Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersinde bugün çok eğlenceli alıştırmalar çözeceğiz. Gelin hep birlikte bu sorulara göz atalım ve adım adım çözelim. Hazırsanız başlayalım!
4. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) $-11,3 – (frac{7}{9}) = ?$
Bu soruda hem ondalık sayı hem de kesir var. Öncelikle ondalık sayıyı kesre çevirelim. 11,3 demek, 11 tam onda 3 demektir. Bunu da $frac{113}{10}$ şeklinde yazabiliriz. Şimdi işlemimiz şöyle oldu: $-frac{113}{10} – frac{7}{9}$.
Kesirleri çıkarabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekiyor. 10 ve 9’un en küçük ortak katı 90’dır. O zaman ilk kesri 9 ile, ikinci kesri ise 10 ile genişletelim:
$$ -frac{113 times 9}{10 times 9} = -frac{1017}{90} $$
$$ frac{7 times 10}{9 times 10} = frac{70}{90} $$
Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:
$$ -frac{1017}{90} – frac{70}{90} = frac{-1017 – 70}{90} = frac{-1087}{90} $$
Sonucumuz $boxed{-frac{1087}{90}}$’dır.
b) $(frac{1}{7} – frac{3}{14}) cdot frac{14}{13} = ?$
Önce parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. Paydaları eşitlemek için $frac{1}{7}$’yi 2 ile genişletelim:
$$ frac{1 times 2}{7 times 2} = frac{2}{14} $$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
$$ frac{2}{14} – frac{3}{14} = frac{2-3}{14} = -frac{1}{14} $$
Şimdi bu sonucu $frac{14}{13}$ ile çarpalım:
$$ -frac{1}{14} cdot frac{14}{13} $$
Burada 14’ler sadeleşir:
$$ -frac{1}{cancel{14}} cdot frac{cancel{14}}{13} = -frac{1}{13} $$
Sonucumuz $boxed{-frac{1}{13}}$’tür.
c) $-frac{49}{1216} cdot 0 = ?$
Bu çok kolay bir soru! Herhangi bir sayıyı sıfır ile çarptığımızda sonuç her zaman sıfır olur. Bu yüzden:
$$ -frac{49}{1216} cdot 0 = 0 $$
Sonucumuz $boxed{0}$’dır.
d) $-frac{3}{8} cdot frac{9}{4} + 1frac{1}{6} = ?$
Burada çarpma ve toplama işlemleri var. Matematikte işlem önceliği gereği önce çarpmayı yaparız. Önce $frac{3}{8}$ ile $frac{9}{4}$’ü çarpalım:
$$ -frac{3}{8} cdot frac{9}{4} = -frac{3 times 9}{8 times 4} = -frac{27}{32} $$
Şimdi toplama işlemine geçelim. Toplama yapmadan önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: $1frac{1}{6} = frac{1 times 6 + 1}{6} = frac{7}{6}$
İşlemimiz şu hale geldi: $-frac{27}{32} + frac{7}{6}$
Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 32 ve 6’nın en küçük ortak katı 96’dır. İlk kesri 3 ile, ikinci kesri ise 16 ile genişletelim:
$$ -frac{27 times 3}{32 times 3} = -frac{81}{96} $$
$$ frac{7 times 16}{6 times 16} = frac{112}{96} $$
Şimdi toplama işlemini yapalım:
$$ -frac{81}{96} + frac{112}{96} = frac{-81 + 112}{96} = frac{31}{96} $$
Sonucumuz $boxed{frac{31}{96}}$’dır.
e) $0 + frac{317}{1042} = ?$
Sıfıra herhangi bir sayıyı eklediğimizde sonuç o sayıya eşit olur. Bu yüzden:
$$ 0 + frac{317}{1042} = frac{317}{1042} $$
Sonucumuz $boxed{frac{317}{1042}}$’dir.
f) $frac{7}{41} cdot frac{14}{123} = ?$
Bu soruda iki kesri çarpıyoruz. Çarpma işleminde payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparız:
$$ frac{7}{41} cdot frac{14}{123} = frac{7 times 14}{41 times 123} $$
Payı hesaplayalım: $7 times 14 = 98$
Paydayı hesaplayalım: $41 times 123 = 5043$
Sonucumuz $boxed{frac{98}{5043}}$’tür.
g) $frac{7}{5} + (-frac{3}{11}) – (frac{7}{5}) = ?$
Bu soruda toplama ve çıkarma işlemleri var. İşlem sırasına göre soldan sağa doğru ilerleyelim:
Önce $frac{7}{5}$ ile $-frac{3}{11}$’i toplayalım. Paydaları eşitlemek için ilk kesri 11 ile, ikinci kesri 5 ile genişletelim:
$$ frac{7 times 11}{5 times 11} = frac{77}{55} $$
$$ -frac{3 times 5}{11 times 5} = -frac{15}{55} $$
Toplama işlemini yapalım:
$$ frac{77}{55} + (-frac{15}{55}) = frac{77 – 15}{55} = frac{62}{55} $$
Şimdi bu sonuçtan $frac{7}{5}$’i çıkaralım. $frac{7}{5}$’i 11 ile genişletelim:
$$ frac{7 times 11}{5 times 11} = frac{77}{55} $$
Çıkarma işlemini yapalım:
$$ frac{62}{55} – frac{77}{55} = frac{62 – 77}{55} = -frac{15}{55} $$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 15 hem de 55, 5’e bölünebilir:
$$ -frac{15 div 5}{55 div 5} = -frac{3}{11} $$
Sonucumuz $boxed{-frac{3}{11}}$’dir.
ğ) $1 cdot (-frac{6}{17}) = ?$
Bir sayıyı 1 ile çarptığımızda sonuç o sayının kendisine eşittir. Bu yüzden:
$$ 1 cdot (-frac{6}{17}) = -frac{6}{17} $$
Sonucumuz $boxed{-frac{6}{17}}$’dir.
h) $(-2frac{3}{4}) cdot (-frac{11}{8}) = ?$
Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: $-2frac{3}{4} = -frac{2 times 4 + 3}{4} = -frac{11}{4}$
Şimdi çarpma işlemini yapalım. İki negatif sayıyı çarptığımızda sonuç pozitif olur:
$$ (-frac{11}{4}) cdot (-frac{11}{8}) = frac{11 times 11}{4 times 8} = frac{121}{32} $$
Sonucumuz $boxed{frac{121}{32}}$’dir.
i) $frac{13}{6} cdot [frac{6}{13} – frac{18}{26}] = ?$
Bu soruda parantez içindeki çıkarma işlemini önce yapmalıyız. Ancak parantez içindeki kesirlerin paydaları farklı. $frac{18}{26}$ kesrini sadeleştirebiliriz, her iki tarafı da 2’ye bölersek $frac{9}{13}$ olur. İşlemimiz şöyle oldu: $frac{13}{6} cdot [frac{6}{13} – frac{9}{13}]$
Şimdi parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:
$$ frac{6}{13} – frac{9}{13} = frac{6-9}{13} = -frac{3}{13} $$
Şimdi bu sonucu $frac{13}{6}$ ile çarpalım:
$$ frac{13}{6} cdot (-frac{3}{13}) $$
Burada 13’ler sadeleşir ve 3 ile 6 sadeleşir:
$$ frac{cancel{13}}{6} cdot (-frac{3}{cancel{13}}) = frac{1}{6} cdot (-3) = -frac{3}{6} $$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 3 hem de 6, 3’e bölünebilir:
$$ -frac{3 div 3}{6 div 3} = -frac{1}{2} $$
Sonucumuz $boxed{-frac{1}{2}}$’dir.
i) $-1 : (-frac{13}{17}) = ?$
Bir sayıyı başka bir sayıya bölmek, o sayıyı bölünen sayının tersiyle çarpmak demektir. $-frac{13}{17}$’nin tersi $-frac{17}{13}$’tür. Bölme işlemi çarpma işlemine dönüştüğünde işaretler de değişir. Negatif bir sayıyı negatif bir sayıya böldüğümüzde sonuç pozitif olur:
$$ -1 div (-frac{13}{17}) = -1 times (-frac{17}{13}) $$
$$ -1 times (-frac{17}{13}) = frac{17}{13} $$
Sonucumuz $boxed{frac{17}{13}}$’tür.
5. Tablo: İşlemler ile İşlem Sonuçları
Yandaki tabloda bazı işlemler verilmiştir. İşlemlerin sonuçlarını bularak tablodaki boş kutucuklara uygun sayıları yazınız.
İlk satırdaki işlem: $(frac{3}{2})^2 – frac{1}{4} = ?$
Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $(frac{3}{2})^2 = frac{3^2}{2^2} = frac{9}{4}$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
$$ frac{9}{4} – frac{1}{4} = frac{9-1}{4} = frac{8}{4} $$
Bu kesri sadeleştirebiliriz: $frac{8}{4} = 2$
İlk boşluğa yazılacak sonuç: 2
İkinci satırdaki işlem: $(frac{2}{3})^3 + frac{1}{9} = ?$
Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $(frac{2}{3})^3 = frac{2^3}{3^3} = frac{8}{27}$
Şimdi toplama işlemini yapalım. Paydaları eşitlemek için $frac{1}{9}$’u 3 ile genişletelim:
$$ frac{1 times 3}{9 times 3} = frac{3}{27} $$
Toplama işlemini yapalım:
$$ frac{8}{27} + frac{3}{27} = frac{8+3}{27} = frac{11}{27} $$
İkinci boşluğa yazılacak sonuç: $frac{11}{27}$
Üçüncü satırdaki işlem: $-0,7 : (1frac{1}{3})^2 = ?$
Önce ondalık sayıyı kesre çevirelim: $-0,7 = -frac{7}{10}$
Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: $1frac{1}{3} = frac{1 times 3 + 1}{3} = frac{4}{3}$
Şimdi tam sayılı kesrin karesini alalım: $(frac{4}{3})^2 = frac{4^2}{3^2} = frac{16}{9}$
Şimdi bölme işlemini yapalım. Bölünen sayıyı bölen sayının tersiyle çarparız:
$$ -frac{7}{10} : frac{16}{9} = -frac{7}{10} times frac{9}{16} $$
$$ -frac{7 times 9}{10 times 16} = -frac{63}{160} $$
Üçüncü boşluğa yazılacak sonuç: $-frac{63}{160}$
Dördüncü satırdaki işlem: $frac{2}{3} cdot frac{9}{4} cdot (-frac{8}{3}) = ?$
Bu soruda üç kesri çarpıyoruz. Negatif bir sayıyla çarpma işlemi olduğu için sonuç negatif olacak. Çarpma işlemini yaparken payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarpabiliriz. Sadeleştirmeler yaparak işimizi kolaylaştırabiliriz:
$$ frac{2}{3} cdot frac{9}{4} cdot (-frac{8}{3}) $$
Şimdi sadeleştirmeleri yapalım:
- 3 ile 9 sadeleşir, 9’un yerine 3 kalır.
- 2 ile 4 sadeleşir, 4’ün yerine 2 kalır.
- Kalan 2 ile 8 sadeleşir, 8’in yerine 4 kalır.
- Kalan 3 ile 3 sadeleşir.
Şimdi kalan sayılara bakalım:
$$ frac{cancel{2}}{cancel{3}} cdot frac{cancel{9}^3}{cancel{4}^2} cdot (-frac{cancel{8}^4}{cancel{3}}) = 1 cdot frac{3}{2} cdot (-frac{4}{3}) $$
Tekrar sadeleştirme yapabiliriz:
$$ frac{3}{2} cdot (-frac{4}{3}) = frac{cancel{3}}{2} cdot (-frac{4}{cancel{3}}) = frac{1}{2} cdot (-4) = -frac{4}{2} $$
Bu kesri sadeleştirebiliriz: $-frac{4}{2} = -2$
Dördüncü boşluğa yazılacak sonuç: -2
6. $4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda karmaşık bir kesir var. Adım adım ilerleyelim ve en alttaki kesirden başlayarak çözelim.
Adım 1: En alttaki toplama işlemini yapalım: $4 + frac{1}{2}$
Paydaları eşitleyelim: $4 = frac{4}{1} = frac{4 times 2}{1 times 2} = frac{8}{2}$
$$ frac{8}{2} + frac{1}{2} = frac{8+1}{2} = frac{9}{2} $$
Adım 2: Şimdi bu sonucun tersini alıp 1’den çıkaralım: $1 – frac{1}{frac{9}{2}}$
Kesrin tersini alıp çarpmaya dönüştürelim: $frac{1}{frac{9}{2}} = 1 cdot frac{2}{9} = frac{2}{9}$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $1 – frac{2}{9}$
Paydaları eşitleyelim: $1 = frac{9}{9}$
$$ frac{9}{9} – frac{2}{9} = frac{9-2}{9} = frac{7}{9} $$
Adım 3: Şimdi ana kesrin pay kısmını bulalım: $4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
Dikkat ederseniz, kesrin payı $1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}$ ve paydası da $1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}$. Bu durumda kesrin tamamı 1 olur!
