Merhaba sevgili öğrencilerim, ben matematik öğretmeniniz. Bugün sizlerle birlikte ‘Çarpanlar ve Katlar’ ünitemizdeki bu güzel alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, asal sayıları ve sayıları asal çarpanlarına ayırma konusundaki bilgimizi pekiştirmemize yardımcı olacak. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım!
Soru 1:Aşağıdaki sayılardan asal olanları belirleyiniz.
36, 43, 48, 59, 71, 77, 83, 91
Sevgili çocuklar, bir sayının asal sayı olabilmesi için sadece 1’e ve kendisine bölünebilmesi gerektiğini unutmayalım. Şimdi sayıları tek tek inceleyelim:
- 36: Çift bir sayıdır, yani 2’ye bölünür. Asal değildir.
- 43: Sadece 1’e ve 43’e bölünür. Başka böleni yoktur. Bu yüzden 43 asaldır.
- 48: Çift bir sayıdır, 2’ye bölünür. Asal değildir.
- 59: Sadece 1’e ve 59’a bölünür. Başka böleni yoktur. Bu yüzden 59 asaldır.
- 71: Sadece 1’e ve 71’e bölünür. Başka böleni yoktur. Bu yüzden 71 asaldır.
- 77: 7’ye ve 11’e bölünür (7 x 11 = 77). Asal değildir.
- 83: Sadece 1’e ve 83’e bölünür. Başka böleni yoktur. Bu yüzden 83 asaldır.
- 91: Bu sayıya dikkat! Genellikle asal zannedilir ama 7’ye ve 13’e bölünür (7 x 13 = 91). Asal değildir.
Sonuç olarak, bu listedeki asal sayılar şunlardır:
Sonuç: 43, 59, 71, 83
Soru 2:2■ sayısının asal sayı olabilmesi için ■ yerine hangi rakamlar yazılmalıdır?
Burada 20’li sayılardaki asal sayıları bulmamız isteniyor. Kutucuğun (■) yerine 0’dan 9’a kadar olan rakamları tek tek koyup oluşan sayının asal olup olmadığını kontrol edelim.
- 20, 22, 24, 26, 28: Çift sayılar oldukları için 2’ye bölünürler, asal değildirler.
- 21: 3’e ve 7’ye bölünür (3 x 7 = 21). Asal değildir.
- 23: Sadece 1’e ve 23’e bölünür. Asaldır.
- 25: 5’e bölünür. Asal değildir.
- 27: 3’e ve 9’a bölünür (3 x 9 = 27). Asal değildir.
- 29: Sadece 1’e ve 29’a bölünür. Asaldır.
Demek ki kutucuk yerine 3 ve 9 rakamları gelebilir.
Sonuç: 3 ve 9
Soru 3:■1 sayısının asal sayı olabilmesi için ■ yerine hangi rakamlar yazılmalıdır?
Bu soruda da birler basamağı 1 olan iki basamaklı asal sayıları arıyoruz. Kutucuk yerine 1’den 9’a kadar olan rakamları deneyelim.
- 11: Sadece 1’e ve 11’e bölünür. Asaldır.
- 21: 3’e ve 7’ye bölünür. Asal değildir.
- 31: Sadece 1’e ve 31’e bölünür. Asaldır.
- 41: Sadece 1’e ve 41’e bölünür. Asaldır.
- 51: Rakamları toplamı 5+1=6 olduğu için 3’e bölünür (3 x 17 = 51). Asal değildir.
- 61: Sadece 1’e ve 61’e bölünür. Asaldır.
- 71: Sadece 1’e ve 71’e bölünür. Asaldır.
- 81: 9’a bölünür (9 x 9 = 81). Asal değildir.
- 91: 7’ye ve 13’e bölünür (7 x 13 = 91). Asal değildir.
Gördüğümüz gibi kutucuk yerine 1, 3, 4, 6 ve 7 rakamları gelebilir.
