, denklemi ve grafiği oluşturarak yorumlayınız.
Bu da bir kazanç-hesaplama problemi. Çok basit bir mantığı var, hadi bakalım.
Adım 1: Tabloyu Oluşturalım
Satılan bilet sayısına x, elde edilen kazanca y diyelim. Her bilet 20 TL.
- 1 bilet satılırsa (x=1): 1 x 20 = 20 TL
- 2 bilet satılırsa (x=2): 2 x 20 = 40 TL
- 3 bilet satılırsa (x=3): 3 x 20 = 60 TL
- 4 bilet satılırsa (x=4): 4 x 20 = 80 TL
Adım 2: Denklemi Yazalım
Toplam kazanç (y), bilet fiyatı (20 TL) ile satılan bilet sayısının (x) çarpımına eşittir.
y = 20x
Bu denklem, satılan bilet sayısına göre ne kadar para kazanılacağını gösterir.
Adım 3: Grafiği Oluşturalım ve Yorumlayalım
Yatay eksene (x) satılan bilet sayısını, dikey eksene (y) toplam kazancı yazalım. Hiç bilet satılmazsa kazanç 0 olur, yani grafiğimiz orijinden (0,0) başlar. Sonra (1, 20), (2, 40), (3, 60) gibi noktaları birleştirdiğimizde, orijinden başlayıp yukarı doğru giden düz bir çizgi elde ederiz.
Grafiğin Yorumu: Grafik, satılan bilet sayısı arttıkça toplam kazancın da doğru orantılı ve düzenli bir şekilde arttığını göstermektedir.
—
Soru 4:Bir şehirdeki taksilerde bulunan taksimetrelerin açılış ücreti 3 TL’dir. Taksimetredeki tutar, her kilometrede 1 TL artmaktadır. Buna göre, gidilen yol (km) ile ödenen toplam ücret (TL) arasındaki doğrusal ilişkiyi belirten tabloyu, denklemi ve grafiği oluşturarak yorumlayınız.
Taksiye bindiğimizde ödeyeceğimiz parayı nasıl hesaplayacağımızı gösteren güzel bir soru!
Adım 1: Tabloyu Oluşturalım
Gidilen yola (km) x, ödenecek toplam ücrete y diyelim. Taksiye biner binmez 3 TL ödüyoruz.
- 0 km (Açılış): 3 TL
- 1 km gidilince: 3 + 1 = 4 TL
- 2 km gidilince: 3 + (2 x 1) = 5 TL
- 3 km gidilince: 3 + (3 x 1) = 6 TL
- 4 km gidilince: 3 + (4 x 1) = 7 TL
Adım 2: Denklemi Yazalım
Ödenecek toplam ücret (y), sabit açılış ücreti (3 TL) ile gidilen her kilometre (x) için ödenen 1 TL’nin toplamına eşittir.
y = 3 + 1x veya daha basitçe y = x + 3
Adım 3: Grafiği Oluşturalım ve Yorumlayalım
Yatay eksene (x) gidilen yolu (km), dikey eksene (y) toplam ücreti (TL) yazalım. Hiç yol gitmesek bile 3 TL ödediğimiz için grafiğimiz y eksenini 3’te keser, yani (0, 3) noktasından başlar. Sonra (1, 4), (2, 5) gibi noktaları birleştirerek yukarı doğru eğimli bir çizgi çizeriz.
Grafiğin Yorumu: Grafik, taksi ücretinin 3 TL’den başladığını ve gidilen her kilometre için düzenli olarak 1 TL arttığını göstermektedir. Grafiğin orijinden başlamaması, başlangıçta sabit bir ücret olduğunu gösterir.
—
Soru 5:Futbolcu olan Kaan’ın maçlarda attığı toplam gol sayıları yandaki tabloda belirtilmiştir. Tabloya göre atılan toplam gol sayısı ile maç sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirten denklemi ve grafiği oluşturunuz. Oluşturduğunuz grafiği yorumlayınız.
Son sorumuz bir sporcuyla ilgili. Tabloyu dikkatlice inceleyerek başlayalım.
Adım 1: Tabloyu Analiz Edelim ve Denklemi Yazalım
Maç sayısına x, atılan toplam gol sayısına y diyelim. Tabloyu inceleyelim:
- 1. maç sonunda toplam 2 gol (y=2, x=1)
- 2. maç sonunda toplam 4 gol (y=4, x=2)
- 3. maç sonunda toplam 6 gol (y=6, x=3)
Her seferinde toplam gol sayısının, maç sayısının 2 katı olduğunu fark ettiniz mi? Harika! O zaman denklemimiz çok açık:
y = 2x
Bu denklem, Kaan’ın maç başına ortalama 2 gol attığını ve toplam gol sayısının bu şekilde arttığını gösteriyor.
Adım 2: Grafiği Oluşturalım ve Yorumlayalım
Yatay eksene (x) maç sayısını, dikey eksene (y) atılan toplam gol sayısını yazalım. Henüz maç oynanmamışken (x=0) gol de yoktur (y=0), yani grafiğimiz orijinden (0,0) başlar. Tablodaki (1, 2), (2, 4), (3, 6) … (6, 12) noktalarını işaretleyip birleştirdiğimizde, orijinden başlayıp dik bir şekilde yukarı çıkan düz bir çizgi elde ederiz.
Grafiğin Yorumu: Grafik, Kaan’ın gollerinin sayısının oynanan maç sayısıyla doğru orantılı olarak arttığını göstermektedir. Grafiğin dikliği, Kaan’ın istikrarlı bir şekilde maç başına 2 gol attığını ve çok başarılı bir performans sergilediğini anlatır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi, doğrusal ilişkiler denklemler ve grafiklerle hayatımızın içindeki birçok durumu modellememizi sağlıyor. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, hoşça kalın!