Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencileri! Bugün sizlerle birlikte verilen alıştırmaları çözeceğiz. Matematik yolculuğumuzda her adımda yanınızdayım. Hazırsanız başlayalım!
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki sarı kutularda verilen rasyonel sayılar, mavi kutularda verilen ondalık gösterimler ile eşleştirildiğinde hangi ondalık gösterim açıkta kalır?
Bu soruda, sarı kutulardaki kesirleri ondalık sayılara çevirerek eşleştirmeleri yapacağız. Hangi eşleşmenin yapılamadığını bulacağız.
Adım 1: Kesirleri ondalık sayılara çevirme
- Kesir: $frac{7}{3}$
- Kesir: $frac{4}{25}$
- Kesir: $frac{10}{11}$
- Kesir: $frac{13}{90}$
Bu kesri ondalık sayıya çevirmek için payı paydaya böleriz: 7 ÷ 3
7’yi 3’e böldüğümüzde sonuç $2$ tam ve $1$ kalan olur. Bu da $2 frac{1}{3}$ demektir. Kesirli kısım olan $frac{1}{3}$’ün ondalık gösterimi devirli bir sayıdır: $0,333…$ Bu yüzden $frac{7}{3}$ ondalık gösterimi $2,333…$ yani $2,overline{3}$ olur. Soruda verilen ondalık gösterimlere baktığımızda negatif sayılar var. Bu kesrin pozitif olduğunu unutmayalım. Olası bir eşleşme negatif bir sayıyla yapılamaz.
Bu kesri ondalık sayıya çevirmek için payı paydaya böleriz: 4 ÷ 25
4’ü 25’e böldüğümüzde $0,16$ sonucunu elde ederiz. Yani $frac{4}{25} = 0,16$. Verilen ondalık gösterimlere baktığımızda $-0,16$ var. Bu kesrin işareti pozitif olduğu için $-0,16$ ile eşleşmez.
Bu kesri ondalık sayıya çevirmek için payı paydaya böleriz: 10 ÷ 11
10’u 11’e böldüğümüzde sonuç $0,909090…$ yani $0,overline{90}$ olur. Bu da verilen ondalık gösterimlerden $-0,90$ ile eşleşmez (işaret farkı var).
Bu kesri ondalık sayıya çevirmek için payı paydaya böleriz: 13 ÷ 90
13’ü 90’a böldüğümüzde sonuç $0,1444…$ yani $0,1overline{4}$ olur. Bu da verilen ondalık gösterimlerden $-0,16$ ile eşleşmez.
Şimdi de verilen ondalık gösterimleri inceleyelim ve kesirlerle eşleştirmeye çalışalım:
- Ondalık Gösterim: $-0,14$
- Ondalık Gösterim: $-0,90$
- Ondalık Gösterim: $-0,8$
- Ondalık Gösterim: $-2,3$
- Ondalık Gösterim: $-0,16$
Bu ondalık gösterimi kesre çevirmek için virgülü kaldırırız ve paydaya 100 yazarız: $frac{14}{100}$. Bu kesri sadeleştirebiliriz: $frac{7}{50}$. Bu kesir sarı kutularda yok.
Bu ondalık gösterimi kesre çevirmek için virgülü kaldırırız ve paydaya 100 yazarız: $frac{90}{100}$. Bu kesri sadeleştirebiliriz: $frac{9}{10}$. Bu kesir sarı kutularda yok.
Bu ondalık gösterimi kesre çevirmek için virgülü kaldırırız ve paydaya 10 yazarız: $frac{8}{10}$. Bu kesri sadeleştirebiliriz: $frac{4}{5}$. Bu kesir sarı kutularda yok. Ancak $frac{10}{11}$’in ondalık gösterimi $0,9090…$ idi. $-0,90$ ile eşleşmedi.