Yani, $1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}} = frac{7}{9}$ olduğuna göre, kesrin tamamı şöyle olur:
$$ frac{7}{9} $$
Şimdi ana işlemimiz şu hale geldi: $4 – frac{frac{7}{9}}{frac{7}{9}}$
Kesrin payı ve paydası aynı olduğu için bu kesrin değeri 1’dir.
$$ 4 – 1 = 3 $$
Ama seçeneklere baktığımda 3 yok. Sanırım soruyu yanlış okudum veya bir yerde hata yaptım. Tekrar kontrol edelim.
Soruyu tekrar dikkatlice okuduğumda, kesrin pay ve paydasının aynı olmadığını fark ettim. Payda kısmı $1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}$ değil, sadece $1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}$’nin pay kısmı hesaplanmış hali. Tekrar bakalım:
Adım 1: $4 + frac{1}{2} = frac{8}{2} + frac{1}{2} = frac{9}{2}$
Adım 2: $frac{1}{4 + frac{1}{2}} = frac{1}{frac{9}{2}} = frac{2}{9}$
Adım 3: Ana kesrin pay kısmını hesaplayalım: $4 – frac{1 – frac{2}{9}}{1 – frac{2}{9}}$
Pay kısmını hesaplayalım: $1 – frac{2}{9} = frac{9}{9} – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
Payda kısmını hesaplayalım: $1 – frac{2}{9} = frac{9}{9} – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
Şimdi kesri yerine koyalım:
$$ 4 – frac{frac{7}{9}}{frac{7}{9}} = 4 – 1 = 3 $$
Hala 3 buluyorum ve seçeneklerde yok. Soruyu bir daha gözden geçirelim.
Ah, anladım! Soruyu yanlış okumuşum. Kesrin yapısı şöyle:
$$ 4 – frac{1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}} $$
Bu ifadeyi doğru okumak önemli. Kesrin payı: $1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}$ ve paydası: $1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}$ değil. Sorudaki kesrin yapısı şu şekilde:
$$ 4 – frac{1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}} $$
Bu, aslında $4 – (text{bir kesir})$ şeklinde. Kesrin payı $1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}$ ve paydası da $1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}$ değil. Soruyu tekrar dikkatli okuyalım:
$4 – frac{1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}}$
Kesrin payı: $1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}$
Kesrin paydası: $1 – frac{1}{4+frac{1}{2}}$
Yani, kesrin payı ve paydası aynı. Bu da kesrin değerinin 1 olduğu anlamına gelir.
Adım 1: En alttaki toplama işlemini yapalım: $4 + frac{1}{2}$
$$ 4 + frac{1}{2} = frac{8}{2} + frac{1}{2} = frac{9}{2} $$
Adım 2: Şimdi $frac{1}{4 + frac{1}{2}}$ işlemini yapalım:
$$ frac{1}{frac{9}{2}} = 1 times frac{2}{9} = frac{2}{9} $$
Adım 3: Kesrin payını hesaplayalım: $1 – frac{2}{9}$
$$ 1 – frac{2}{9} = frac{9}{9} – frac{2}{9} = frac{7}{9} $$
Adım 4: Kesrin paydasını hesaplayalım: $1 – frac{2}{9}$
$$ 1 – frac{2}{9} = frac{9}{9} – frac{2}{9} = frac{7}{9} $$
Adım 5: Şimdi ana kesri yerine koyalım: $4 – frac{frac{7}{9}}{frac{7}{9}}$
Kesrin payı ve paydası aynı olduğu için, kesrin değeri 1’dir.
$$ 4 – 1 = 3 $$
Yine 3 buldum. Seçeneklerde 3 yok. Soruda bir yazım hatası olabilir mi diye düşünüyorum. Ancak, soruyu olduğu gibi çözmeye devam edelim.
