Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte rasyonel sayılarla işlemler konusunu pekiştireceğimiz bu alıştırmaları çözeceğiz. Bu tür çok adımlı ve merdivenli işlemlerde en önemli kural, işlemlere en içten veya en alttan başlamak ve işlem önceliğine dikkat etmektir. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) 3 / (1 – ( (1 + 1/2) / (1 – 1/2) )) = ?
Bu soruda, en uzun kesir çizgisinin altındaki karmaşık ifadeyi adım adım çözmeliyiz. Önce parantezlerin içinden başlıyoruz.
Adım 1: Önce üstteki parantezi yapalım: 1 + 1/2. Tam sayıyla kesri toplamanın kolay yolu: 1’i 2/2 olarak düşünebiliriz. 2/2 + 1/2 = 3/2 eder.
Adım 2: Şimdi alttaki parantezi yapalım: 1 – 1/2. Yine 1’i 2/2 olarak düşünürsek, 2/2 – 1/2 = 1/2 buluruz.
Adım 3: Şimdi bu iki sonucu birbirine bölmeliyiz: (3/2) / (1/2). Unutmayın, kesirlerde bölme yaparken birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. Yani (3/2) * (2/1) olur. Buradan 2’ler sadeleşir ve sonuç 3 çıkar.
Adım 4: Bulduğumuz 3’ü ana işlemdeki yerine koyalım: 3 / (1 – 3).
Adım 5: Paydadaki işlemi yapalım: 1 – 3 = -2.
Adım 6: Son olarak 3 / (-2) işlemi kalır.
Sonuç: -3/2
b) 1 + 1 / (1 – 1/2) = ?
Burada da önce kesir çizgisinin altındaki işlemi yapmalıyız.
Adım 1: 1 – 1/2 işleminin sonucunu bir önceki sorudan biliyoruz, 1/2’dir.
Adım 2: İşlemimiz şuna dönüştü: 1 + 1 / (1/2).
Adım 3: Şimdi bölme işlemini yapalım. 1’i 1/2’ye bölmek, 1’i 2/1 ile çarpmak demektir. 1 * 2 = 2.
Adım 4: Son olarak toplama işlemini yapıyoruz: 1 + 2 = 3.
Sonuç: 3
ç) 2 – 1 / (3 + 1 / (1 – 2)) = ?
Bu merdivenli işlemde en alttan başlayarak yukarı doğru çıkacağız.
Adım 1: En alttaki işlem: 1 – 2 = -1.
Adım 2: İşlemimiz şimdi şöyle oldu: 2 – 1 / (3 + 1 / (-1)).
Adım 3: 1 / (-1) işlemini yapalım. Sonuç -1’dir.
Adım 4: İşlemimiz tekrar güncellendi: 2 – 1 / (3 + (-1)). Bu da 2 – 1 / (3 – 1) demektir.
Adım 5: Parantezin içini yapalım: 3 – 1 = 2.
Adım 6: İşlemimiz artık çok basit: 2 – 1/2.
Adım 7: 2’yi 4/2 olarak yazarsak, 4/2 – 1/2 = 3/2 olur.
Sonuç: 3/2
d) 1 / (1/3 + 3/8) = ?
Yine önce kesir çizgisinin altındaki toplama işlemini yapıyoruz.
Adım 1: 1/3 + 3/8 işlemini yapmak için paydaları eşitlememiz gerekir. 3 ve 8’in en küçük ortak katı 24’tür. Birinci kesri 8 ile, ikinci kesri 3 ile genişletelim.
(1*8)/(3*8) + (3*3)/(8*3) = 8/24 + 9/24 = 17/24.
Adım 2: İşlemimiz şuna dönüştü: 1 / (17/24).
Adım 3: 1’i bir kesre bölmek, o kesri ters çevirmek demektir. Yani sonuç 24/17 olur.
Sonuç: 24/17
e) 1 2/5 ÷ 8/3 + 1 5/4 ÷ 5/8 = ?
Not: Sorudaki işlem işaretleri tam belirgin olmasa da, bu tür sorularda genellikle işlem önceliğini test etmek için çarpma/bölme ve toplama/çıkarma bir arada verilir. Görselde ortadaki işaret toplama gibi duruyor. Bu varsayımla çözeceğim. Eğer hepsi çarpma/bölme olsaydı soldan sağa sırayla yapardık.
Önce bölme işlemlerini yapacağız, sonra sonuçları toplayacağız.
Adım 1: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim.
1 2/5 = (1*5 + 2)/5 = 7/5
1 5/4 = (1*4 + 5)/4 = 9/4
Adım 2: Şimdi ilk bölme işlemini yapalım: (7/5) ÷ (8/3). İkinci kesri ters çevirip çarpıyoruz.
(7/5) * (3/8) = (7*3) / (5*8) = 21/40.
Adım 3: Şimdi ikinci bölme işlemini yapalım: (9/4) ÷ (5/8). Yine ikinci kesri ters çevirip çarpıyoruz.
(9/4) * (8/5) = (9*8) / (4*5) = 72/20. Sadeleştirme yapabiliriz. Payı ve paydayı 4’e bölersek 18/5 buluruz.
Adım 4: Son olarak bulduğumuz iki sonucu toplayacağız: 21/40 + 18/5.
Adım 5: Paydaları eşitlemek için ikinci kesri 8 ile genişletelim.
21/40 + (18*8)/(5*8) = 21/40 + 144/40 = (21+144)/40 = 165/40.
Adım 6: Bu kesri sadeleştirebiliriz. Pay ve payda 5’e bölünür.
165 ÷ 5 = 33
40 ÷ 5 = 8
Sonuç: 33/8
2. Yandaki kutucukta verilen işlemin sonucu 1 olduğuna göre ★ yerine kaç yazılmalıdır?
İşlemimiz: 1 + 6 / ( (★ – 2) / 3 ) – 1 = 1
Bu bir denklem sorusu. ★ (yıldız) sembolünün yerine gelecek sayıyı bulmaya çalışacağız.
Adım 1: Denklemin sol tarafına bakalım. Bir “+1” ve bir “-1” var. Bunlar birbirini götürür, yani sıfır olur.
Denklemimiz şuna dönüştü: 6 / ( (★ – 2) / 3 ) = 1.
Adım 2: Bir bölme işleminin sonucunun 1 olması için, bölünen sayının bölen sayıya eşit olması gerekir. Yani pay, paydaya eşit olmalıdır.
Bu durumda: 6 = (★ – 2) / 3 olmalıdır.
Adım 3: “Hangi sayıyı 3’e bölersek 6 eder?” diye düşünebiliriz. Bu sayıyı bulmak için 6 ile 3’ü çarparız.
★ – 2 = 6 * 3
★ – 2 = 18
Adım 4: Şimdi de “Hangi sayıdan 2 çıkarırsak 18 kalır?” diye soruyoruz. Bunu bulmak için 18’e 2 ekleriz.
★ = 18 + 2
★ = 20
Sonuç: Yıldız (★) yerine 20 yazılmalıdır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, matematikte bol bol pratik yapmak çok önemlidir. Başarılar dilerim!