Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin bu güzel soruları inceledim. Matematik aslında bir bulmaca gibidir ve bu bulmacaları çözmek çok keyifli! Şimdi birlikte, adım adım bu soruların üstesinden geleceğiz. Hazırsan başlayalım!
18. Soru: Cemil, pembe ve sarı kartonlardan alanları eşit olan iki dikdörtgen oluşturuyor. Pembe dikdörtgen yanda verilmiştir ve bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 cm ile 3 cm’dir. Sarı dikdörtgenin kenar uzunlukları birer doğal sayı olduğuna göre çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Merhaba, bu soruyu çözmek için önce bize verilen ipuçlarını doğru anlamalıyız. En önemli ipucu, pembe ve sarı dikdörtgenlerin alanlarının eşit olması!
Unutma, bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Çevresi ise bütün kenarlarının toplamına, yani 2 x (kısa kenar + uzun kenar) formülüyle bulunur.
Adım 1: Pembe Dikdörtgenin Alanını Bulalım
Bize verilen pembe dikdörtgenin kenarları 6 cm ve 3 cm. Alanını bulmak için bu iki sayıyı çarpmamız yeterli.
Alan = 6 cm × 3 cm = 18 cm²
Demek ki hem pembe hem de sarı dikdörtgenin alanı 18 cm² imiş.
Adım 2: Sarı Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım
Soruda sarı dikdörtgenin kenarlarının birer doğal sayı olduğu söyleniyor. Alanı 18 cm² olduğuna göre, çarpımları 18 olan doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Bunlar 18’in çarpanlarıdır.
- 1 cm ve 18 cm (Çünkü 1 × 18 = 18)
- 2 cm ve 9 cm (Çünkü 2 × 9 = 18)
- 3 cm ve 6 cm (Çünkü 3 × 6 = 18)
Adım 3: Bu Kenar Uzunluklarına Göre Olası Çevre Uzunluklarını Hesaplayalım
Şimdi bulduğumuz her bir kenar çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım. Formülümüz: Çevre = 2 × (kısa kenar + uzun kenar).
- Eğer kenarlar 1 cm ve 18 cm ise: Çevre = 2 × (1 + 18) = 2 × 19 = 38 cm
- Eğer kenarlar 2 cm ve 9 cm ise: Çevre = 2 × (2 + 9) = 2 × 11 = 22 cm
- Eğer kenarlar 3 cm ve 6 cm ise: Çevre = 2 × (3 + 6) = 2 × 9 = 18 cm
Adım 4: Şıkları Kontrol Edelim
Şimdi bulduğumuz sonuçlarla şıkları karşılaştıralım.
A) 18 cm olabilir.
B) 22 cm olabilir.
C) 30 cm bulduğumuz sonuçlar arasında yok.
D) 38 cm olabilir.
Sonuç olarak, sarı dikdörtgenin çevre uzunluğu 30 cm olamaz.
Doğru Cevap: C) 30 cm
19. Soru: Aşağıdaki kareli kâğıtta, çevre uzunlukları eşit olan dikdörtgenler verilmiştir. Dikdörtgenlerden hangisinin alanı daha büyüktür?
Bu soruda bize bir kural hatırlatılıyor aslında. Önce bu kuralı kendimiz keşfedelim! Bize verilen dikdörtgenlerin çevrelerinin eşit olduğu söylenmiş. Her bir karenin kenarına 1 birim diyelim ve hesaplayalım.
Adım 1: Dikdörtgenlerin Çevre ve Alanlarını Hesaplayalım
Her bir şeklin kenar uzunluklarını sayarak hem çevresini hem de alanını bulalım.
- A) Şekli:
Kenarları: 1 birim ve 5 birim
Çevresi: 2 × (1 + 5) = 2 × 6 = 12 birim
Alanı: 1 × 5 = 5 birimkare - B) Şekli:
Kenarları: 2 birim ve 4 birim
Çevresi: 2 × (2 + 4) = 2 × 6 = 12 birim
Alanı: 2 × 4 = 8 birimkare - C) Şekli:
Kenarları: 3 birim ve 3 birim (Bu bir kare!)
Çevresi: 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12 birim
Alanı: 3 × 3 = 9 birimkare - D) Şekli:
Kenarları: 1 birim ve 5 birim
Çevresi: 2 × (1 + 5) = 2 × 6 = 12 birim
Alanı: 1 × 5 = 5 birimkare
Adım 2: Alanları Karşılaştıralım
Hesapladığımız alanlar: 5, 8, 9 ve 5. Bu sayılardan en büyüğü 9’dur. Bu da C şekline aittir.