Tekrar soruyu kontrol ediyorum. Kesrin yapısı şöyle:
$4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
Bu ifade aslında $4 – left( frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}} right)$ şeklinde. Eğer pay ve payda aynı ise, kesrin değeri 1 olur.
Eğer soruyu şöyle olsaydı:
$4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 + frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
O zaman hesaplamalarımız farklı olurdu. Ama soruda “-” işareti var.
Bir de seçeneklere bakalım. Seçenekler: A) $frac{19}{7}$, B) $-frac{7}{19}$, C) $frac{7}{19}$, D) $frac{19}{7}$
Bu seçenekler kesirli ve oldukça farklı değerler. Benim 3 bulmam ile bu seçenekler arasında büyük bir fark var. Bir yerde işlem hatası yapıyorum olmalı.
Tekrar en baştan alalım:
Adım 1: $4 + frac{1}{2} = frac{9}{2}$
Adım 2: $frac{1}{4 + frac{1}{2}} = frac{1}{frac{9}{2}} = frac{2}{9}$
Adım 3: Kesrin payı: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
Adım 4: Kesrin paydası: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
Adım 5: Ana işlem: $4 – frac{frac{7}{9}}{frac{7}{9}} = 4 – 1 = 3$
Kesinlikle 3 buluyorum. Eğer soruda bir yazım hatası yoksa, seçeneklerde de bir hata olabilir. Ancak, bazen karmaşık kesirlerde işlem önceliği ve sadeleştirmeler çok önemlidir.
Acaba soruyu kopyalarken bir hata mı oldu? Bir daha bakıyorum.
Sorunun yazılışını tekrar ediyorum: $4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
Eğer pay ve payda aynı ise, kesrin değeri 1’dir. Bu durumda $4-1=3$ olur.
Şimdi seçeneklere göre tersine gitmeyi deneyelim. Eğer sonuç $frac{19}{7}$ olsaydı, $4 – text{kesir} = frac{19}{7}$ olurdu. Bu durumda $text{kesir} = 4 – frac{19}{7} = frac{28}{7} – frac{19}{7} = frac{9}{7}$ olurdu. Bu da kesrin $frac{9}{7}$’ye eşit olması demek. Ama bizim hesapladığımız kesir $frac{7}{9}$ idi. Bu da seçeneklerin doğru olmadığını gösteriyor.
Bir olasılık daha var: Belki kesrin pay ve paydasındaki çıkarma işlemleri farklı sayılarla yapılıyordur. Ama soruda aynı ifade tekrar ediyor.
Arkadaşlar, bu soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Benim hesaplamalarıma göre sonuç 3 çıkıyor, ancak seçeneklerde 3 yok. Bu tür durumlarda genellikle soruda bir hata olabileceğini düşünürüz. Ancak yine de, soruyu baştan sona bir daha gözden geçirelim, belki gözden kaçırdığım bir şey vardır.
Tekrar hesaplıyorum:
- $4 + frac{1}{2} = frac{9}{2}$
- $frac{1}{4 + frac{1}{2}} = frac{1}{frac{9}{2}} = frac{2}{9}$
- Pay: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
- Payda: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
- Kesir: $frac{frac{7}{9}}{frac{7}{9}} = 1$
- Ana işlem: $4 – 1 = 3$
Bu soruyu bu şekilde çözdüğümde sonuç hep 3 çıkıyor. Seçeneklerdeki değerlere ulaşmak için sorunun yazılışında bir değişiklik olması gerekiyor. Örneğin, paydadaki çıkarma yerine toplama olsaydı sonuç farklı olurdu.
Şimdi, sorunun yazıldığı gibi çözdüğümde sonuç 3 oluyor. Ancak, seçeneklere uyum sağlamak için sorunun şu şekilde olabileceğini varsayalım (eğer bir yazım hatası varsa):
$4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 + frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
Bu durumda:
- Adım 1: $4 + frac{1}{2} = frac{9}{2}$
- Adım 2: $frac{1}{4 + frac{1}{2}} = frac{2}{9}$
- Adım 3: Pay: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
- Adım 4: Payda: $1 + frac{2}{9} = frac{9}{9} + frac{2}{9} = frac{11}{9}$
- Adım 5: Kesir: $frac{frac{7}{9}}{frac{11}{9}} = frac{7}{9} times frac{9}{11} = frac{7}{11}$
- Adım 6: Ana işlem: $4 – frac{7}{11} = frac{44}{11} – frac{7}{11} = frac{37}{11}$
Bu da seçeneklerde yok. Sanırım sorunun kendisinde bir problem var.
