Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki çember sorularını çok beğendim. Bu tür sorular, çemberin özelliklerini ve yay uzunluğu hesaplamalarını anlamamız için harika birer alıştırma. Gelin şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve tane tane çözelim.
Soru 3: Yandaki O merkezli çemberde m(TOU yayı) = 120°, m(VOP yayı) = 50° ve |OS| = 18 cm’dir. [US] ve [VT] çap olduğuna göre PRS yayının uzunluğu kaç cm’dir (π’yi 22/7 alınız.)?
Çözüm:
Arkadaşlar bu soruda bizden PRS yayının uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bir yayın uzunluğunu bulmak için formülümüz neydi? Yay Uzunluğu = (Merkez Açı / 360°) x 2 x π x r. Bu formülü kullanabilmek için önce PRS yayını gören merkez açıyı, yani POS açısının ölçüsünü bulmalıyız.
Adım 1: Bildiklerimizi kullanalım ve eksik açıları bulalım.
Bize [US]’nin bir çap olduğu söylenmiş. Çap, bir doğru oluşturur ve bu doğrunun açısı 180°’dir. Yani U, O, S noktaları doğrusaldır.
UOT açısı 120° olarak verilmiş. Öyleyse TOS açısını bulabiliriz:
m(∠UOT) + m(∠TOS) = 180°
120° + m(∠TOS) = 180°
m(∠TOS) = 180° – 120° = 60°
Şimdi de [VT]’nin çap olduğunu kullanalım. V, O, T noktaları da doğrusaldır. Bu doğru da 180°’dir.
m(∠VOP) + m(∠POS) + m(∠SOT) = 180°
Bildiğimiz açıları yerine koyalım: VOP açısı 50° ve az önce bulduğumuz TOS açısı 60°.
50° + m(∠POS) + 60° = 180°
110° + m(∠POS) = 180°
m(∠POS) = 180° – 110° = 70°
Harika! Aradığımız merkez açıyı bulduk. PRS yayını gören merkez açı 70° imiş.
Adım 2: Yay uzunluğu formülünü uygulayalım.
Soruda bize yarıçap (r) |OS| = 18 cm ve π = 22/7 olarak verilmiş. Artık her şeyimiz var.
PRS Yayı Uzunluğu = (Merkez Açı / 360°) x 2 x π x r
PRS Yayı Uzunluğu = (70 / 360) x 2 x (22/7) x 18
Şimdi sadeleştirme yapalım ki işimiz kolaylaşsın.
Önce 70’deki 7 ile 22/7’deki 7’yi sadeleştirelim. 70/7 = 10 olur.
İşlemimiz şuna dönüştü: (10 / 360) x 2 x 22 x 18
10/360’ı sadeleştirirsek 1/36 olur.
İşlemimiz: (1 / 36) x 2 x 22 x 18
2 ile 18’i çarparsak 36 eder. Gördünüz mü ne kadar kolaylaştı?
İşlemimiz: (1 / 36) x 36 x 22
Burada 36’lar birbirini götürür ve geriye sadece 22 kalır.
Sonuç:
PRS yayının uzunluğu 22 cm‘dir.
Soru 4: Kürşat, koşu yarışlarına katılmak için sınırı çember olan bir pistte antrenman yapıyor. Kürşat, antrenmanda görseldeki çember boyunca ok yönünde koşuyor. O merkezli pistte, |OK| = 100 m ve m(KOL yayı) = 108° olmak üzere pist boyunca K noktasından L noktasına kadar koşan Kürşat, kaç m koşmuş olur (π’yi 3,14 alınız.)?
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soru aslında bir öncekiyle aynı mantıkta. Kürşat’ın koştuğu mesafe, K’dan L’ye kadar olan çember yayının uzunluğudur. Yine yay uzunluğu formülünü kullanacağız.
Adım 1: Soruda verilenleri belirleyelim.
- Merkez O noktası.
- Yarıçap (r) = |OK| = 100 m.
- Merkez Açı (KOL açısı) = 108°.
- Pi sayısı (π) = 3,14.
Adım 2: Yay uzunluğu formülünde yerine koyalım ve hesaplayalım.
Koşulan Mesafe (KL Yayı) = (Merkez Açı / 360°) x 2 x π x r
Koşulan Mesafe = (108 / 360) x 2 x 3,14 x 100
Önce parantez dışındaki çarpımları yapalım. 2 x 3,14 x 100 = 6,28 x 100 = 628.
Şimdi 108/360 kesrini sadeleştirelim. Her ikisi de 36’ya bölünür. 108 ÷ 36 = 3 ve 360 ÷ 36 = 10. Yani kesirimiz 3/10 oldu.
İşlemimiz: (3 / 10) x 628
Bu da (3 x 628) / 10 demektir.
3 x 628 = 1884
1884 / 10 = 188,4
Sonuç:
Kürşat, K noktasından L noktasına kadar 188,4 m koşmuş olur.
Soru 5: Yandaki O merkezli çemberin çevresinin uzunluğu 72 cm ve m(AOB) = 90° olduğuna göre ACB yayının uzunluğu kaç cm’dir?
Çözüm:
Bu soru diğerlerinden biraz farklı ve oldukça zekice bir soru! Burada bize yarıçap yerine çemberin çevresinin tamamı verilmiş. Bizden istenen ise ACB yayı, yani A’dan başlayıp C üzerinden B’ye giden büyük yayın uzunluğu.
Adım 1: İstenen yayın merkez açısını bulalım.
Bize AOB açısı 90° olarak verilmiş. Bu, küçük olan AB yayını gören merkez açıdır. Çemberin tamamının 360° olduğunu biliyoruz. Bizden istenen ACB yayını gören büyük açıyı bulmak için 360°’den 90°’yi çıkarmalıyız.
ACB yayının merkez açısı = 360° – 90° = 270°
Adım 2: Oran orantı kurarak yayın uzunluğunu bulalım.
Bu soruyu çözmenin en kolay yolu oran orantı kurmaktır. Şöyle düşünebiliriz: Çemberin tamamı, yani 360°’lik yay, 72 cm uzunluğundaysa; 270°’lik yay kaç cm uzunluğundadır?
360°’lik çevre -> 72 cm ise
270°’lik ACB yayı -> x cm’dir?
Burada doğru orantı var. İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya daha basit bir yol izleyebiliriz. Çevre uzunluğu (72), açı ölçüsünün (360) kaçta kaçı? 72 / 360 = 1/5. Yani uzunluk, açının 5’e bölünmüş hali. O zaman x’i bulmak için de 270’i 5’e bölebiliriz.
x = 270 / 5 = 54 cm
Alternatif ve daha pratik bir yol:
Önce küçük olan AB yayının uzunluğunu bulup toplam çevreden çıkarabiliriz. AOB açısı 90°, yani 360°’nin tam olarak dörtte biri (90/360 = 1/4). O zaman AB yayının uzunluğu da tüm çevrenin dörtte biridir.
AB yayı uzunluğu = 72 / 4 = 18 cm.
Büyük olan ACB yayını bulmak için tüm çevreden bu küçük yayı çıkarırız:
ACB yayı uzunluğu = Toplam Çevre – AB yayı uzunluğu
ACB yayı uzunluğu = 72 – 18 = 54 cm
Gördüğünüz gibi iki yolla da aynı sonuca ulaştık!
Sonuç:
ACB yayının uzunluğu 54 cm‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri sabır ve bol pratik gerektirir. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim