Merhaba sevgili öğrencilerim!
Gelin, bu alıştırmaları birlikte adım adım çözelim. Kümeler konusunu pekiştirmek için harika sorular var burada. Hazırsanız, başlıyoruz!
Soru 1: Aşağıda ortak özellik yöntemi ile verilen kümeleri liste yöntemiyle gösteriniz. Kümelerin eleman sayılarını sembolle gösteriniz.
Çözüm:
Bu soruda bizden, tanımı verilen kümelerin elemanlarını tek tek yazmamız isteniyor. Buna liste yöntemi diyoruz. Sonra da her kümenin kaç elemanı olduğunu `s(…)` sembolüyle göstereceğiz.
a) T = {10’dan küçük doğal sayılar}
Adım 1: Doğal sayıların 0’dan başlayıp sonsuza kadar giden sayılar olduğunu hatırlayalım (0, 1, 2, 3, …).
Adım 2: Bizden 10’dan küçük olanları isteniyor. Öyleyse 0’dan başlayıp 9’a kadar olan sayıları yazacağız.
Sonuç:
Liste yöntemiyle: T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Bu kümenin içinde tam 10 tane sayı var. Öyleyse eleman sayısı:
s(T) = 10
b) K = {10’dan küçük olan tek doğal sayılar}
Adım 1: Yine 10’dan küçük doğal sayıları düşüneceğiz, ama bu sefer sadece tek olanları seçeceğiz.
Adım 2: 10’dan küçük tek doğal sayılar: 1, 3, 5, 7 ve 9’dur.
Sonuç:
Liste yöntemiyle: K = {1, 3, 5, 7, 9}
Bu kümenin içinde 5 tane sayı var. Öyleyse eleman sayısı:
s(K) = 5
Soru 2: A = {“Ankara” kelimesindeki harfler} ve B = {“İstanbul” kelimesindeki harfler} kümelerine göre aşağıdaki ifadeler doğru ise başındaki kutucuğa “D”, yanlış ise “Y” yazınız.
Çözüm:
Önce A ve B kümelerini liste yöntemiyle yazalım. Unutmayın, bir kümede her eleman sadece bir kez yazılır!
A = {a, n, k, r} (Ankara kelimesinde ‘a’ harfi tekrar ettiği için sadece bir kez yazdık.)
B = {i, s, t, a, n, b, u, l} (İstanbul kelimesinde tekrar eden harf yok.)
Şimdi bu kümelere göre şıkları değerlendirelim:
- a) ☐ t ∈ A
[Y] Yanlış. Çünkü A kümesinin elemanları {a, n, k, r} harfleridir ve bu kümede ‘t’ harfi bulunmamaktadır. - b) ☐ a ∈ A ∩ B
[D] Doğru. A ∩ B, A ve B kümelerinin ortak elemanları demektir. ‘a’ harfi hem A kümesinde hem de B kümesinde vardır. Dolayısıyla kesişim kümesinin bir elemanıdır. - c) ☐ s(A) = 6
[Y] Yanlış. A kümesinin elemanlarını saydığımızda {a, n, k, r} olmak üzere 4 tane olduğunu görürüz. Yani s(A) = 4 olmalıydı. - ç) ☐ n ∈ A ∪ B
[D] Doğru. A ∪ B, A ve B kümelerindeki tüm elemanların birleşimi demektir. ‘n’ harfi her iki kümede de bulunduğu için tabii ki birleşim kümesinde de bulunur. - d) ☐ s(B) = 8
[D] Doğru. B kümesinin elemanları {i, s, t, a, n, b, u, l} olmak üzere tam 8 tanedir. - e) ☐ b ∈ B
[D] Doğru. B kümesinin elemanlarına baktığımızda ‘b’ harfinin kümede olduğunu görüyoruz. - f) ☐ b ∉ B
[Y] Yanlış. Bu ifade “‘b’ B’nin elemanı değildir” anlamına gelir. Ama bir önceki şıkta ‘b’ harfinin B kümesinde olduğunu gördük. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır. - g) ☐ A ∩ B = ∅
[Y] Yanlış. Bu ifade “A ve B’nin kesişimi boş kümedir” diyor. Ancak ‘a’ ve ‘n’ harfleri her iki kümede de ortaktır. Yani A ∩ B = {a, n} olmalıydı. Boş küme değildir. - ğ) ☐ t ∉ A
[D] Doğru. Bu ifade “‘t’ A’nın elemanı değildir” demektir. A kümesine {a, n, k, r} baktığımızda ‘t’ harfinin olmadığını görüyoruz. Bu yüzden ifade doğrudur.