Ancak, eğer soruda şöyle bir hata varsa:
$4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{1+ frac{1}{2}}}$
Bu da çok farklı olur.
Şimdi en olası senaryoyu düşünelim. Bazen karmaşık kesirlerde pay ve payda ayrı ayrı hesaplanır ve sonra ana işlem yapılır. Soruyu tekrar inceliyorum.
Eğer sorunun kendisi doğruysa ve seçeneklerde de bir hata yoksa, benim hesaplamalarımda bir hata olmalı. Ama aynı hesabı tekrar tekrar yapıyorum ve sonuç 3 çıkıyor.
Şimdi seçeneklere bakalım. En büyük değer $frac{19}{7}$ (yaklaşık 2.7). En küçük değer $-frac{7}{19}$ (yaklaşık -0.36). Benim bulduğum 3 bu aralığın biraz dışında.
Bir ihtimal daha: Sorudaki kesrin tamamı hesaplanıp 4’ten çıkarılacak. Ve bu kesrin değeri $frac{19}{7}$’nin bir şekilde türevi olacak.
Arkadaşlar, ben bu soruyu çözdüğümde sonuç 3 çıkıyor. Seçeneklerde 3 olmadığı için, bu sorunun ya kendisinde ya da seçeneklerinde bir problem olduğunu düşünüyorum. Ancak, eğer hocanız bu soruyu çözdürmek istiyorsa ve mutlaka seçeneklerden birini işaretlememizi istiyorsa, o zaman bir yerde bir yanlış anlama olmuş demektir.
Şimdi tekrar soruyu dikkatlice okuyarak, belki bir yazım hatası yerine anlam hatası yapmışımdır diye düşünüyorum.
$4 – frac{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}}$
Bu ifade, $4 – frac{X}{X}$ şeklindedir, burada $X = 1 – frac{1}{4+ frac{1}{2}}$. Ve $frac{X}{X}$ her zaman 1’dir (X sıfır olmadığı sürece). Hesapladık ki $X = frac{7}{9}$ ve bu sıfır değil.
Bu durumda sonuç kesinlikle 3 olmalı. Seçeneklerdeki $frac{19}{7}$’yi elde etmek için, kesrin değerinin $frac{9}{7}$ olması gerekirdi. Ama bizim hesapladığımız kesir $frac{7}{9}$ idi.
Öğrencilerim, bu soruda bir sıkıntı var. Ancak, eğer bir tercih yapmam gerekirse ve soruda bir yazım hatası olduğunu düşünerek, paydadaki “-” yerine “+” olsaydı ne olurdu diye tekrar bakmıştım. O durumda $frac{37}{11}$ bulmuştum. Bu da seçeneklerde yok.
Şimdi, sorunun yazıldığı gibi çözümü 3’tür. Seçeneklerdeki cevaplardan biri doğru olsaydı, o zaman sorunun kendisinde bir hata olmalı.
Ama eğer bir şekilde cevabın $frac{19}{7}$ olması gerekiyorsa, o zaman kesrin $frac{9}{7}$ olması gerekir. Bu da $4 – frac{9}{7} = frac{28-9}{7} = frac{19}{7}$ olur. Peki, kesrin $frac{9}{7}$ olması için ne gerekirdi? Kesrin payı $frac{7}{9}$ ve paydası da $frac{7}{9}$ idi. Bu durumda kesir 1 oluyordu.
Şimdi, sorunun kendisinde bir hata olduğunu varsayarak, seçeneklerden birini seçmek zorunda kalsam, hangi seçeneğin daha olası olduğunu düşünürüm. Seçeneklere baktığımda, $frac{19}{7}$ ve $frac{7}{19}$ gibi değerler var. Bu değerler genellikle karmaşık kesirlerin sonucunda ortaya çıkabilir.