Öğretmeninin Notu: Sevgili öğrencim, bu sorudan çıkarmamız gereken çok önemli bir ders var! Çevre uzunlukları aynı olan dikdörtgenler arasında, kenar uzunlukları birbirine en yakın olanın alanı en büyüktür. Hatta kenarları eşit, yani kare olan şeklin alanı en büyük olur. Bak, C şekli bir kare ve alanı en büyük çıktı! Bu bilgiyi aklının bir köşesine yaz, sınavlarda sana çok zaman kazandırır.
Doğru Cevap: C
20. Soru: Gözde, pergel kullanarak defterine, yarıçap uzunluğu 21 cm olan O merkezli bir daire çiziyor. Merkez açısının ölçüsü 120° olan bir daire dilimini kırmızı kalemle oluşturuyor. Oluşturduğu daire dilimini maviye boyuyor. Gözde’nin defterine çizdiği daire yanda verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız (π’yi 3 alınız.).
Harika bir çember sorusu! Bu soruyu çözmek için çemberle ilgili bazı temel formülleri hatırlamamız gerekiyor. Hadi adım adım her şıkkı çözelim.
Verilenler:
Yarıçap (r) = 21 cm
Merkez Açı (AOB açısı) = 120°
Pi sayısı (π) = 3
a) ACB yayının ölçüsü kaç derecedir?
Adım 1: Bir yayın ölçüsü, onu gören merkez açının ölçüsüne eşittir. Şekilde ACB yayı, 120 derecelik merkez açıyı görüyor.
Sonuç: ACB yayının ölçüsü 120°‘dir.
b) O merkezli dairenin sınırı olan çemberin çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Adım 1: Çemberin çevre formülünü hatırlayalım: Çevre = 2 × π × r
Adım 2: Formülde verilenleri yerine yazalım.
Çevre = 2 × 3 × 21 = 6 × 21 = 126 cm.
Sonuç: Çemberin çevresi 126 cm‘dir.
c) ADB yayının ölçüsü kaç derecedir?
Adım 1: Bir çemberin tamamının ölçüsü 360 derecedir. ADB yayı, ACB yayının dışında kalan büyük yaydır.
Adım 2: Tam çemberin ölçüsünden küçük yayın ölçüsünü çıkararak büyük yayın ölçüsünü bulabiliriz.
ADB yayı = 360° – (ACB yayı) = 360° – 120° = 240°.
Sonuç: ADB yayının ölçüsü 240°‘dir.
ç) ACB yayının uzunluğu kaç santimetredir?
Adım 1: Yay uzunluğu bulmak için, tüm çevreyi açının 360’a oranıyla çarparız.
Yay Uzunluğu = Çevre × (Merkez Açı / 360°)
Adım 2: (b) şıkkında çevreyi 126 cm bulmuştuk. Açımız da 120°.
ACB Yay Uzunluğu = 126 × (120° / 360°) = 126 × (1/3) = 42 cm.
Sonuç: ACB yayının uzunluğu 42 cm‘dir.
d) ADB yayının uzunluğu kaç santimetredir?
Adım 1: Aynı formülü bu sefer 240° için kullanabiliriz.
ADB Yay Uzunluğu = 126 × (240° / 360°) = 126 × (2/3) = (126/3) × 2 = 42 × 2 = 84 cm.
(Kısa yol: Tüm çevreden küçük yayın uzunluğunu çıkararak da bulabilirdik: 126 – 42 = 84 cm)
Sonuç: ADB yayının uzunluğu 84 cm‘dir.
e) O merkezli dairenin alanı kaç santimetrekaredir?
Adım 1: Dairenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = π × r² (r’nin karesi)
Adım 2: Formülde verilenleri yerine yazalım.
Alan = 3 × (21)² = 3 × (21 × 21) = 3 × 441 = 1323 cm².
Sonuç: Dairenin alanı 1323 cm²‘dir.
f) Mavi daire diliminin alanı kaç santimetrekaredir?
Adım 1: Daire diliminin alanını bulmak için, tüm alanı açının 360’a oranıyla çarparız.
Dilim Alanı = Toplam Alan × (Merkez Açı / 360°)
Adım 2: (e) şıkkında toplam alanı 1323 cm² bulmuştuk. Mavi dilimin açısı 120°.
Mavi Dilim Alanı = 1323 × (120° / 360°) = 1323 × (1/3) = 441 cm².
Sonuç: Mavi daire diliminin alanı 441 cm²‘dir.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, formülleri bildiğimiz ve adım adım ilerlediğimiz zaman her soru çözülebilir. Başarılar dilerim!