Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimiz için harika sorularımız var. Gelin bu soruları hep birlikte adım adım çözelim ve konuyu daha iyi anlayalım.
2. Yandaki küpün hacmini hesaplayınız. Bu küp ile aynı hacme sahip dikdörtgenler prizmasının taban ayrıtlarının birinde 3, diğerinde 6 birimkök vardır. Buna göre dikdörtgenler prizmasının yüksekliğinde kaç birimkök vardır?
Bu soruda öncelikle yandaki küpün hacmini bulmamız gerekiyor. Küpün her kenarı 6 birimkök uzunluğunda verilmiş. Bir küpün hacmi, bir kenarının kendisiyle iki kere çarpılmasıyla bulunur. Yani:
Küpün Hacmi = Kenar x Kenar x Kenar
Küpün Hacmi = 6 birimkök x 6 birimkök x 6 birimkök = 216 birimkök
Şimdi elimizde bir dikdörtgenler prizması var ve bu prizmanın hacmi de küpün hacmiyle aynıymış, yani 216 birimkök. Bu prizmanın taban ayrıtları ise 3 birimkök ve 6 birimkök olarak verilmiş. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplarken taban alanını (taban ayrıtlarının çarpımı) yükseklikle çarparız. Yüksekliği bulmak için hacmi taban alanına böleceğiz.
Taban Alanı = Taban Ayrıtı 1 x Taban Ayrıtı 2
Taban Alanı = 3 birimkök x 6 birimkök = 18 birimkök
Dikdörtgenler Prizmasının Yüksekliği = Hacim / Taban Alanı
Yükseklik = 216 birimkök / 18 birimkök
Bu bölme işlemini yapalım:
216 / 18 = 12
Yani dikdörtgenler prizmasının yüksekliği 12 birimkök olacaktır.
3. Yandaki dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplayınız. Bu prizma ile aynı hacme sahip bir kare prizma oluşturuluyor. Bu kare prizmanın tabanı 16 birimküpten oluştuğuna göre yüksekliği kaç birimküpten oluşur?
İlk adım olarak verilen dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplayalım. Bu prizmanın tabanında 4 birimkök, genişliğinde 4 birimkök ve yüksekliğinde 10 birimkök var. Hacim formülümüzü hatırlayalım: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik.
Dikdörtgenler Prizmasının Taban Alanı = 4 birimkök x 4 birimkök = 16 birimkök
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = 16 birimkök x 10 birimkök = 160 birimkök
Şimdi elimizde aynı hacme sahip (yani 160 birimkök) bir kare prizma var. Bu kare prizmanın tabanı 16 birimküpten oluşuyormuş. Kare prizmanın hacmini, taban alanını yüksekliğiyle çarparak buluruz. Yüksekliği bulmak için hacmi taban alanına böleceğiz.
Kare Prizmanın Yüksekliği = Hacim / Taban Alanı
Yükseklik = 160 birimkök / 16 birimkök
Bu bölme işlemini yapalım:
160 / 16 = 10
Yani kare prizmanın yüksekliği 10 birimkök olacaktır.
4. Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 192 birimküptür ve yüksekliği 6 birimkök uzunluğundadır. Bu prizmanın tabanının kaç birimküpten oluştuğunu bulunuz.
Bu soruda bize dikdörtgenler prizmasının hacmi ve yüksekliği verilmiş. Bizden taban alanını bulmamız isteniyor. Hacim formülümüzü tekrar hatırlayalım: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik. Bu formülden taban alanını yalnız bırakırsak:
Taban Alanı = Hacim / Yükseklik
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
Taban Alanı = 192 birimkök / 6 birimkök
Bu bölme işlemini yapalım:
192 / 6 = 32
Yani bu dikdörtgenler prizmasının tabanı 32 birimkökten oluşmaktadır.
5. Yandaki dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplayınız. Bu prizma ile aynı hacme sahip bir kare prizma oluşturuluyor. Bu kare prizmanın yüksekliğinde 6 birimkök bulunduğuna göre taban ayrıtları kaçar birimküpten oluşur?
Önce yandaki dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplayalım. Tabanında 5 birimkök, genişliğinde 5 birimkök ve yüksekliğinde 6 birimkök var. Hacim formülümüzü biliyoruz: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik.
