Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 6. sınıf öğrencim, ben senin Matematik Öğretmenin. Gönderdiğin görseldeki etkinlikleri ve soruları çok beğendim. Bunlar, “Çarpanlar ve Katlar” konusunu anlamak için harika alıştırmalar. Şimdi gel birlikte bu soruları adım adım, tane tane çözelim ve konuyu pekiştirelim.
Soru 1: 16 Bilye Problemi
Yukarıdaki 16 bilye, her birinde sekizer bilye bulunan 2 gruba ayrılmıştır. 16 bilye ile her birinde eşit sayıda bilye olan kaç farklı grup oluşturabileceğinizi söyleyiniz.
Bu soru aslında bize şunu soruyor: “16 sayısını hangi sayılar tam olarak bölebilir?” Bir sayıyı tam olarak bölen sayılara o sayının çarpanları (ya da bölenleri) diyoruz. Haydi 16 bilyeyi kaç farklı şekilde eşit gruplara ayırabileceğimize bakalım.
Çözüm:
Adım 1
Öncelikle toplam bilye sayımızın 16 olduğunu aklımızda tutalım. Şimdi 16’yı elde etmek için hangi iki sayıyı çarpabileceğimizi düşünelim. Bu çarpımlar bize grup sayısını ve her gruptaki bilye sayısını verecek.
Adım 2
Olası tüm gruplamaları yazalım:
- Eğer 1 grup yaparsak, o grupta 16 bilye olur. (1 x 16 = 16)
- Eğer 2 grup yaparsak, her grupta 8 bilye olur. (2 x 8 = 16)
- Eğer 4 grup yaparsak, her grupta 4 bilye olur. (4 x 4 = 16)
- Eğer 8 grup yaparsak, her grupta 2 bilye olur. (8 x 2 = 16)
- Eğer 16 grup yaparsak, her grupta 1 bilye olur. (16 x 1 = 16)
Sonuç
Gördüğümüz gibi, 16 bilyeyi toplam 5 farklı şekilde eşit gruplara ayırabiliyoruz. Bu gruplamalarda kullandığımız sayılar (1, 2, 4, 8, 16) aynı zamanda 16’nın çarpanlarıdır!
Soru 2: Alanı 36 Birimkare Olan Dikdörtgenler
Kareli kâğıdın karelerinden yararlanarak alanı 36 birimkare olmak üzere oluşturulabilecek tüm dikdörtgenleri oluşturunuz. Oluşturduğunuz dikdörtgenlerin alanlarını veren ifadeleri 1 . 36 = 36, 2 . 18 = 36, … biçiminde yazınız. Bu ifadelerden yararlanarak çarpımları 36 olan sayıları ve 36’yı tam olarak bölen sayıları belirleyiniz.
Bu etkinlik de aslında çarpanları bulmanın görsel ve eğlenceli bir yolu. Unutma, bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıyla bulunur. Alanı 36 ise, bizden çarpımları 36 olan tüm doğal sayı ikililerini bulmamız isteniyor.
Çözüm:
Adım 1
Çarpımları 36 olan bütün sayı ikililerini bulalım. Bu ikililer, oluşturacağımız dikdörtgenlerin kenar uzunlukları olacak.
- 1 x 36 = 36 (Kenarları 1 birim ve 36 birim olan bir dikdörtgen)
- 2 x 18 = 36 (Kenarları 2 birim ve 18 birim olan bir dikdörtgen)
- 3 x 12 = 36 (Kenarları 3 birim ve 12 birim olan bir dikdörtgen)
- 4 x 9 = 36 (Kenarları 4 birim ve 9 birim olan bir dikdörtgen)
- 6 x 6 = 36 (Kenarları 6 birim ve 6 birim olan bir kare. Unutma, kare de özel bir dikdörtgendir!)
Adım 2
Şimdi bu çarpma işlemlerinde kullandığımız sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım. İşte bu sayılar 36’nın çarpanlarıdır (yani bölenleridir).
36’nın Çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Sonuç ve Açıklama
Burada çok önemli bir şey fark ettik: Çarpımları 36 olan sayılar (yani 36’nın çarpanları) ile 36’yı kalansız olarak bölebilen sayılar (yani 36’nın bölenleri) aynı sayılardır. Örneğin 4 sayısı 36’nın bir çarpanıdır çünkü 4 x 9 = 36’dır. Aynı zamanda 4, 36’nın bir bölenidir çünkü 36’yı 4’e böldüğümüzde sonuç 9 çıkar ve kalan 0’dır.
Soru 3: 9’un Katları Etkinliği
Yüzlük tablodan yararlanarak dokuzar dokuzar sayma yapınız. Boyalı kutulardan yararlanarak 9’un 100’den küçük katlarını yazınız. 9’un çarpanları ile katları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Şimdi de “katlar” konusuna geldik. Bir sayının katlarını bulmak, o sayıyla ritmik sayma yapmak gibidir. Yani o sayıyı sırayla 1, 2, 3, 4… gibi doğal sayılarla çarpmaktır.
Çözüm:
Adım 1
9’un 100’den küçük katlarını bulmak için 9 ile sırayla doğal sayıları çarpalım, ama sonucun 100’ü geçmemesine dikkat edelim.
- 9 x 1 = 9
- 9 x 2 = 18
- 9 x 3 = 27
- 9 x 4 = 36
- 9 x 5 = 45
- 9 x 6 = 54
- 9 x 7 = 63
- 9 x 8 = 72
- 9 x 9 = 81
- 9 x 10 = 90
- 9 x 11 = 99
- (9 x 12 = 108 olur, bu 100’den büyük olduğu için burada duruyoruz.)
Adım 2
Bulduğumuz sonuçlar, 9’un 100’den küçük katlarıdır.
9’un 100’den küçük katları: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
Sonuç ve Açıklama
Şimdi en önemli kısma geldik: Çarpan ve Kat arasındaki ilişki nedir?
Eğer bir sayı, başka bir sayının katı ise, o ikinci sayı da birinci sayının çarpanıdır.
Kafan karışmasın, bir örnekle hemen anlayacaksın:
Yukarıda bulduğumuz sayılardan 36‘yı ele alalım.
36, 9’un bir katıdır (çünkü 9 x 4 = 36).
Bu durumda tam tersini de söyleyebiliriz: 9, 36’nın bir çarpanıdır (veya bölenidir).
Bu iki kavram, bir madalyonun iki yüzü gibidir. Biri varsa, diğeri de mutlaka vardır.
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanı sağlamıştır. Unutma, matematik pratik yaparak öğrenilir. Aklına takılan bir şey olursa hiç çekinmeden bana sorabilirsin. Başarılar dilerim!