Bu ondalık gösterimi kesre çevirmek için virgülü kaldırırız ve paydaya 10 yazarız: $frac{23}{10}$. Bu kesir sarı kutularda yok. Ancak $frac{7}{3}$’ün ondalık gösterimi $2,333…$ idi. Bu sayının negatif hali $-2,333…$ olurdu. Bu da verilen $-2,3$ ile tam olarak eşleşmez.
Bu ondalık gösterimi kesre çevirmek için virgülü kaldırırız ve paydaya 100 yazarız: $frac{16}{100}$. Bu kesri sadeleştirebiliriz: $frac{4}{25}$. Bu kesir sarı kutularda var! O zaman $-0,16$ ile $frac{4}{25}$ eşleşir. Ancak soruda verilen kesir $frac{4}{25}$ pozitif. Bu yüzden bu eşleşme olmaz.
Şimdi tekrar sarı kutulardaki kesirlerin ondalık gösterimlerine ve mavi kutulardaki ondalık gösterimlere dikkatlice bakalım:
- $frac{7}{3}$ = $2,333…$ (pozitif)
- $frac{4}{25}$ = $0,16$ (pozitif)
- $frac{10}{11}$ = $0,909090…$ (pozitif)
- $frac{13}{90}$ = $0,1444…$ (pozitif)
Mavi kutulardaki sayılar ise hep negatiftir.
- $-0,14$
- $-0,90$
- $-0,8$
- $-2,3$
- $-0,16$
Bu durumda, sarı kutulardaki pozitif rasyonel sayılarla mavi kutulardaki negatif ondalık gösterimler arasında bir eşleştirme olması beklenemez. Ancak soruda “eşleştirildiğinde hangi ondalık gösterim açıkta kalır?” deniyor. Bu şu anlama gelir: Eğer biz sarı kutulardaki kesirlerin ondalık karşılıklarını bulup, mavi kutulardaki ondalık gösterimlerle eşleştirecek olsaydık, hangi mavi kutudaki sayı boşta kalırdı? Sorunun mantığı biraz karışık verilmiş gibi duruyor. Genellikle bu tür sorularda işaretler de tutar.
Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Sarı kutulardaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini bulalım. Mavi kutulardaki ondalık gösterimlerden hangisi bu bulunan ondalık gösterimlerle eşleşmiyor? Ya da tam tersi, mavi kutulardaki ondalık gösterimlerin rasyonel karşılıklarını bulup sarı kutularla eşleştirelim.
Mavi kutulardaki ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirelim:
- $-0,14 = -frac{14}{100} = -frac{7}{50}$
- $-0,90 = -frac{90}{100} = -frac{9}{10}$
- $-0,8 = -frac{8}{10} = -frac{4}{5}$
- $-2,3 = -frac{23}{10}$
- $-0,16 = -frac{16}{100} = -frac{4}{25}$
Şimdi sarı kutulardaki kesirlerin ondalık karşılıklarını tekrar kontrol edelim:
- $frac{7}{3} = 2,333…$
- $frac{4}{25} = 0,16$
- $frac{10}{11} = 0,909090…$
- $frac{13}{90} = 0,1444…$
Görüyoruz ki, sarı kutulardaki sayılar pozitif, mavi kutulardaki sayılar negatif. Bu durumda sarı kutulardaki hiçbir kesir, mavi kutulardaki sayılarla doğrudan eşleşmez. Sorunun bu haliyle bir mantığı yok gibi görünüyor. Ancak eğer soruyu “Sarı kutulardaki rasyonel sayıların mutlak değerlerinin ondalık gösterimleri, mavi kutulardaki ondalık gösterimlerle eşleştirildiğinde hangi ondalık gösterim açıkta kalır?” şeklinde anlarsak bir çözüm bulabiliriz.
Bu varsayımla devam edelim:
- $frac{7}{3}$’ün ondalık gösterimi $2,333…$’dür. Mavi kutularda buna karşılık gelen bir sayı yok.
