Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Bugün sizlerle veri analizi konusundaki bu alıştırmaları çözeceğiz. Bu konular, sayıları daha iyi anlamamıza ve yorumlamamıza yardımcı olur. Haydi, kalemlerinizi ve defterlerinizi hazırlayın, başlayalım!
Soru 1: Aşağıdaki veri gruplarının aritmetik ortalamalarını, ortanca değerlerini (medyan) ve tepe değerlerini (mod) bulunuz.
a) 7, 20, 20, 4, 16, 19, 4, 40, 20, 10
Çözüm:
Adım 1: Aritmetik Ortalama
Aritmetik ortalamayı bulmak için tüm sayıları toplayıp, kaç tane sayı varsa o sayıya böleriz. Hadi toplayalım!
7 + 20 + 20 + 4 + 16 + 19 + 4 + 40 + 20 + 10 = 160
Toplam 10 tane sayımız var. O zaman 160’ı 10’a bölelim.
160 / 10 = 16
Sonuç: Aritmetik ortalama 16‘dır.
Adım 2: Ortanca Değer (Medyan)
Ortancayı bulmak için sayıları küçükten büyüğe doğru sıralamamız gerekir. Unutmayın, bu en önemli adım!
Sıralanmış hali: 4, 4, 7, 10, 16, 19, 20, 20, 20, 40
Burada 10 tane sayı var, yani çift sayıda. Bu durumda tam ortadaki iki sayıyı bulup onların ortalamasını alırız. Ortadaki sayılar 5. ve 6. sayılardır. Bunlar 16 ve 19.
(16 + 19) / 2 = 35 / 2 = 17,5
Sonuç: Ortanca değer (medyan) 17,5‘tir.
Adım 3: Tepe Değer (Mod)
Tepe değer, bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Sayılarımıza tekrar bakalım.
4, 4, 7, 10, 16, 19, 20, 20, 20, 40
Gördüğünüz gibi 20 sayısı tam 3 kez tekrar ediyor. Diğer sayılar o kadar çok tekrar etmemiş. O zaman tepe değerimiz 20’dir.
Sonuç: Tepe değer (mod) 20‘dir.
b) 102, 100, 16, 63, 100, 102, 81, 40, 98
Çözüm:
Adım 1: Aritmetik Ortalama
Tüm sayıları toplayalım: 102 + 100 + 16 + 63 + 100 + 102 + 81 + 40 + 98 = 702
Toplam 9 tane sayımız var. 702’yi 9’a bölelim.
702 / 9 = 78
Sonuç: Aritmetik ortalama 78‘dir.
Adım 2: Ortanca Değer (Medyan)
Sayılarımızı sıralayalım: 16, 40, 63, 81, 98, 100, 100, 102, 102
Burada 9 tane sayı var, yani tek sayıda. İşimiz daha kolay! Tam ortadaki sayı bizim medyanımızdır. Ortadaki sayı (5. sayı) 98’dir.
Sonuç: Ortanca değer (medyan) 98‘dir.
Adım 3: Tepe Değer (Mod)
En çok tekrar eden sayıyı bulalım: 16, 40, 63, 81, 98, 100, 100, 102, 102
Burada hem 100 sayısı 2 kez, hem de 102 sayısı 2 kez tekrar ediyor. İkisi de en çok tekrar edenler. Bu durumda bu veri grubunun iki tane tepe değeri vardır.
Sonuç: Tepe değerler (mod) 100 ve 102‘dir.
c) 76, 70, 18, 46, 13, 80, 43, 50, 70, 34
Çözüm:
Adım 1: Aritmetik Ortalama
Sayıları toplayalım: 76 + 70 + 18 + 46 + 13 + 80 + 43 + 50 + 70 + 34 = 500
Toplam 10 sayımız var. 500’ü 10’a bölelim.
500 / 10 = 50
Sonuç: Aritmetik ortalama 50‘dir.