Dikdörtgenler Prizmasının Taban Alanı = 5 birimkök x 5 birimkök = 25 birimkök
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = 25 birimkök x 6 birimkök = 150 birimkök
Şimdi bu prizma ile aynı hacme (yani 150 birimkök) sahip bir kare prizma oluşturuluyor. Bu kare prizmanın yüksekliği 6 birimkök olarak verilmiş. Kare prizmanın tabanı kare olduğu için taban ayrıtları birbirine eşittir. Hacim formülünü biliyoruz: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik.
Taban Alanı = Hacim / Yükseklik
Taban Alanı = 150 birimkök / 6 birimkök = 25 birimkök
Kare prizmanın taban alanı 25 birimkök olduğuna göre, taban ayrıtlarını bulmak için taban alanının karekökünü almamız gerekiyor. Çünkü karede alan, bir kenarın kendisiyle çarpılmasıdır.
Taban Ayrıtı = $sqrt{Taban Alanı}$
Taban Ayrıtı = $sqrt{25 text{ birimkök}}$ = 5 birimkök
Yani kare prizmanın taban ayrıtları 5 birimkök uzunluğundadır.
6. Aşağıda birimküplerle oluşturulmuş yapıların hacimlerini birimküp cinsinden bulunuz.
Bu soruda verilen şekillerin hacmini bulmak için her bir şekilde kaç tane birimküp olduğunu saymamız yeterli. Çünkü her bir küp 1 birimküp hacme sahiptir.
a)
Bu yapıda 2 kat var. Alt katta 6 küp, üst katta ise 3 küp var. Toplam küp sayısı:
6 + 3 = 9
Yani a şıkkındaki yapının hacmi 9 birimküptür.
b)
Bu yapıda 3 kat var. En altta 6 küp, ortada 3 küp ve en üstte 1 küp var. Toplam küp sayısı:
6 + 3 + 1 = 10
Yani b şıkkındaki yapının hacmi 10 birimküptür.
c)
Bu yapıda 3 kat var. En altta 4 küp, ortada 3 küp ve en üstte 2 küp var. Toplam küp sayısı:
4 + 3 + 2 = 9
Yani c şıkkındaki yapının hacmi 9 birimküptür.
d)
Bu yapıda 2 kat var. Alt katta 5 küp, üst katta ise 3 küp var. Toplam küp sayısı:
5 + 3 = 8
Yani d şıkkındaki yapının hacmi 8 birimküptür.
7. Hacmi 10 birimküp olan ama prizma olmayan 3 farklı yapı oluşturunuz.
Bu soru için farklı şekillerde 10 tane birimküpü bir araya getirebiliriz. Önemli olan, bu yapının bir dikdörtgenler prizması olmaması. İşte size birkaç örnek:
- Örnek 1: Bir piramit görünümünde bir yapı yapabiliriz. En altta 4 küp, onun üstünde 3 küp, sonra 2 küp ve en üstte 1 küp olacak şekilde birleştirebiliriz. Bu toplam 4+3+2+1 = 10 birimküp eder ve prizma değildir.
- Örnek 2: Bir merdiven gibi bir yapı oluşturabiliriz. Bir kenarda 10 tane küpü yan yana dizerek de 10 birimküp elde edebiliriz ama bu da bir prizmadır. Bunun yerine, ilk basamakta 3 küp, ikinci basamakta 3 küp, üçüncü basamakta 2 küp ve dördüncü basamakta 2 küp olacak şekilde birleştirirsek, bu da 3+3+2+2 = 10 birimküp eder ve prizma değildir.
- Örnek 3: Bir ‘L’ şeklinde bir yapı oluşturabiliriz. Alt kata 5 küp, üst kata ise 5 küpü farklı bir şekilde yerleştirerek de 10 birimküp elde edebiliriz. Mesela alt katta 5 küpü düz bir sıra halinde dizip, üst kata da 5 küpü bu sıranın bir ucuna L şeklinde ekleyerek yapabiliriz.
Umarım bu çözümler ve açıklamalar işinize yaramıştır. Matematik yolculuğunuzda başarılar dilerim!