- $frac{4}{25}$’in ondalık gösterimi $0,16$’dır. Mavi kutularda $-0,16$ var. Eğer işaretleri görmezden gelirsek eşleşir.
- $frac{10}{11}$’in ondalık gösterimi $0,909090…$’dir. Mavi kutularda $-0,90$ var. Eğer işaretleri görmezden gelirsek ve devirli kısmı dikkate almazsak eşleşir.
- $frac{13}{90}$’ın ondalık gösterimi $0,1444…$’dir. Mavi kutularda $-0,14$ var. Eğer işaretleri görmezden gelirsek ve devirli kısmı dikkate almazsak eşleşir.
Bu durumda:
- $frac{4}{25}$ (0,16) ile $-0,16$ eşleşir (işaret farkı var).
- $frac{10}{11}$ (0,9090…) ile $-0,90$ eşleşir (işaret farkı ve devir farkı var).
- $frac{13}{90}$ (0,1444…) ile $-0,14$ eşleşir (işaret farkı ve devir farkı var).
Bu yorumla bile net bir eşleştirme yapamıyoruz. Sorunun orijinalinde bir hata olabilir ya da benim yorumumda bir eksiklik.
Alternatif Yorum: Sarı kutulardaki kesirlerin ondalık gösterimleri negatif olsaydı, hangisi açıkta kalırdı?
- $-frac{7}{3} = -2,333…$
- $-frac{4}{25} = -0,16$
- $-frac{10}{11} = -0,909090…$
- $-frac{13}{90} = -0,1444…$
Şimdi mavi kutulardaki sayılara bakalım:
- $-0,14$
- $-0,90$
- $-0,8$
- $-2,3$
- $-0,16$
Bu yorumla da eşleştirelim:
- $-0,16$ ile $-frac{4}{25}$ eşleşir.
- $-0,90$ ile $-frac{10}{11}$ eşleşir (yaklaşık olarak). Tam olarak eşleşmez çünkü $-frac{10}{11} approx -0,9090…$
- $-0,14$ ile $-frac{13}{90}$ eşleşir (yaklaşık olarak). Tam olarak eşleşmez çünkü $-frac{13}{90} approx -0,1444…$
- $-2,3$ ile $-frac{7}{3}$ eşleşir (yaklaşık olarak). Tam olarak eşleşmez çünkü $-frac{7}{3} approx -2,333…$
Bu durumda açıkta kalan sayı $-0,8$ gibi görünüyor. Çünkü sarı kutulardaki kesirlerin negatif halleri $-0,16$, yaklaşık $-0,9090…$, yaklaşık $-0,1444…$, yaklaşık $-2,333…$ oluyor. Bu sayılar arasında $-0,8$ ile eşleşen bir sayı yok.
Sorunun doğru cevabını bulmak için verilen seçenekleri kontrol etmek gerekir. Eğer bu bir test sorusu ise, seçenekler bize ipucu verecektir. Ancak seçenekler olmadığı için, en olası senaryo sorunun işaretleri göz ardı ederek ya da yaklaşık değerlerle eşleştirme yapmamızı istemesi.
En makul yorumla devam edelim: Sarı kutulardaki rasyonel sayıların ondalık gösterimleri ile mavi kutulardaki ondalık gösterimler eşleştirilecek. Eğer sarı kutulardaki sayılar pozitif olsaydı, ondalık karşılıkları şunlar olurdu: $2,overline{3}$, $0,16$, $0,overline{90}$, $0,1overline{4}$. Mavi kutulardaki sayılar ise: $-0,14$, $-0,90$, $-0,8$, $-2,3$, $-0,16$. Bu durumda hiçbir eşleşme olmaz.
Soruda bir hata olduğunu düşünüyorum. Ancak eğer illa birini açıkta bırakmamız gerekiyorsa, sarı kutulardaki kesirlerin ondalık gösterimlerinin negatif hallerini alıp mavi kutulardaki sayılarla eşleştirmeye çalışalım.
