Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle ders kitabımızdaki çok güzel soruları ve bir etkinliği birlikte çözeceğiz. Bu konular, sayıların gizemli dünyasını anlamamız için harika bir başlangıç. Hadi gelin, adım adım ilerleyerek bu soruların üstesinden gelelim.
SORU
Öğretmeni, Mehtap’tan tahtadaki iki nokta arasındaki mesafenin 1 birim olduğu noktalı kâğıda alanları 5 br² ve 6 br² olan farklı kenar uzunluklarına sahip dikdörtgenler çizmesini istedi. Mehtap alanı 5 br² olan dikdörtgenden 1 tane, alanı 6 br² olan dikdörtgenden 2 tane çizebildi.
Mehtap, neden alanı 5 br² olan dikdörtgenden 1 tane çizebilirken alanı 6 br² olan dikdörtgenden 2 tane çizebilmiştir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle bir dikdörtgenin alanının nasıl bulunduğunu hatırlamamız gerekiyor. Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. Soruda kenar uzunluklarının doğal sayı olması gerektiğini anlıyoruz çünkü noktaları birleştirerek çizim yapıyoruz.
Adım 1: Alanı 5 br² olan dikdörtgeni inceleyelim.
Kendimize şu soruyu soralım: “Hangi iki doğal sayıyı çarparsak sonuç 5 olur?”
Aklımıza gelen tek bir çarpma işlemi var, değil mi?
1 x 5 = 5
Bu demektir ki, alanı 5 br² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları sadece 1 birim ve 5 birim olabilir. Yani Mehtap sadece 1×5’lik bir dikdörtgen çizebilir. (5×1’lik dikdörtgen de aynı dikdörtgenin sadece yan dönmüş halidir, bu yüzden farklı bir dikdörtgen sayılmaz.)
Bu yüzden Mehtap, alanı 5 br² olan sadece 1 tane dikdörtgen çizebilmiştir.
Adım 2: Alanı 6 br² olan dikdörtgeni inceleyelim.
Şimdi aynı soruyu 6 için soralım: “Hangi iki doğal sayıyı çarparsak sonuç 6 olur?”
Burada aklımıza birden fazla seçenek geliyor:
1 x 6 = 6
2 x 3 = 6
Gördüğünüz gibi, alanı 6 br² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları iki farklı şekilde olabilir:
- Kenarları 1 birim ve 6 birim olan bir dikdörtgen.
- Kenarları 2 birim ve 3 birim olan bir dikdörtgen.
Bu yüzden Mehtap, alanı 6 br² olan tam 2 tane farklı dikdörtgen çizebilmiştir.
Sonuç:
Mehtap’ın alanı 5 br² olan sadece bir tane dikdörtgen çizebilmesinin sebebi, 5’in sadece bir tane çarpan çifti (1 ve 5) olmasıdır. Alanı 6 br² olan iki tane dikdörtgen çizebilmesinin sebebi ise 6’nın iki tane çarpan çifti (1 ve 6 ile 2 ve 3) olmasıdır. Bu durum, sayıların çarpanlarıyla doğrudan ilgilidir.
ETKİNLİK: Asal Sayılar
Şimdi de kitaptaki eğlenceli etkinliği yapalım. Bu etkinlik bize sayıların çok özel bir grubunu, yani asal sayıları keşfettirecek.
Etkinlikte sırasıyla 1’i çiziyor, sonra 2’yi yuvarlak içine alıp katlarını, 3’ü yuvarlak içine alıp katlarını, 5’i ve 7’yi yuvarlak içine alıp katlarını çiziyoruz. Geriye kalan ve çizilmeyen sayıları da yuvarlak içine alıyoruz.
1. Yuvarlak içine aldığınız doğal sayıların bölenlerini bulunuz.
Çözüm:
Etkinliği yaptığımızda yuvarlak içine aldığımız sayılardan bazıları şunlar olacaktır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Şimdi bu sayıların bölenlerini (çarpanlarını) bulalım.
- 2’nin bölenleri: 1, 2
- 3’ün bölenleri: 1, 3
- 5’in bölenleri: 1, 5
- 7’nin bölenleri: 1, 7
- 11’in bölenleri: 1, 11
- 13’in bölenleri: 1, 13
Ne fark ettiniz? Hepsinin sadece iki tane böleni var!
2. Bu doğal sayıların ortak özellikleri nelerdir? Açıklayınız.
Çözüm:
Adım 1: Bölen Sayısını İnceleme
Yukarıdaki listede de gördüğümüz gibi, yuvarlak içine aldığımız bütün sayıların ortak bir özelliği var: Hepsinin sadece ve sadece iki tane doğal sayı böleni (çarpanı) bulunuyor.
Adım 2: Bölenlerin Kim Olduğunu İnceleme
Peki bu iki bölen hangi sayılar? Dikkatli bakarsak, bu bölenlerin her zaman 1 ve sayının kendisi olduğunu görürüz. Örneğin 13’ün bölenleri 1 ve 13’tür. Başka hiçbir sayıya tam olarak bölünmez.
Sonuç:
Bu sayıların ortak özelliği, sadece 1’e ve kendilerine tam olarak bölünebilmeleridir. İşte matematikte bu özel sayılara biz ASAL SAYILAR diyoruz.
Unutmayın: 1 sayısı asal bir sayı değildir, çünkü sadece bir tane böleni vardır (o da kendisidir). Bir sayının asal olması için tam olarak iki tane böleni olması gerekir. En küçük asal sayı 2’dir ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır.
Umarım bu açıklamalar konuları daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Aklınıza takılan bir şey olursa çekinmeden sorun olur mu? Başarılar dilerim