Merhaba sevgili öğrencim,
Ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Gönderdiğin görseldeki alıştırmaları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Hadi başlayalım!
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
Bu soruda rasyonel sayıların kuvvetlerini (yani üslerini) bulmamız isteniyor. Temel kuralımız şudur: Bir kesrin kuvveti alınırken, hem payın (üstteki sayı) hem de paydanın (alttaki sayı) kuvveti ayrı ayrı alınır. Bir de işaretlere dikkat etmeliyiz!
Unutma: Negatif bir sayının çift kuvveti (2, 4, 6 gibi) her zaman pozitif olur. Negatif bir sayının tek kuvveti (1, 3, 5 gibi) ise her zaman negatif olur.
a) ( – 3⁄11 )2
Adım 1: Parantezin içindeki sayı negatif ve üssümüz 2, yani çift bir sayı. Bu yüzden sonucumuz pozitif olacak.
Adım 2: Hem payın hem de paydanın 2. kuvvetini (karesini) alalım.
(-3)2 = (-3) × (-3) = 9
112 = 11 × 11 = 121
Sonuç: 9⁄121
b) ( – 2⁄7 )2
Adım 1: Yine negatif bir sayının çift kuvveti var, demek ki sonuç pozitif.
Adım 2: Pay ve paydanın karesini alalım.
(-2)2 = 4
72 = 49
Sonuç: 4⁄49
c) ( 4⁄13 )2
Adım 1: Sayımız zaten pozitif, sonuç da pozitif olacak.
Adım 2: Pay ve paydanın karesini alalım.
42 = 16
132 = 169
Sonuç: 16⁄169
ç) ( 1⁄20 )2
Adım 1: Pozitif bir sayı, sonuç pozitif.
Adım 2: Pay ve paydanın karesini alalım.
12 = 1
202 = 400
Sonuç: 1⁄400
d) – ( 5⁄7 )2
Adım 1:Dikkat et! Eksi işareti parantezin dışında. Bu, önce üslü ifadenin değerini bulup sonra önüne eksi koyacağımız anlamına gelir.
Adım 2: (5⁄7)2 ifadesinin değerini bulalım. 52 = 25 ve 72 = 49. Yani sonuç 25⁄49.
Adım 3: Şimdi bulduğumuz sonucun önüne baştaki eksiyi koyalım.
Sonuç: – 25⁄49
e) – ( – 4⁄15 )2
Adım 1: Bu da bir önceki soruya benziyor. Önce parantez içindeki işlemi yapalım. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
(- 4⁄15 )2 = (16⁄225)
Adım 2: Şimdi ifadenin en başındaki eksiyi sonucun önüne ekleyelim.
Sonuç: – 16⁄225
f) ( 1⁄3 )3
Adım 1: Bu sefer üssümüz 3, yani küpünü alacağız.
Adım 2: Pay ve paydanın 3. kuvvetini alalım.
13 = 1 × 1 × 1 = 1
33 = 3 × 3 × 3 = 27
Sonuç: 1⁄27
g) ( – 2⁄11 )3
Adım 1: Negatif bir sayının tek kuvveti (3) var, sonuç negatif olacak.
Adım 2: Pay ve paydanın 3. kuvvetini alalım.
23 = 8
113 = 1331
Sonuç: – 8⁄1331
ğ) ( – 1⁄10 )3
Adım 1: Negatif sayının tek kuvveti, sonuç negatif.
Adım 2: Pay ve paydanın küpünü alalım.
13 = 1
103 = 1000
Sonuç: – 1⁄1000
h) ( 3⁄2 )3
Adım 1: Pozitif sayı, sonuç pozitif.
Adım 2: Pay ve paydanın küpünü alalım.
33 = 27
23 = 8
Sonuç: 27⁄8
ı) ( 3 1⁄2 )3
Adım 1: Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim.
3 1⁄2 = ( (3×2)+1 ) / 2 = 7⁄2
Adım 2: Şimdi bu kesrin küpünü alalım: (7⁄2)3
73 = 7 × 7 × 7 = 343
23 = 2 × 2 × 2 = 8
Sonuç: 343⁄8
i) ( -1 2⁄7 )2
Adım 1: Yine tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim.
-1 2⁄7 = – ( (1×7)+2 ) / 7 = – 9⁄7
Adım 2: Şimdi bu kesrin karesini alalım: (- 9⁄7)2. Negatif sayının çift kuvveti olduğu için sonuç pozitif olacak.
