Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte “Alıştırmalar” sayfasındaki problemleri çözeceğiz. Bu sorular, oran ve orantı konusundaki bilgilerinizi pekiştirmenize yardımcı olacak. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, matematiği anlamanın en güzel yolu adım adım ilerlemektir.
Soru 1: Bir otomobil saatte ortalama 90 km yol gidiyor. Buna göre bu otomobil aynı hızla 5 saatte kaç km yol gider?
Sevgili çocuklar, bu soru bir doğru orantı problemidir. Çünkü zaman arttıkça, gidilen yol da aynı oranda artar. Gelin, birlikte çözelim.
- Adım 1: Soruda bize verilen bilgileri bir kenara not edelim. Otomobilin 1 saatte gittiği yol 90 km’dir. Bizden ise 5 saatte ne kadar yol gideceği isteniyor.
- Adım 2: 1 saatte gidilen yolu biliyorsak, 5 saatte gidilen yolu bulmak için bu iki değeri çarpmamız yeterlidir.
Gidilen Toplam Yol = Saatlik Hız x Zaman
- Adım 3: Şimdi işlemi yapalım.
90 km/saat x 5 saat = 450 km
Sonuç: Otomobil 5 saatte 450 km yol gider.
Soru 2: Bir kuru yemişçiden 6 kg fındık alan Atakan Bey, aldığı fındıklar için 1500 TL ödemiştir. Atakan Bey, bu kuru yemişçiden 3 kg fındık alsaydı aldığı fındıklar için kaç TL öderdi?
Bu da yine bir doğru orantı sorusu. Alınan fındık miktarı azaldığında, ödenecek para da azalacaktır. Bu soruyu çözmek için iki farklı yol düşünebiliriz.
- Adım 1 (Oran Yöntemi): Atakan Bey’in aldığı fındık miktarı 6 kg’dan 3 kg’a düşmüş. Yani aldığı fındık miktarı yarıya inmiş, değil mi? (6 / 2 = 3)
- Adım 2: Eğer aldığı fındık miktarı yarıya indiyse, ödeyeceği para da yarıya inmelidir.
1500 TL / 2 = 750 TL
- Alternatif Adım 1 (Birim Fiyat Yöntemi): Önce 1 kg fındığın fiyatını bulabiliriz.
1500 TL / 6 kg = 250 TL/kg
Demek ki fındığın kilogramı 250 TL imiş.
- Alternatif Adım 2: Şimdi de 3 kg fındık için ne kadar ödeyeceğini bulalım.
250 TL/kg x 3 kg = 750 TL
Gördüğünüz gibi, her iki yolla da aynı sonuca ulaştık!
Sonuç: Atakan Bey 3 kg fındık için 750 TL öderdi.
Soru 3: 5, 7 ve 10 yaşlarındaki üç kardeş, 124 bilyeyi yaşları ile ters orantılı olacak şekilde paylaşıyor. Buna göre en büyük kardeş, en küçük kardeşten kaç bilye eksik almıştır?
İşte şimdi karşımızda bir ters orantı problemi var. Ters orantı ne demekti? Bir değer artarken, diğeri aynı oranda azalıyorsa buna ters orantı diyorduk. Yani bu soruda, yaşı küçük olan kardeş daha çok bilye alacak, yaşı büyük olan ise daha az bilye alacak.
- Adım 1: Ters orantı problemlerinde bir orantı sabiti (buna ‘k’ diyelim) kullanırız. Kardeşlerin yaşları ile alacakları bilye sayılarının çarpımı bu ‘k’ sabitine eşit olmalıdır.
5 yaşındaki kardeşin bilye sayısı: k/5
7 yaşındaki kardeşin bilye sayısı: k/7
10 yaşındaki kardeşin bilye sayısı: k/10
- Adım 2: Bu üç kardeşin alacağı toplam bilye sayısı 124’tür. O zaman bu ifadeleri toplayıp 124’e eşitleyelim.
k/5 + k/7 + k/10 = 124
- Adım 3: Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 5, 7 ve 10’un ortak katı 70’tir.
(14k/70) + (10k/70) + (7k/70) = 124
31k / 70 = 124
- Adım 4: Şimdi ‘k’ sabitini bulalım.
31k = 124 x 70
İpucu: 124, 31’in tam 4 katıdır. Bu bize işlem kolaylığı sağlar.
