7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Edat Yayınları Sayfa 213

Soru: Çokgenin bir köşesinden diğer köşelerine 3. şekildeki gibi doğru parçaları çiziniz.

Çözüm:

Merhaba çocuklar, bu ilk adımda bizden bir çokgenin bir köşesini seçip, o köşeden kendisine komşu olmayan diğer tüm köşelere çizgiler, yani köşegenler çizmemiz isteniyor. 3. şekildeki çokgen bir beşgendir (5 kenarı var). Gelin, şekle bakalım:

Şekildeki beşgenin bir köşesinden (en üstteki köşe) diğer köşelere iki tane köşegen çizilmiş. Bu köşegenler sayesinde beşgenin içinde küçük üçgenler oluştuğunu görüyoruz.

Soru: Çokgende kaç adet üçgen oluştu? Üçgenlerin iç açı ölçülerinin toplamı ile not ettiğiniz sarı açıların ölçülerinin toplamını karşılaştırınız.

Çözüm:

Adım 1: Şekildeki beşgenin bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde tam 3 adet üçgen oluştuğunu sayabiliriz.

Adım 2: Şimdi düşünelim. Bu 3 üçgenin tüm iç açılarının toplamı, aslında bizim büyük beşgenimizin iç açılarının toplamına eşittir. Çünkü üçgenlerin köşeleri, aynı zamanda beşgenin de köşelerini oluşturuyor. Yani bu iki toplam birbirine eşittir.

Soru: Bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 180° olduğundan elde edilen 3 üçgenin iç açılarının toplamına eşit olduğunu fark ettiniz mi?

Çözüm:

Evet, harika bir noktaya geldik! Geçen seneden hatırlayacağınız gibi, bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°‘dir. Madem bizim beşgenimizin içinde 3 tane üçgen var, o zaman beşgenin iç açıları toplamını kolayca bulabiliriz!

1 üçgenin iç açıları toplamı = 180°
3 üçgenin iç açıları toplamı = 3 x 180° = 540°

Bu demektir ki, bir beşgenin iç açıları toplamı 540°‘dir. Ne kadar kolay değil mi?

Soru: Yaptığınız karşılaştırmaya göre bir çokgenin iç açı ölçülerinin toplamını bulmaya yönelik genel bir ifade yazınız.

Çözüm:

İşte şimdi matematiğin en sevdiğim kısmına, yani bir kural, bir formül bulmaya geldik! Dikkat edelim:

Kenar sayısına ‘n‘ diyelim.

Beşgenin (n=5) içinde 3 tane üçgen oluştu. (yani 5 – 2 = 3)
Eğer bir dörtgen (n=4) çizseydik, içinde 2 tane üçgen oluşacaktı. (yani 4 – 2 = 2)
Eğer bir altıgen (n=6) çizseydik, içinde 4 tane üçgen oluşacaktı. (yani 6 – 2 = 4)

Gördüğünüz gibi, bir çokgenin içinde oluşan üçgen sayısı, kenar sayısının her zaman 2 eksiği kadardır. O zaman genel formülümüzü yazabiliriz:

Bir ‘n’ kenarlı çokgenin iç açıları toplamı: (n – 2) x 180°
İşte bu formül bizim süper kahramanımız! Bütün çokgenlerin iç açıları toplamını bu formülle bulabiliriz.

Soru: Yaptığınız karşılaştırmalara göre bir çokgenin dış açı ölçülerinin toplamını bulmaya yönelik genel bir ifade yazınız.

Çözüm:

Çocuklar, bu da çok önemli ve çok basit bir kuraldır. Bir çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun (ister üçgen, ister ongen, ister yüzgen olsun fark etmez), bütün dışbükey çokgenlerin dış açıları ölçüleri toplamı her zaman 360°’dir. Bu hiç değişmez!

Çokgenin dış açıları toplamı = 360°