92 = 81
72 = 49
Sonuç: 81⁄49
Soru 2: Aşağıdaki mavi kutularda verilen ifadelerin değerleri, sarı kutularda verilen rasyonel sayılarla eşleştirildiğinde hangi rasyonel sayı açıkta kalır?
Bu soruda önce mavi kutulardaki üslü ifadelerin değerlerini tek tek hesaplayacağız. Sonra bulduğumuz sonuçları sarı kutulardaki sayılarla eşleştireceğiz. Eşi olmayan sayı, bizim cevabımız olacak.
- Birinci Mavi Kutu: ( – 1⁄2 )3
Negatif sayının tek kuvveti olduğu için sonuç negatif olacak.
13 = 1 ve 23 = 8.
Sonuç: – 1⁄8 - İkinci Mavi Kutu: ( 1⁄8 )2
Pozitif sayının karesi pozitiftir.
12 = 1 ve 82 = 64.
Sonuç: 1⁄64 - Üçüncü Mavi Kutu: ( – 1⁄4 )3
Negatif sayının tek kuvveti olduğu için sonuç negatif olacak.
13 = 1 ve 43 = 64.
Sonuç: – 1⁄64 - Dördüncü Mavi Kutu: ( – 1⁄16 )2
Negatif sayının çift kuvveti olduğu için sonuç pozitif olacak.
12 = 1 ve 162 = 256.
Sonuç: 1⁄256
Şimdi eşleştirme yapalım:
Mavi kutulardan çıkan sonuçlar: – 1⁄8, 1⁄64, – 1⁄64, 1⁄256.
Sarı kutulardaki sayılar: – 1⁄8, – 1⁄64, 1⁄256, 1⁄64, 1⁄8.
Gördüğün gibi, sarı kutulardaki – 1⁄8, 1⁄64, – 1⁄64 ve 1⁄256 sayıları mavi kutulardaki sonuçlarla eşleşiyor.
Sonuç: Açıkta kalan sayı 1⁄8‘dir.
Soru 3: Yandaki şemada belirtilen işlemleri yaparak boş kutucuklara uygun rasyonel sayıları yazınız (Çıkarma işlemini yaparken soldaki rasyonel sayıdan sağdaki rasyonel sayıyı çıkarınız.).
Bu şemayı adım adım takip ederek boş kutuları dolduracağız.
Adım 1: En üstteki sayıların değerlerini bulalım.
- Soldaki sayı: ( – 3⁄5 )2
Negatif sayının çift kuvveti olduğu için sonuç pozitif.
32 = 9 ve 52 = 25.
Sonuç: 9⁄25 - Sağdaki sayı: 1 (değerini bulmaya gerek yok, zaten verilmiş).
- Alttaki sayı: ( – 1⁄5 )3
Negatif sayının tek kuvveti olduğu için sonuç negatif.
13 = 1 ve 53 = 125.
Sonuç: – 1⁄125
Adım 2: İlk boş kutuyu bulalım (Toplama İşlemi).
Şemaya göre ilk iki sayıyı toplamamız gerekiyor: 9⁄25 + 1
Toplama yapmak için paydaların eşit olması lazım. 1’i paydası 25 olan bir kesir olarak yazalım: 1 = 25⁄25.
Şimdi toplayalım: 9⁄25 + 25⁄25 = (9+25)⁄25 = 34⁄25
Böylece ilk boş kutuyu bulduk!
Adım 3: İkinci boş kutuyu bulalım (Çıkarma İşlemi).
Şimdi bir önceki adımda bulduğumuz sonuçtan (34⁄25) en alttaki sayıyı (- 1⁄125) çıkarmamız gerekiyor.
İşlemimiz: 34⁄25 – ( – 1⁄125 )
Unutma, bir negatif sayıyı çıkarmak, o sayının pozitifini eklemekle aynı şeydir! Yani işlemimiz 34⁄25 + 1⁄125 haline gelir.
Paydaları eşitlemek için ilk kesri 5 ile genişletelim: (34 × 5⁄25 × 5) = 170⁄125.
Şimdi toplayalım: 170⁄125 + 1⁄125 = (170+1)⁄125 = 171⁄125
İşte son kutuyu da bulduk!
Sonuç:
Ortadaki boş kutu: 34⁄25
En alttaki boş kutu: 171⁄125
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Başarılar dilerim