Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Şimdi gönderdiğiniz görseldeki soruları hep birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağınız bir dille çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1: Görselde verilen 7/A sınıfındaki Ahmet, her bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının her zaman pozitif tam sayı olacağını söylüyor. Aslı ise çarpımın bazen negatif tam sayı olabileceğini söylüyor. Hangi öğrenci söylediklerinde haklıdır? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem pozitif hem de negatif tam sayıların kuvvetlerini (yani kendileriyle tekrarlı çarpımlarını) denememiz gerekiyor. Bakalım kimin söylediği doğru çıkacak.
Ahmet diyor ki: “Sonuç her zaman pozitiftir.”
Aslı diyor ki: “Sonuç bazen negatif olabilir.”
Adım 1: Pozitif bir tam sayı deneyelim.
Mesela (+3) sayısını alalım ve kendisiyle 2 defa çarpalım:
(+3)² = (+3) x (+3) = +9
Sonuç pozitif. Bu durumda Ahmet haklı gibi görünüyor.
Adım 2: Şimdi de negatif bir tam sayı deneyelim.
Bu sefer (-3) sayısını alalım ve kendisiyle 2 defa (yani çift sayıda) çarpalım:
(-3)² = (-3) x (-3) = +9
Unutmayın, iki negatif sayının çarpımı her zaman pozitiftir! Sonuç yine pozitif çıktı. Ahmet hala haklı olabilir mi?
Adım 3: Negatif sayıyı bu sefer tek sayıda çarpalım.
Haydi (-3) sayısını kendisiyle 3 defa (yani tek sayıda) çarpalım:
(-3)³ = (-3) x (-3) x (-3)
Önce ilk ikisini çarpalım: (-3) x (-3) = +9
Şimdi bulduğumuz sonucu üçüncü sayı ile çarpalım: (+9) x (-3) = -27
İşte bakın! Sonuç negatif çıktı!
Sonuç:
Gördüğümüz gibi, negatif bir tam sayının üssü (kuvveti) tek sayı ise sonuç negatif oluyor. Bu yüzden Aslı haklıdır. Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı, tabandaki sayı negatif ve üs tek sayı olduğunda negatif olabilir.
Etkinlik: Tabloyu Dolduralım
Şimdi de etkinlikteki tabloyu birlikte dolduralım. Bu, konuyu daha iyi anlamamıza yardımcı olacak.
Soru: (+4)³
Çözüm:
Adım 1: Bu ifade, (+4) sayısını 3 kere yan yana yazıp çarpmamız gerektiğini söylüyor.
İşlem: (+4) ⋅ (+4) ⋅ (+4)
Adım 2: Önce ilk iki sayıyı çarpalım: (+4) ⋅ (+4) = +16.
Adım 3: Bulduğumuz sonucu üçüncü sayıyla çarpalım: (+16) ⋅ (+4) = +64.
Sonuç:
(+4)³ = +64
Soru: (+7)²
Çözüm:
Adım 1: Bu ifade, (+7) sayısını 2 kere yan yana yazıp çarpmamız gerektiğini söylüyor.
İşlem: (+7) ⋅ (+7)
Adım 2: İki sayıyı çarpalım: (+7) ⋅ (+7) = +49.
Sonuç:
(+7)² = +49
Soru: 5⁴
Çözüm:
Adım 1: Bir sayının yanında işaret yoksa o sayıyı pozitif kabul ederiz. Yani bu ifade aslında (+5)⁴ demektir. Bu da (+5) sayısını 4 kere yan yana yazıp çarpmamız gerektiğini söyler.
İşlem: (+5) ⋅ (+5) ⋅ (+5) ⋅ (+5)
Adım 2: Sırayla çarpalım. (+5) ⋅ (+5) = +25
Adım 3: Şimdi bulduğumuz sonucu üçüncü 5 ile çarpalım: (+25) ⋅ (+5) = +125
Adım 4: Son olarak bu sonucu dördüncü 5 ile çarpalım: (+125) ⋅ (+5) = +625
Sonuç:
5⁴ = +625
Etkinlik Sorusu: Üslü ifadelerin değerlerini bulurken yaptığınız işlemlere göre pozitif tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımlarına yönelik genel bir ifade yazınız.
Çözüm:
Tablodaki örneklere baktığımızda ((+3)², (+4)³, (+7)², 5⁴) hepsinin sonucunun pozitif olduğunu görüyoruz. Buradan şu genel kuralı çıkarabiliriz:
Pozitif bir tam sayının bütün doğal sayı kuvvetleri (üssü ne olursa olsun) daima pozitiftir.
Etkinlik Sorusu: Negatif tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımlarını pozitif tam sayılar için kullandığınız yöntemle bulabilir misiniz? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Çözüm:
Elbette bulabiliriz! Yöntemimiz yine aynı, yani sayıyı üssü kadar yan yana yazıp çarpmak. Ancak burada işaretlere çok dikkat etmemiz gerekiyor. İlk soruda Aslı’nın haklı olduğunu ispatlarken öğrendiğimiz kuralı hatırlayalım:
- Eğer negatif bir sayının üssü çift bir sayı ise (2, 4, 6, 8 gibi), sonuç her zaman pozitif (+) olur.
Örnek: (-2)⁴ = (-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) = +16 - Eğer negatif bir sayının üssü tek bir sayı ise (1, 3, 5, 7 gibi), sonuç her zaman negatif (-) olur.
Örnek: (-2)³ = (-2)⋅(-2)⋅(-2) = -8
Yani yöntem aynı, sadece sonucun işaretini belirlerken üssün tek mi çift mi olduğuna bakıyoruz. İşte bu kadar basit!
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutmayın, matematik pratik yaparak öğrenilir. Bol bol soru çözmekten çekinmeyin! Başarılar dilerim.