Adım 2: Ortanca Değer (Medyan)
Sayıları sıralayalım: 13, 18, 34, 43, 46, 50, 70, 70, 76, 80
10 tane (çift sayıda) terim olduğu için ortadaki iki sayının (5. ve 6. sayı) ortalamasını alacağız: 46 ve 50.
(46 + 50) / 2 = 96 / 2 = 48
Sonuç: Ortanca değer (medyan) 48‘dir.
Adım 3: Tepe Değer (Mod)
En çok tekrar eden sayıyı bulalım: 13, 18, 34, 43, 46, 50, 70, 70, 76, 80
70 sayısı 2 kez tekrar etmiş. Diğer sayılar birer kez var.
Sonuç: Tepe değer (mod) 70‘dir.
ç) 250, 300, 250, 200, 100, 200, 3, 6, 5
Çözüm:
Adım 1: Aritmetik Ortalama
Sayıları toplayalım: 250 + 300 + 250 + 200 + 100 + 200 + 3 + 6 + 5 = 1314
Toplam 9 sayımız var. 1314’ü 9’a bölelim.
1314 / 9 = 146
Sonuç: Aritmetik ortalama 146‘dır.
Adım 2: Ortanca Değer (Medyan)
Sayıları sıralayalım: 3, 5, 6, 100, 200, 200, 250, 250, 300
9 tane (tek sayıda) terim olduğu için tam ortadaki sayı (5. sayı) medyandır.
Sonuç: Ortanca değer (medyan) 200‘dür.
Adım 3: Tepe Değer (Mod)
En çok tekrar eden sayıyı bulalım: 3, 5, 6, 100, 200, 200, 250, 250, 300
Hem 200 hem de 250 sayıları ikişer kez tekrar ediyor.
Sonuç: Tepe değerler (mod) 200 ve 250‘dir.
Soru 2: 18, 21, 46, 14, 102, 0, 9, 16, 22, 42, 102, 1, 7, 42, 60, ▲. Yukarıdaki veri grubunun tepe değeri (mod) 42’dir. Buna göre veri grubunun aritmetik ortalamasını ve ortanca değerini (medyan) bulunuz.
Çözüm:
Harika bir soru! Burada önce eksik olan sayıyı bulmamız gerekiyor.
Adım 1: ▲ değerini bulma
Tepe değerin 42 olduğu söylenmiş. Tepe değer neydi? En çok tekrar eden sayı. Önce elimizdeki sayıların kaçar kez tekrar ettiğine bakalım.
- 42 sayısı 2 kez tekrar ediyor.
- 102 sayısı 2 kez tekrar ediyor.
- Diğer sayılar birer kez tekrar ediyor.
Eğer tepe değer 42 ise, 42’nin en çok tekrar eden sayı olması gerekir. Şu an hem 42 hem de 102 eşit sayıda tekrarlanmış. Demek ki ▲ sayısı 42 olmalı ki, 42’nin tekrar sayısı 3’e çıksın ve tepe değer olsun.
Yani ▲ = 42‘dir.
Veri grubumuzun son hali: 18, 21, 46, 14, 102, 0, 9, 16, 22, 42, 102, 1, 7, 42, 60, 42
Adım 2: Aritmetik Ortalama
Şimdi tüm sayıları toplayabiliriz. Toplam 16 tane sayımız var.
18+21+46+14+102+0+9+16+22+42+102+1+7+42+60+42 = 544
544 / 16 = 34
Sonuç: Aritmetik ortalama 34‘tür.
Adım 3: Ortanca Değer (Medyan)
Sayılarımızı küçükten büyüğe sıralayalım.
0, 1, 7, 9, 14, 16, 18, 21, 22, 42, 42, 42, 46, 60, 102, 102
16 tane (çift sayıda) terim olduğu için ortadaki iki sayının, yani 8. ve 9. sayının ortalamasını alacağız. Bunlar 21 ve 22.
