Merhaba sevgili öğrencim,
Gönderdiğin görseldeki geometri sorularını senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Geometri gözünü korkutmasın, aslında bir bulmaca gibidir. Haydi başlayalım!
Soru 12: Harun, tahtadaki dört çiviye turuncu lastik takarak bir dikdörtgen ve yeşil lastiklerle bu dikdörtgenin köşegenlerini görseldeki gibi oluşturdu. Görselde verilen 30°’lik açı ölçüsüne göre “?” yerine hangi açı ölçüsü yazılmalıdır? (Lastiğin bağlandığı noktada açıların ölçülerinin sapma durumu dikkate alınmayacaktır.)
Bu soruyu çözmek için dikdörtgenin ve üçgenlerin özelliklerini hatırlayalım. Dikdörtgenin bütün iç açıları 90 derecedir. Köşegenler ise birbirini ortalar ve dört tane ikizkenar üçgen oluşturur.
Adım 1: Şekildeki sağ üst köşeye odaklanalım. Orada bir dik üçgen var, değil mi? Dikdörtgenin köşesi olduğu için bir açısı 90°. Soruda verilen açı 30°. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre, bu dik üçgenin diğer açısını bulalım: 90° + 30° = 120°. Üçgenin üçüncü açısı ise 180° – 120° = 60° olur. Bu 60°’lik açı, köşegenlerin kesiştiği yerdeki “?” işaretli açının komşusudur.
Adım 2: Şimdi köşegenlerin oluşturduğu üçgenlerden birine bakalım. Mesela üstteki üçgene. Dikdörtgende köşegenler birbirine eşittir ve birbirini ortalar. Bu yüzden üstteki üçgen bir ikizkenar üçgendir. Taban açılarından biri 30° ise diğeri de 30°‘dir.
Adım 3: Bu ikizkenar üçgenin tepe açısını (köşegenlerin kesişim noktasındaki açı) bulalım. Taban açıları toplamı 30° + 30° = 60°. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için tepe açısı 180° – 60° = 120°’dir. Bu 120°’lik açı, soru işaretinin olduğu açıyla yan yanadır ve ikisi bir doğru açı oluşturur. Ama daha kolay bir yol var!
Adım 4: 1. adımda bulduğumuz 60°’lik açıyı hatırlayalım. Bu açı ile “?” ile gösterilen açı ters açılardır. Ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir. Fakat dikkatli bakarsak, bulduğumuz 60°’lik açı, “?” işaretli açının yanındaki açının ters açısıdır. O zaman “?” işaretli açı ile 1. adımda bulduğumuz 60 derecelik açı aslında aynı üçgenin içindedir. Hatta en başta bulduğumuz 60 derece direkt olarak soru işaretinin olduğu açıdır. Sağdaki üçgenin iç açılarını toplayalım: 90 + 30 + ? = 180 olamaz. O zaman şöyle düşünelim: Dikdörtgenin köşesi 90 derece. Köşegenle yaptığı açı 30 derece ise, diğer tarafı 90 – 30 = 60 derecedir. Köşegenlerin oluşturduğu ortadaki üçgen ikizkenar olduğu için diğer taban açısı da 60 derecedir. O zaman bu üçgenin tepe açısı yani “?” de 180 – (60+60) = 60 derece olur. Bu bir eşkenar üçgenmiş!
Sonuç:
60°
Soru 13: Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninde [BD] ve [AC] köşegen, m(OCB) = 2x – 20° ve m(ODA) = x + 20° dir. Buna göre x kaç derecedir?
Bu soruda da eşkenar dörtgenin özelliklerini kullanacağız. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser ve aynı zamanda açıortaydır. Ayrıca karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.
Adım 1: Eşkenar dörtgen aslında bir paralelkenardır. Bu yüzden karşılıklı kenarları (örneğin AD ve BC) birbirine paraleldir. BD köşegeni bu iki paralel doğruyu kesen bir doğrudur (kesen).
Adım 2: Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan iç ters açılar birbirine eşittir. Buna “Z kuralı” da diyoruz. Şekildeki AD ve BC kenarları paralel olduğu için, m(ODA) açısı ile m(OBC) açısı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir. Yani, m(OBC) = m(ODA) = x + 20°‘dir.