Bu soruyu tekrar gözden geçirdiğimde, sorunun yazılışından kaynaklanan bir yanıltma olabileceğini düşünüyorum. Eğer sorunun doğru yazılışı şu şekilde olsaydı:
$4 – frac{1 – frac{1}{4 + frac{1}{2}}}{1 – frac{1}{1 + frac{1}{2}}}$
Bu durumda:
- $4 + frac{1}{2} = frac{9}{2}$
- $frac{1}{4 + frac{1}{2}} = frac{2}{9}$
- Pay: $1 – frac{2}{9} = frac{7}{9}$
- Payda: $1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$
- $frac{1}{1 + frac{1}{2}} = frac{1}{frac{3}{2}} = frac{2}{3}$
- Payda: $1 – frac{2}{3} = frac{1}{3}$
- Kesir: $frac{frac{7}{9}}{frac{1}{3}} = frac{7}{9} times frac{3}{1} = frac{7}{3}$
- Ana işlem: $4 – frac{7}{3} = frac{12}{3} – frac{7}{3} = frac{5}{3}$
Bu da seçeneklerde yok.
Arkadaşlar, bu soruyu olduğu gibi çözdüğümde sonuç 3 çıkıyor ve seçeneklerde 3 yok. Bu durumda soruda bir hata olduğunu düşünüyorum. Eğer bu sorunun doğru cevabı seçeneklerden biriyse, o zaman benim hesaplamamda bir hata var demektir. Ama yaptığım tüm kontrollerde sonuç 3 çıkıyor.
Şimdi, eğer hocanız bu soruyu sorduğunda doğru cevap $frac{19}{7}$ ise, o zaman sorunun yazılışında bir hata olmalı. Çünkü benim hesaplamalarıma göre 3 çıkıyor.
Sonuç olarak, sorunun yazıldığı gibi çözümü 3’tür. Ancak seçeneklerde 3 olmadığı için, soruda bir hata olduğunu düşünüyorum.
7. Yukarıdaki sayı doğrusunda ardışık tam sayıların arası eş parçalara ayrılmıştır. Harflerle belirtilen noktalara karşılık gelen rasyonel sayılara göre $1 – frac{A}{B + frac{1}{C}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Öncelikle sayı doğrusundaki harflerin hangi rasyonel sayılara karşılık geldiğini bulalım.
Sayı doğrusunda -2 ile -1 arası 3 parçaya ayrılmış. Bu demek oluyor ki her bir parça $frac{1}{3}$’tür.
Adım 1: Nokta B’nin değerini bulalım.
B noktası, -1’den bir parça solda. Yani -1’den $frac{1}{3}$ kadar geride.
$$ B = -1 – frac{1}{3} = -frac{3}{3} – frac{1}{3} = -frac{4}{3} $$
Adım 2: Nokta A’nın değerini bulalım.
A noktası, -1 ile 0 arasını 3 parçaya ayırmış. -1’den sonraki ilk nokta A.
$$ A = -1 + frac{1}{3} = -frac{3}{3} + frac{1}{3} = -frac{2}{3} $$
Adım 3: Nokta C’nin değerini bulalım.
C noktası, 0 ile 1 arasını 3 parçaya ayırmış. 0’dan sonraki ilk nokta C.
$$ C = 0 + frac{1}{3} = frac{1}{3} $$
Şimdi bulduğumuz değerleri işlemde yerine koyalım: $1 – frac{A}{B + frac{1}{C}}$
Adım 4: İşlemdeki payda kısmını hesaplayalım: $B + frac{1}{C}$
Önce $frac{1}{C}$’yi hesaplayalım:
$$ frac{1}{C} = frac{1}{frac{1}{3}} = 1 times frac{3}{1} = 3 $$
Şimdi $B$’yi bu değere ekleyelim:
$$ B + frac{1}{C} = -frac{4}{3} + 3 $$
Paydaları eşitleyelim: $3 = frac{9}{3}$
$$ -frac{4}{3} + frac{9}{3} = frac{-4+9}{3} = frac{5}{3} $$
Adım 5: Şimdi kesrin tamamını hesaplayalım: $frac{A}{B + frac{1}{C}}$
$$ frac{A}{B + frac{1}{C}} = frac{-frac{2}{3}}{frac{5}{3}} $$
Kesir bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim:
$$ -frac{2}{3} times frac{3}{5} $$