- $-frac{4}{25} = -0,16$. Bu, mavi kutudaki $-0,16$ ile eşleşir.
- $-frac{10}{11} = -0,909090…$. Bu, mavi kutudaki $-0,90$ ile yaklaşık eşleşir.
- $-frac{13}{90} = -0,1444…$. Bu, mavi kutudaki $-0,14$ ile yaklaşık eşleşir.
- $-frac{7}{3} = -2,333…$. Bu, mavi kutudaki $-2,3$ ile yaklaşık eşleşir.
Bu durumda, mavi kutularda açıkta kalan sayı $-0,8$ olur.
Sonuç: $-0,8$
Açıklama: Soruda verilen sarı kutulardaki rasyonel sayılar pozitifken, mavi kutulardaki ondalık gösterimler negatiftir. Bu durumda doğrudan bir eşleştirme yapılamaz. Sorunun mantıklı bir şekilde çözülebilmesi için, sarı kutulardaki rasyonel sayıların negatif halleriyle mavi kutulardaki ondalık gösterimlerin eşleştirildiği varsayılmıştır. Bu varsayıma göre:
- $-frac{4}{25}$ ondalık olarak $-0,16$’dır ve mavi kutudaki $-0,16$ ile eşleşir.
- $-frac{10}{11}$ ondalık olarak yaklaşık $-0,9090…$’dir ve mavi kutudaki $-0,90$ ile yaklaşık eşleşir.
- $-frac{13}{90}$ ondalık olarak yaklaşık $-0,1444…$’dir ve mavi kutudaki $-0,14$ ile yaklaşık eşleşir.
- $-frac{7}{3}$ ondalık olarak yaklaşık $-2,333…$’dir ve mavi kutudaki $-2,3$ ile yaklaşık eşleşir.
Bu eşleştirmelerin ardından mavi kutularda açıkta kalan ondalık gösterim $-0,8$’dir.
2. Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Bu soruda, verilen ondalık sayıları kesir şeklinde yazacağız. Devirli ondalık sayılar için özel bir yöntem kullanacağız.
Adım 1: Ondalık gösterimleri inceleme ve kesre çevirme
- a) $17,2$
- b) $-4,18$
- c) $0,126$
- d) $0,96$
- e) $-13,12$
- f) $-16,13$
- g) $0,142$
- ğ) $-6,127$
Bu basit bir ondalık sayıdır. Virgülü kaldırdığımızda sayıyı elde ederiz. Virgülün sağında bir basamak olduğu için paydaya 10 yazarız.
$17,2 = frac{172}{10}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 172 hem de 10, 2’ye bölünebilir.
$frac{172 div 2}{10 div 2} = frac{86}{5}$
Sonuç: $frac{86}{5}$
Bu da basit bir ondalık sayıdır. Virgülü kaldırdığımızda 418 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız. Başındaki eksi işaretini unutmayalım.
$-4,18 = -frac{418}{100}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 418 hem de 100, 2’ye bölünebilir.
$-frac{418 div 2}{100 div 2} = -frac{209}{50}$
Sonuç: $-frac{209}{50}$
Virgülü kaldırdığımızda 126 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında üç basamak olduğu için paydaya 1000 yazarız.
$0,126 = frac{126}{1000}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 126 hem de 1000, 2’ye bölünebilir.
$frac{126 div 2}{1000 div 2} = frac{63}{500}$
Sonuç: $frac{63}{500}$
Virgülü kaldırdığımızda 96 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız.
$0,96 = frac{96}{100}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 96 hem de 100, 4’e bölünebilir.
$frac{96 div 4}{100 div 4} = frac{24}{25}$
Sonuç: $frac{24}{25}$
Virgülü kaldırdığımızda 1312 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız. Başındaki eksi işaretini unutmayalım.
$-13,12 = -frac{1312}{100}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 1312 hem de 100, 4’e bölünebilir.
$-frac{1312 div 4}{100 div 4} = -frac{328}{25}$
Sonuç: $-frac{328}{25}$
Virgülü kaldırdığımızda 1613 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız. Başındaki eksi işaretini unutmayalım.
$-16,13 = -frac{1613}{100}$
Bu kesir sadeleşmez çünkü 1613 asal bir sayıya benzemektedir ve 100 ile ortak böleni yoktur.
Sonuç: $-frac{1613}{100}$
Virgülü kaldırdığımızda 142 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında üç basamak olduğu için paydaya 1000 yazarız.
$0,142 = frac{142}{1000}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 142 hem de 1000, 2’ye bölünebilir.
$frac{142 div 2}{1000 div 2} = frac{71}{500}$
Sonuç: $frac{71}{500}$
Virgülü kaldırdığımızda 6127 sayısını elde ederiz. Virgülün sağında üç basamak olduğu için paydaya 1000 yazarız. Başındaki eksi işaretini unutmayalım.
$-6,127 = -frac{6127}{1000}$
Bu kesir sadeleşmez çünkü 6127’nin 1000 ile ortak böleni yoktur.
Sonuç: $-frac{6127}{1000}$
3. Yukarıdaki sayı doğrusunda -2 ile -3 arası 9 eş parçaya, 0 ile -1 arası 5 eş parçaya ve 0 ile 1 arası 11 eş parçaya ayrılmıştır. Buna göre sayı doğrusunda gösterilen A, B ve C harflerine karşılık gelen rasyonel sayıları ondalık gösterim olarak ifade ediniz.
Bu soruda, sayı doğrusundaki bazı noktaların hangi rasyonel sayılara karşılık geldiğini bulacağız ve bu sayıları ondalık olarak yazacağız.
Adım 1: A noktasının değerini bulma
A noktası, -2 ile -3 arasındadır ve bu aralık 9 eş parçaya ayrılmıştır. Bu, her bir parçanın uzunluğunun $frac{1}{9}$ olduğunu gösterir.
A noktası, -2’den sonra gelen ilk noktadır. Yani -2’ye $frac{1}{9}$ eklenir.
$-2 + frac{1}{9}$
Bu ifadeyi ondalık olarak yazmak için önce kesri ondalık sayıya çevirelim: $frac{1}{9} = 0,111… = 0,overline{1}$
Şimdi -2 ile toplayalım: $-2 + 0,overline{1} = -2,overline{1}$
A’nın değeri: $-2,overline{1}$
Adım 2: B noktasının değerini bulma
B noktası, 0 ile -1 arasındadır ve bu aralık 5 eş parçaya ayrılmıştır. Bu, her bir parçanın uzunluğunun $frac{1}{5}$ olduğunu gösterir.
B noktası, 0’dan sonra gelen ilk noktadır (sol tarafa doğru). Yani 0’dan $frac{1}{5}$ kadar geridedir. Bu da $- frac{1}{5}$ demektir.
Kesri ondalık sayıya çevirelim: $frac{1}{5} = 0,2$. O zaman $- frac{1}{5} = -0,2$.
B’nin değeri: $-0,2$
Adım 3: C noktasının değerini bulma
C noktası da 0 ile -1 arasındadır ve bu aralık 5 eş parçaya ayrılmıştır. Her bir parçanın uzunluğu $frac{1}{5}$’tir.
C noktası, 0’dan sonra gelen ikinci noktadır (sol tarafa doğru). Yani 0’dan $2 times frac{1}{5}$ kadar geridedir.
$0 – (2 times frac{1}{5}) = – frac{2}{5}$
Kesri ondalık sayıya çevirelim: $frac{2}{5} = 0,4$. O zaman $- frac{2}{5} = -0,4$.
C’nin değeri: $-0,4$
Sonuçlar:
A: $-2,overline{1}$
B: $-0,2$
C: $-0,4$
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerler olursa çekinmeden sorun lütfen!