Merhaba sevgili öğrencilerim! Ben 7. Sınıf Matematik Öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Hadi birlikte bu soruların üstesinden gelelim!
4. Soru: a ile b sayıları doğru orantılıdır. a sayısı 7 iken b sayısı 15’tir. Buna göre b sayısı 105 iken a sayısı kaç olur?
Sevgili çocuklar, doğru orantı demek, iki çokluktan biri artarken diğerinin de aynı oranda artması ya da biri azalırken diğerinin de aynı oranda azalması demektir. Bu tür sorularda oranımız hep sabit kalır.
Çözüm:
- Adım 1: İlk olarak, a ve b sayıları arasındaki oranı yazalım. a’nın b’ye oranı her zaman sabit kalacaktır.
a / b = k (Burada ‘k’ orantı sabitimizdir)
Bize verilen ilk değerlere göre oranımızı bulalım:
a = 7 iken b = 15 ise oranımız 7 / 15‘tir.
- Adım 2: Şimdi bizden istenen durumu bu orana eşitleyelim. b sayısı 105 olduğunda a sayısının kaç olacağını bulmamız gerekiyor. Yeni a sayısını bilmediğimiz için ona şimdilik ‘x’ diyelim.
x / 105
Bu iki oran birbirine eşit olmalı:
7 / 15 = x / 105
- Adım 3: Bu eşitliği çözmek için iki yolumuz var. En kolayı, orantının katını bulmaktır. Kendimize soralım: “15’i kaç ile çarparsak 105 olur?”.
105 ÷ 15 = 7
Demek ki orantımız 7 kat genişlemiş. Doğru orantıda payda ne ile çarpılıyorsa pay da aynı sayıyla çarpılmalıdır.
- Adım 4: O zaman 7’yi de 7 ile çarparak ‘x’i bulabiliriz.
x = 7 * 7 = 49
Sonuç: b sayısı 105 iken a sayısı 49 olur.
5. Soru: Bir orantıda x sayısı 2, y sayısı 9 ile doğru orantılıdır. x + y = 132 olduğuna göre 2y – x işleminin sonucu kaçtır?
Çocuklar, bu soruda bize x’in 2’nin bir katı, y’nin ise 9’un aynı katı olduğu söyleniyor. Bu “kat”a biz matematikte orantı sabiti diyoruz ve genelde ‘k’ harfiyle gösteriyoruz.
Çözüm:
- Adım 1: x sayısı 2 ile doğru orantılı ise, x = 2k yazabiliriz.
y sayısı 9 ile doğru orantılı ise, y = 9k yazabiliriz. - Adım 2: Soruda bize bir ipucu verilmiş: x + y = 132. Şimdi x ve y yerine ‘k’ cinsinden bulduğumuz değerleri yazarak ‘k’ sabitini bulalım.
x + y = 132
2k + 9k = 132
11k = 132
- Adım 3: ‘k’yı bulmak için 132’yi 11’e bölmemiz gerekiyor.
k = 132 / 11
k = 12
Harika! Orantı sabitimiz olan ‘k’yı 12 bulduk.
- Adım 4: Şimdi bu ‘k’ değerini kullanarak x ve y’nin gerçek değerlerini bulalım.
x = 2k = 2 * 12 = 24
y = 9k = 9 * 12 = 108
- Adım 5: Sorunun bizden istediği son şeye geldik: 2y – x işlemini yapmak. Bulduğumuz x ve y değerlerini yerine koyalım.
2y – x = (2 * 108) – 24
216 – 24 = 192
Sonuç: İşlemin sonucu 192‘dir.
6. Soru: Bir orantıda a sayısı 3, b sayısı 5 ile ters orantılıdır. a ve b sayılarının çarpımı 15’tir. Orantı sabiti pozitif bir sayı olmak üzere 3a – 2b işleminin sonucu kaçtır?
Arkadaşlar, ters orantı, çokluklardan biri artarken diğerinin aynı oranda azalması demektir. Doğru orantıda oranları sabitken (bölümleri), ters orantıda ise çarpımları sabittir. Bu soruda iki farklı bilgi var gibi görünüyor ama aslında aynı kapıya çıkıyorlar.
Çözüm:
- Adım 1: “a sayısı 3 ile ters orantılıdır” demek, a * 3 = k demektir. Buradan a’yı yalnız bırakırsak a = k / 3 olur.
“b sayısı 5 ile ters orantılıdır” demek, b * 5 = k demektir. Buradan da b’yi yalnız bırakırsak b = k / 5 olur. - Adım 2: Soruda bize ek bir bilgi daha verilmiş: “a ve b sayılarının çarpımı 15’tir”. Yani a * b = 15. Şimdi ‘k’ cinsinden bulduğumuz a ve b değerlerini bu denklemde yerine yazalım.
(k / 3) * (k / 5) = 15
k² / 15 = 15
- Adım 3: ‘k²’yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım.
k² = 15 * 15
k² = 225
Hangi sayının kendisiyle çarpımı 225 yapar? Evet, 15! Soruda orantı sabitinin pozitif olduğu söylendiği için k = 15 alırız.
- Adım 4: Orantı sabitini bulduğumuza göre artık a ve b’nin değerlerini hesaplayabiliriz.
a = k / 3 = 15 / 3 = 5
b = k / 5 = 15 / 5 = 3
- Adım 5: Son olarak bizden istenen işlemi yapalım: 3a – 2b
(3 * 5) – (2 * 3)
15 – 6 = 9
Sonuç: İşlemin sonucu 9‘dur.
7. Soru: Aynı miktarda su akıtan musluk sayıları ile muslukların boş bir havuzu doldurma süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tabloya göre aynı miktarda su akıtan musluk sayıları ile bu muslukların boş bir havuzu doldurma sürelerinin ters orantılı olup olmadığını belirleyiniz. Ters orantılı ise orantı sabitini bulunuz.
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmeden önce mantık yürütelim. Bir havuzu doldururken musluk sayısını artırırsak, havuzun dolma süresi ne olur? Tabii ki azalır! Biri artarken diğeri azalıyorsa burada bir ters orantı arayabiliriz. Ters orantının kuralı neydi? İki çokluğun çarpımı her zaman aynı sayıyı, yani orantı sabitini vermeliydi.
Çözüm:
- Adım 1: Tablodaki her bir sütun için “Musluk Sayısı” ile “Doldurma Süresi”ni çarpalım ve sonucun hep aynı çıkıp çıkmadığını kontrol edelim.
- Adım 2: Çarpma işlemlerini yapalım:
1 musluk * 18 saat = 18
2 musluk * 9 saat = 18
3 musluk * 6 saat = 18
6 musluk * 3 saat = 18
9 musluk * 2 saat = 18
18 musluk * 1 saat = 18
- Adım 3: Gördüğümüz gibi, her durumda çarpımın sonucu 18 çıktı. Bu demektir ki bu iki çokluk arasında sabit bir çarpım vardır.
Sonuç:
Evet, musluk sayısı ile havuzun dolma süresi ters orantılıdır.
Bu orantının sabiti (k), her zaman bulduğumuz bu sabit çarpım değeri olan 18‘dir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, matematik pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!