Sonuç: 1, 3, 4, 6, 7
Soru 4:Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını, çarpan ağacından yararlanarak bulunuz.
15, 36, 57, 68, 126, 270
Çarpan ağacı yönteminde, bir sayıyı iki sayının çarpımı olarak yazarız ve dalların ucundaki sayılar asal olana kadar bu işleme devam ederiz. En sonda dalların ucunda kalan asal sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
- 15: 15’i 3 x 5 olarak ayırırız. Hem 3 hem de 5 asal olduğu için işlem biter. Asal çarpanları: 3, 5
- 36: 36’yı 2 x 18 diye ayırırız. 18’i 2 x 9 diye ayırırız. 9’u da 3 x 3 diye ayırırız. Dalların ucunda 2, 2, 3, 3 kalır. Asal çarpanları: 2, 3
- 57: 57’yi 3 x 19 olarak ayırırız. Hem 3 hem de 19 asaldır. Asal çarpanları: 3, 19
- 68: 68’i 2 x 34 diye ayırırız. 34’ü 2 x 17 diye ayırırız. Dalların ucunda 2, 2, 17 kalır. Asal çarpanları: 2, 17
- 126: 126’yı 2 x 63 diye ayırırız. 63’ü 7 x 9 diye ayırırız. 9’u 3 x 3 diye ayırırız. Dalların ucunda 2, 7, 3, 3 kalır. Asal çarpanları: 2, 3, 7
- 270: 270’i 10 x 27 diye ayırırız. 10’u 2 x 5 diye, 27’yi 3 x 9 diye ayırırız. 9’u da 3 x 3 diye ayırırız. Dalların ucunda 2, 5, 3, 3, 3 kalır. Asal çarpanları: 2, 3, 5
Soru 5:Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını, çarpan algoritmasından yararlanarak bulunuz.
24, 48, 80, 82, 128, 360
Asal çarpan algoritması (bölen listesi) yönteminde sayının yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlarız. Sonuç 1 olana kadar devam ederiz. Çizginin sağında kalan sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
- 24: 2’ye bölünür. Asal çarpanları: 2, 3
- 48: 2’ye bölünür. Asal çarpanları: 2, 3
- 80: 2’ye ve 5’e bölünür. Asal çarpanları: 2, 5
- 82: 2’ye ve 41’e bölünür. Asal çarpanları: 2, 41
- 128: Sürekli 2’ye bölünür. Tek asal çarpanı vardır: 2
- 360: 2’ye, 3’e ve 5’e bölünür. Asal çarpanları: 2, 3, 5
Soru 6:Aşağıda asal çarpanları verilen sayıları bulunuz.
Bu soruda bize asal çarpanlar listesi verilmiş. Bizden istenen ise bu sayıları çarparak asıl sayıyı bulmamız. Haydi yapalım!
a) Verilen asal çarpanlar: 2, 2, 3, 5
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
2 x 2 x 3 x 5 = 60
Sonuç: 60
b) Verilen asal çarpanlar: 3, 5, 7, 7
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
3 x 5 x 7 x 7 = 735
Sonuç: 735
c) Verilen asal çarpanlar: 2, 2, 3, 3, 5, 7
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1260
Sonuç: 1260
ç) Verilen asal çarpanlar: 2, 2, 2, 2, 3, 11
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 11 = 528
Sonuç: 528
d) Verilen asal çarpanlar: 2, 2, 3, 3, 5, 5
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 900
Sonuç: 900
e) Verilen asal çarpanlar: 2, 3, 3, 3, 5, 7
Adım 1: Bu sayıları birbiriyle çarpalım.
2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890
Sonuç: 1890
Harika iş çıkardınız çocuklar! Gördüğünüz gibi asal sayılar ve çarpanlara ayırma konusu oldukça zevkli. Umarım hepsi anlaşılmıştır. Unutmayın, matematik bol bol pratik yaparak öğrenilir. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!