(21 + 22) / 2 = 43 / 2 = 21,5
Sonuç: Ortanca değer (medyan) 21,5‘tir.
Soru 3: 4 kişilik bir arkadaş grubunun yaş ortalaması 20’dir. Gruptaki 3 arkadaşın yaşları sırasıyla 17, 25 ve 18 olduğuna göre 4. arkadaş kaç yaşındadır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için ortalamanın tanımını tersten kullanacağız.
Adım 1: Toplam Yaşı Bulma
Eğer 4 kişinin yaş ortalaması 20 ise, bu 4 kişinin yaşları toplamını bulmak için ortalama ile kişi sayısını çarparız.
Yaşlar Toplamı = Ortalama × Kişi Sayısı
Yaşlar Toplamı = 20 × 4 = 80
Yani bu dört arkadaşın yaşları toplamı 80’miş.
Adım 2: 4. Arkadaşın Yaşını Bulma
Biz zaten 3 arkadaşın yaşını biliyoruz. Onların yaşlarını toplayalım.
17 + 25 + 18 = 60
Dört kişinin toplam yaşı 80, üç kişinin toplam yaşı 60 ise, dördüncü kişiyi bulmak için toplamdan bu üç kişinin yaşını çıkarırız.
80 – 60 = 20
Sonuç: 4. arkadaş 20 yaşındadır.
Soru 4: Bir hastanede yatan hastalardan dokuz gün boyunca iyileşerek taburcu olanların sayıları aşağıda verilmiştir. 1, 3, 8, 17, 180, 180, 180, 180, 180. Bu sayılar değerlendirilirken aritmetik ortalama, ortanca değer ve tepe değerden hangisinin kullanılması daha uygun olur?
Çözüm:
Bu çok önemli bir yorum sorusu çocuklar. Bazen sadece hesap yapmak yetmez, hangi hesabın daha anlamlı olduğunu da düşünmemiz gerekir.
Adım 1: Veri Grubunu İnceleme
Sayılarımıza bakalım: 1, 3, 8, 17, 180, 180, 180, 180, 180. Dikkat ettiniz mi? İlk dört sayı (1, 3, 8, 17) diğer sayılara göre çok küçük. 180 gibi sayılara “uç değer” veya “aykırı değer” deriz. Bu tür değerler, bazı hesaplamaları yanıltıcı yapabilir.
Adım 2: Hesaplamaları Değerlendirme
- Aritmetik Ortalama: Eğer bu sayıların ortalamasını alırsak, 180 gibi büyük sayılar ortalamayı çok yukarı çeker. (929 / 9 ≈ 103,2). Bu 103 sayısı, ne ilk günlerdeki durumu (1, 3 gibi) ne de son günlerdeki durumu (180) tam olarak yansıtıyor. Bu yüzden ortalama, genel durumu anlatmak için pek uygun değil.
- Tepe Değer (Mod): En çok tekrar eden sayı 180’dir. Bu bize en sık karşılaşılan durumun 180 hasta olduğunu söyler. Bu, durumu anlatmak için kullanışlı bir bilgidir.
- Ortanca Değer (Medyan): Sayılar zaten sıralı verilmiş. Ortadaki (5. sayı) değer 180’dir. Medyan, uç değerlerden etkilenmez. Veri grubunu tam ortadan ikiye bölen değeri gösterir ve bu tür durumlarda genel eğilimi daha iyi yansıtır.
Adım 3: Sonuca Karar Verme
Bir veri grubunda birbirine çok uzak, yani uç değerler varsa, aritmetik ortalama genel durumu doğru yansıtmayabilir. Bu gibi durumlarda veriyi daha iyi temsil etmek için ortanca değer (medyan) veya tepe değer (mod) kullanmak daha uygundur.
Sonuç: Bu veri grubunu değerlendirirken ortanca değer veya tepe değer kullanmak, aritmetik ortalamaya göre daha uygun olur.