Soru 3: K = {5 ile 6’nın arasındaki doğal sayılar}. Yukarıda verilen K kümesini liste ve Venn şeması yöntemiyle gösteriniz.
Çözüm:
Adım 1: Doğal sayıların 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… gibi tam sayılar olduğunu hatırlayalım.
Adım 2: Soru bize 5 ile 6’nın *arasında* bir doğal sayı olup olmadığını soruyor. 5’ten sonra gelen ilk doğal sayı 6’dır. Arada başka bir doğal sayı yoktur.
Bu durumda K kümesinin hiç elemanı yoktur. Elemanı olmayan kümelere boş küme diyoruz.
Sonuç:
Liste Yöntemi: K = { } veya K = ∅ şeklinde gösterilir.
Venn Şeması Yöntemi: İçine hiçbir eleman yazılmayan bir çember çizilir ve yanına K harfi konulur.
Soru 4: Aşağıda ortak özellik yöntemi ile verilen kümeleri liste ve Venn şeması yöntemiyle gösteriniz.
Çözüm:
a) A = {164 486 sayısının rakamları}
Adım 1: Sayıdaki rakamları yazalım: 1, 6, 4, 4, 8, 6.
Adım 2: Kümeye yazarken tekrar eden rakamları sadece bir kez yazarız. Yani 4 ve 6 rakamlarını birer defa alacağız.
Liste Yöntemi: A = {1, 4, 6, 8}
Venn Şeması: A isminde bir çember çizip içine başına nokta koyarak 1, 4, 6 ve 8 rakamlarını yazarız.
b) B = {“matematik” kelimesinin harfleri}
Adım 1: Kelimedeki harfleri yazalım: m, a, t, e, m, a, t, i, k.
Adım 2: Tekrar eden harfleri (m, a, t) sadece bir kez alarak kümeyi oluşturalım.
Liste Yöntemi: B = {m, a, t, e, i, k}
Venn Şeması: B isminde bir çember çizip içine başına nokta koyarak m, a, t, e, i, k harflerini yazarız.
Soru 5: Venn şemasıyla yukarıda verilen A ve B kümelerine göre aşağıdaki kümeleri liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm:
Şemayı dikkatlice inceleyerek istenen kümeleri yazalım.
- a) A
A kümesi, A çemberinin içinde kalan tüm elemanlardır. Bunlar: 2, 3, 5, 4 ve 6’dır.
A = {2, 3, 4, 5, 6} - b) B
B kümesi, B çemberinin içinde kalan tüm elemanlardır. Bunlar: 7, 9, 10, 4 ve 6’dır.
B = {4, 6, 7, 9, 10} - c) A ∩ B
Bu sembol kesişim demektir. Yani hem A’da hem de B’de olan ortak elemanları bulacağız. Şemada iki çemberin üst üste geldiği bölgedeki elemanlardır. Bunlar: 4 ve 6’dır.
A ∩ B = {4, 6} - ç) A ∪ B
Bu sembol birleşim demektir. Yani A ve B kümelerindeki elemanların hepsini bir araya getireceğiz (ortak olanları bir kez yazarak). Şemadaki iki çemberin içinde ne görüyorsak hepsini yazacağız.
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}
Soru 6: P = {Ali, Arzu, Zeynep, Zarif} ve R = {Can, Sema, Zeynep, Murat} kümelerinden yararlanarak aşağıdaki kümeleri yazınız.
Çözüm:
Bu soruda da birleşim ve kesişim kümelerini bulacağız.
a) P ∪ R
Adım 1: Birleşim kümesi için iki kümedeki bütün isimleri bir araya getireceğiz.
Adım 2: Eğer ortak bir isim varsa, onu sadece bir kez yazacağız. Bakıyoruz, “Zeynep” her iki kümede de var.
Sonuç:P ∪ R = {Ali, Arzu, Zeynep, Zarif, Can, Sema, Murat}
b) P ∩ R
Adım 1: Kesişim kümesi için sadece her iki kümede de bulunan ortak ismi bulacağız.
Adım 2: P ve R kümelerine baktığımızda ortak olan tek ismin “Zeynep” olduğunu görüyoruz.
Sonuç:P ∩ R = {Zeynep}
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim