Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bugün sizlerle kitabımızdaki çokgenlerle ilgili bu keyifli etkinliği ve örnekleri adım adım inceleyeceğiz. Bu etkinlik sayesinde çokgenlerin iç açıları ve dış açıları hakkında çok önemli kuralları kendimiz keşfedeceğiz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
Görseldeki etkinlik ve soruları sırasıyla ele alalım.
Soru: Çokgenin bir köşesinden diğer köşelerine 3. şekildeki gibi doğru parçaları çiziniz.
Çözüm:
Merhaba çocuklar, bu ilk adımda bizden bir çokgenin bir köşesini seçip, o köşeden kendisine komşu olmayan diğer tüm köşelere çizgiler, yani köşegenler çizmemiz isteniyor. 3. şekildeki çokgen bir beşgendir (5 kenarı var). Gelin, şekle bakalım:
Şekildeki beşgenin bir köşesinden (en üstteki köşe) diğer köşelere iki tane köşegen çizilmiş. Bu köşegenler sayesinde beşgenin içinde küçük üçgenler oluştuğunu görüyoruz.
Soru: Çokgende kaç adet üçgen oluştu? Üçgenlerin iç açı ölçülerinin toplamı ile not ettiğiniz sarı açıların ölçülerinin toplamını karşılaştırınız.
Çözüm:
Adım 1: Şekildeki beşgenin bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde tam 3 adet üçgen oluştuğunu sayabiliriz.
Adım 2: Şimdi düşünelim. Bu 3 üçgenin tüm iç açılarının toplamı, aslında bizim büyük beşgenimizin iç açılarının toplamına eşittir. Çünkü üçgenlerin köşeleri, aynı zamanda beşgenin de köşelerini oluşturuyor. Yani bu iki toplam birbirine eşittir.
Soru: Bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 180° olduğundan elde edilen 3 üçgenin iç açılarının toplamına eşit olduğunu fark ettiniz mi?
Çözüm:
Evet, harika bir noktaya geldik! Geçen seneden hatırlayacağınız gibi, bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°‘dir. Madem bizim beşgenimizin içinde 3 tane üçgen var, o zaman beşgenin iç açıları toplamını kolayca bulabiliriz!
1 üçgenin iç açıları toplamı = 180°
3 üçgenin iç açıları toplamı = 3 x 180° = 540°Bu demektir ki, bir beşgenin iç açıları toplamı 540°‘dir. Ne kadar kolay değil mi?
Soru: Yaptığınız karşılaştırmaya göre bir çokgenin iç açı ölçülerinin toplamını bulmaya yönelik genel bir ifade yazınız.
Çözüm:
İşte şimdi matematiğin en sevdiğim kısmına, yani bir kural, bir formül bulmaya geldik! Dikkat edelim:
Kenar sayısına ‘n‘ diyelim.
- Beşgenin (n=5) içinde 3 tane üçgen oluştu. (yani 5 – 2 = 3)
- Eğer bir dörtgen (n=4) çizseydik, içinde 2 tane üçgen oluşacaktı. (yani 4 – 2 = 2)
- Eğer bir altıgen (n=6) çizseydik, içinde 4 tane üçgen oluşacaktı. (yani 6 – 2 = 4)
Gördüğünüz gibi, bir çokgenin içinde oluşan üçgen sayısı, kenar sayısının her zaman 2 eksiği kadardır. O zaman genel formülümüzü yazabiliriz:
Bir ‘n’ kenarlı çokgenin iç açıları toplamı: (n – 2) x 180°
İşte bu formül bizim süper kahramanımız! Bütün çokgenlerin iç açıları toplamını bu formülle bulabiliriz.
Soru: Yaptığınız karşılaştırmalara göre bir çokgenin dış açı ölçülerinin toplamını bulmaya yönelik genel bir ifade yazınız.
Çözüm:
Çocuklar, bu da çok önemli ve çok basit bir kuraldır. Bir çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun (ister üçgen, ister ongen, ister yüzgen olsun fark etmez), bütün dışbükey çokgenlerin dış açıları ölçüleri toplamı her zaman 360°’dir. Bu hiç değişmez!
Çokgenin dış açıları toplamı = 360°
Bilgi Kutusu Açıklaması
Kutucukta bize çokgenlerle ilgili temel kavramlar hatırlatılıyor:
- İç Açı: Çokgenin içinde kalan açıdır. Yandaki şekilde sarı ile gösterilen açı bir iç açıdır.
- Dış Açı: İç açıyı 180°’ye tamamlayan komşu açıdır. Şekilde mavi ile gösterilen P açısı bir dış açıdır. Unutmayın, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman 180°’dir.
- Köşegen: Bir çokgende ardışık (yan yana) olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Şekilde L ve N köşelerini birleştiren yeşil çizgi bir köşegendir.
Örnek ve Çözüm
Soru: Yandaki çokgenin iç açılarını belirleyelim.
Çözüm:
Adım 1: Öncelikle çokgenin kaç kenarı olduğunu sayalım. Şekle baktığımızda A, B, C, D, E, F, K köşelerini görüyoruz. Kenarları saydığımızda (AB, BC, CD, DE, EF, FK, KA) toplam 7 kenarı olduğunu buluruz.
Adım 2: 7 kenarı olan çokgenlere yedigen denir. Bu çokgenimiz ABCDEFK yedigenidir.
Adım 3: Soruda bizden iç açılarını belirlememiz isteniyor. İç açılar, çokgenin içinde kalan ve köşelerde oluşan açılardır. Bu yedigenin iç açıları şunlardır:
- A açısı (KAB açısı)
- B açısı (ABC açısı)
- C açısı (BCD açısı)
- D açısı (CDE açısı)
- E açısı (DEF açısı)
- F açısı (EFK açısı)
- K açısı (FKA açısı)
Çözüm kısmındaki ikinci şekilde de bu 7 adet iç açı sarı renkle gösterilmiştir. Böylece yedigenin 7 tane iç açısı olduğunu görmüş olduk.
Umarım bu açıklamalarla konu daha iyi anlaşılmıştır. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu formülleri çok daha kolay kullanabilirsiniz. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!