31k = (4 x 31) x 70
k = 4 x 70
k = 280
- Adım 5: ‘k’ değerini bulduğumuza göre her kardeşin kaç bilye aldığını hesaplayabiliriz.
En küçük kardeş (5 yaşında): 280 / 5 = 56 bilye
Ortanca kardeş (7 yaşında): 280 / 7 = 40 bilye
En büyük kardeş (10 yaşında): 280 / 10 = 28 bilye
(Kontrol edelim: 56 + 40 + 28 = 124. İşlemimiz doğru!)
- Adım 6: Soru bizden en büyük kardeşin (28 bilye), en küçük kardeşten (56 bilye) kaç bilye eksik aldığını soruyor.
56 – 28 = 28
Sonuç: En büyük kardeş, en küçük kardeşten 28 bilye eksik almıştır.
Soru 4: İki çarkın dişli sayılarının toplamı 112’dir. 1. çark 10 tur döndüğünde 2. çark 25 tur dönüyor. Buna göre 1. çarktaki dişli sayısı, 2. çarktaki dişli sayısından kaç fazladır?
Çarklı sorular da klasik birer ters orantı problemidir. Düşünün, bir bisikletin dişlileri gibi… Çok dişi olan büyük çark yavaş dönerken, az dişi olan küçük çark çok daha hızlı döner. Yani dişli sayısı ile tur sayısı ters orantılıdır.
- Adım 1: 1. çarkın dişli sayısına D1, tur sayısına T1 diyelim. 2. çarkın dişli sayısına D2, tur sayısına T2 diyelim. Ters orantı varsa, şu eşitliği yazabiliriz:
D1 x T1 = D2 x T2
- Adım 2: Soruda verilenleri yerine yazalım. T1 = 10, T2 = 25.
D1 x 10 = D2 x 25
Bu eşitliği sadeleştirelim (her iki tarafı 5’e bölelim):
2 x D1 = 5 x D2
Bu eşitlikten anlıyoruz ki, 1. çarkın dişli sayısı 5’in bir katı (5k), 2. çarkın dişli sayısı ise 2’nin bir katı (2k) olmalıdır. Yani: D1 = 5k ve D2 = 2k.
- Adım 3: Sorunun başında bize dişli sayılarının toplamının 112 olduğu verilmişti.
D1 + D2 = 112
5k + 2k = 112
7k = 112
- Adım 4: ‘k’ değerini bulalım.
k = 112 / 7
k = 16
- Adım 5: Artık her çarkın dişli sayısını bulabiliriz.
1. çarkın dişli sayısı (D1) = 5k = 5 x 16 = 80 dişli
2. çarkın dişli sayısı (D2) = 2k = 2 x 16 = 32 dişli
(Kontrol: 80 + 32 = 112. Harika!)
- Adım 6: Soru bizden 1. çarktaki dişli sayısının, 2. çarktaki dişli sayısından kaç fazla olduğunu bulmamızı istiyor.
80 – 32 = 48
Sonuç: 1. çarktaki dişli sayısı, 2. çarktaki dişli sayısından 48 fazladır.
Soru 5: Bir ses sanatçısı her ay eşit sayıda konser veriyor. Ses sanatçısı 3 ayda 24 konser verdiğine göre 1 yılda kaç konser verir?
Bu sorumuz da yine bir doğru orantı problemi. Zaman arttıkça, verilen konser sayısı da artacak.
- Adım 1: Öncelikle sanatçının 1 ayda kaç konser verdiğini bulalım. Bu bizim “birim miktarımız” olacak.
24 konser / 3 ay = 8 konser/ay
Demek ki sanatçımız ayda 8 konser veriyormuş.
- Adım 2: Soru bizden 1 yılda kaç konser verdiğini istiyor. Burada dikkat etmemiz gereken bir şey var: 1 yıl = 12 ay.
- Adım 3: 1 ayda verdiği konser sayısını biliyoruz, 12 ayda verdiğini bulmak için çarpma işlemi yapmalıyız.
8 konser/ay x 12 ay = 96 konser
Sonuç: Ses sanatçısı 1 yılda 96 konser verir.
Umarım tüm çözümleri net bir şekilde anlamışsınızdır. Unutmayın, bol bol pratik yapmak sizi matematikte daha da başarılı kılacaktır. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim