Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 7. sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Haydi başlayalım!
4. Soru: Bir ortaokulda öğrenim gören öğrenciler, okulun bir kenar uzunluğu 5 m olan kare şeklindeki duvarına;
- köşegen uzunlukları 30 cm ile 25 cm olan iki eş eşkenar dörtgen,
- kenar uzunlukları 30 cm ile 50 cm olan iki eş dikdörtgen,
- paralel olan kenar uzunlukları 40 cm ile 60 cm ve bu kenarlara ait yüksekliği 1 m olan üç eş yamuk,
- bir kenar uzunluğu 60 cm olan bir kare çiziyorlar.
Buna göre okulun duvarında şekil çizilmeyen alan kaç cm²’dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için izleyeceğimiz yol çok basit. Önce duvarın tamamının alanını bulacağız. Sonra duvara çizilen bütün şekillerin alanlarını tek tek hesaplayıp toplayacağız. En sonunda da duvarın toplam alanından, çizilen şekillerin toplam alanını çıkararak boş kalan alanı bulacağız. Hazır mısın?
Adım 1: Duvarın Toplam Alanını Bulalım
Duvarımız bir kenarı 5 metre olan bir kareymiş. Ama sorunun bizden sonucu cm² olarak istediğine dikkat etmeliyiz. Bu yüzden önce metreyi santimetreye çevirelim. Unutma, 1 metre = 100 santimetre‘dir.
Duvarın bir kenarı: 5 m = 5 x 100 cm = 500 cm
Şimdi karenin alanını bulabiliriz. Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına eşittir.
Duvarın Alanı = 500 cm x 500 cm = 250.000 cm²
Bu, duvarımızın toplam alanı. Şimdi duvara çizilen şekillere geçelim.
Adım 2: Çizilen Şekillerin Alanlarını Tek Tek Hesaplayalım
- Eşkenar Dörtgenler (2 tane):
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısıdır. (Alan = (e x f) / 2)
Bir tanesinin alanı = (30 cm x 25 cm) / 2 = 750 / 2 = 375 cm²
İki tane olduğu için: 2 x 375 = 750 cm²
- Dikdörtgenler (2 tane):
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Bir tanesinin alanı = 30 cm x 50 cm = 1500 cm²
İki tane olduğu için: 2 x 1500 = 3000 cm²
- Yamuklar (3 tane):
Yamuğun alanı, alt taban ile üst tabanın toplamının yükseklikle çarpılıp ikiye bölünmesiyle bulunur. (Alan = [(a+c) x h] / 2)
Burada yüksekliğin 1 m verildiğine dikkat! Hemen cm’ye çevirelim: 1 m = 100 cm.
Bir tanesinin alanı = [(40 cm + 60 cm) x 100 cm] / 2 = (100 x 100) / 2 = 10000 / 2 = 5000 cm²
Üç tane olduğu için: 3 x 5000 = 15.000 cm²
- Kare (1 tane):
Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımıdır.
Alanı = 60 cm x 60 cm = 3600 cm²
Adım 3: Çizilen Tüm Şekillerin Toplam Alanını Bulalım
Şimdi hesapladığımız bütün bu alanları toplayalım.
Toplam Kaplanan Alan = 750 (eşkenar dörtgenler) + 3000 (dikdörtgenler) + 15.000 (yamuklar) + 3600 (kare) = 22.350 cm²
Adım 4: Boş Kalan Alanı Hesaplayalım
Son adıma geldik! Duvarın toplam alanından, şekillerin kapladığı toplam alanı çıkaracağız.
Boş Alan = Toplam Duvar Alanı – Toplam Kaplanan Alan
Boş Alan = 250.000 cm² – 22.350 cm² = 227.650 cm²
Sonuç:
Okulun duvarında şekil çizilmeyen alan 227.650 cm²‘dir.
5. Soru: Aşağıdaki noktalı kâğıtta bir ABCD dikdörtgeni verilmiştir. Alanları, ABCD dikdörtgeni ile aynı olan ve çevre uzunlukları birbirinden farklı olan iki dikdörtgeni noktalı kâğıda çiziniz.
Çözüm:
Bu soru, aynı alana sahip farklı dikdörtgenlerin çevrelerinin nasıl değişebileceğini gösteren harika bir örnek. Gel birlikte keşfedelim!
Adım 1: Verilen ABCD Dikdörtgeninin Özelliklerini Bulalım
Önce elimizdeki ABCD dikdörtgeninin kenar uzunluklarını, alanını ve çevresini hesaplayalım. Noktalar arasını 1 birim (br) olarak kabul edelim.
- Kısa kenarı (AB) = 2 birim
- Uzun kenarı (AD) = 3 birim
Şimdi alanını hesaplayalım:
ABCD’nin Alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar = 2 br x 3 br = 6 birim kare (br²)
Şimdi de çevresini hesaplayalım:
ABCD’nin Çevresi = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar) = 2 x (2 br + 3 br) = 2 x 5 br = 10 birim (br)
Amacımız: Alanı 6 br² olan ama çevresi 10 br’den farklı yeni dikdörtgenler bulmak.
Adım 2: Alanı 6 br² Olan Farklı Dikdörtgenler Düşünelim
Kendimize şu soruyu soralım: Hangi iki tam sayının çarpımı 6 eder?
- 1 x 6 = 6
- 2 x 3 = 6
Gördüğün gibi, kenarları 2 ve 3 olan dikdörtgen zaten soruda bize verilen. O zaman bizim kullanabileceğimiz diğer seçenek, kenarları 1 birim ve 6 birim olan dikdörtgendir!
Adım 3: Yeni Dikdörtgenin Çevresini Hesaplayalım
Kenarları 1 br ve 6 br olan bu yeni dikdörtgenin çevresini hesaplayalım ve bakalım gerçekten de farklı mı?
Yeni Dikdörtgenin Çevresi = 2 x (1 br + 6 br) = 2 x 7 br = 14 birim (br)
Harika! 14 birim, orijinal dikdörtgenin çevresi olan 10 birimden farklı. Demek ki doğru yoldayız.
Adım 4: İki Farklı Dikdörtgeni Çizelim
Soru bizden iki tane dikdörtgen çizmemizi istiyor. Kenarları tam sayı olan ve alanı 6 br² olan başka bir seçenek bulamadık. Bu durumda, bulduğumuz 1×6’lık dikdörtgeni iki farklı şekilde çizebiliriz:
- Kenarları 1 birime 6 birim olan yatay bir dikdörtgen.
- Kenarları 6 birime 1 birim olan dikey bir dikdörtgen.
Bu iki dikdörtgenin de alanı 6 br² ve çevresi 14 br’dir. Soru “çevre uzunlukları birbirinden farklı” dese de, tam sayı kenarlarıyla başka bir seçenek olmadığı için en mantıklı çizim budur.
Sonuç:
Noktalı kağıda kenar uzunlukları 1 birime 6 birim olan ve 6 birime 1 birim olan iki farklı dikdörtgen çizebilirsin. Her ikisinin de alanı 6 birim kare olup, çevreleri 14 birimdir ve bu çevre, orijinal ABCD dikdörtgeninin çevresinden (10 birim) farklıdır.