Adım 3: Eşkenar dörtgenin en önemli özelliklerinden biri de köşegenlerinin dik kesişmesidir. Yani O noktasındaki açı 90°’dir. Şimdi OCB üçgenine bakalım. Bu bir dik üçgendir.
Adım 4: OCB üçgeninin iç açıları toplamı 180° olmalıdır. Açıları yazıp toplayalım:
m(OCB) + m(OBC) + m(BOC) = 180°
(2x – 20°) + (x + 20°) + 90° = 180°
Adım 5: Şimdi bu denklemi çözelim.
2x + x – 20° + 20° + 90° = 180°
3x + 90° = 180°
3x = 180° – 90°
3x = 90°
x = 90° / 3
x = 30°
Sonuç:
D) 30
Soru 14: Yandaki TUVY paralelkenarında m(VYB) = 35°, m(TVU) = 25° ve m(VTU) = 20° dir. Buna göre m(TYU) kaç derecedir?
Bu soruda da paralelkenarın açı özelliklerini kullanacağız. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.
Adım 1: TUVY bir paralelkenar olduğu için, TY kenarı ile VU kenarı birbirine paraleldir. YU doğrusu da bu iki paralel kenarı kesen bir doğrudur. Bu durumda oluşan iç ters açılar, yani m(TYU) ile m(VUY) açıları birbirine eşittir.
Amacımız m(VUY) açısını bulmak. Onu bulursak, aradığımız m(TYU) açısını da bulmuş oluruz.
Adım 2: Paralelkenarda karşılıklı açılar da birbirine eşittir. Yani m(YTU) açısı ile m(YVU) açısı eşittir. Önce m(YTU) açısını bulalım.
m(YTU) = m(YTV) + m(VTU)
m(YTV) açısını bulmamız lazım. TY || VU olduğu için, TV keseni ile oluşan iç ters açılar yani m(YTV) ile m(TVU) birbirine eşittir.
m(TVU) = 25° olduğuna göre, m(YTV) = 25°‘dir.
Adım 3: Şimdi m(YTU) açısının tamamını hesaplayabiliriz.
m(YTU) = m(YTV) + m(VTU) = 25° + 20° = 45°
Adım 4: Karşılıklı açılar eşit olduğundan, m(YVU) = m(YTU) = 45°’dir. Şekle bakarsak, YVU açısı iki parçadan oluşuyor: m(YVB) ve m(BVU).
m(YVU) = m(YVB) + m(BVU)
45° = 35° + m(BVU)
Buradan m(BVU) açısını 45° – 35° = 10° olarak buluruz.
Adım 5: m(BVU) açısı aslında aradığımız m(VUY) açısıyla aynı açıdır. 1. adımda ne demiştik? m(TYU) açısı, m(VUY) açısına eşittir.
O halde m(TYU) = 10°’dir.
Sonuç:
10°
Soru 15: Yandaki KLMN yamuğunda [KL] // [NM], m(NKL) = x – 10°, m(KLM) = 70°, m(LMN) = y + 50° ve m(MNK) = 130° dir. Buna göre x + y toplamı kaç derecedir?
Bu soruyu çözmek için yamuğun en temel özelliğini kullanacağız. Yamukta paralel olan kenarlar arasında kalan açıların toplamı 180 derecedir. Buna “U Kuralı” da denir.
Adım 1: Soruda KL kenarının NM kenarına paralel olduğu verilmiş. Önce sol taraftaki açılara bakalım. NK kenarı, paralel kenarları birleştirdiği için m(MNK) ile m(NKL) açılarının toplamı 180° olmalıdır.
m(MNK) + m(NKL) = 180°
130° + (x – 10°) = 180°
120° + x = 180°
x = 180° – 120°
x = 60°
Adım 2: Şimdi de sağ taraftaki açılara bakalım. ML kenarı da paralel kenarları birleştirdiği için m(LMN) ile m(KLM) açılarının toplamı da 180° olmalıdır.
m(LMN) + m(KLM) = 180°
(y + 50°) + 70° = 180°
y + 120° = 180°
y = 180° – 120°
y = 60°
Adım 3: Soru bizden x + y toplamını istiyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım.
x + y = 60° + 60° = 120°
Sonuç:
120°
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim