Sevgili öğrencilerim, hepinize merhaba!
Bugün sizlerle beraber bu alıştırmaları çözeceğiz. Rasyonel sayılar konusunu ne kadar iyi anladığımızı görmek için harika bir fırsat. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, anlamadığınız bir yer olursa tekrar tekrar okuyun, mantığını kavramak en önemlisi.
1. Bazı kısımları eşit aralıklara ayrılmış aşağıdaki sayı doğrularında oklarla gösterilen rasyonel sayıları belirleyerek büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Bu soruda önce her bir sayı doğrusundaki okun hangi rasyonel sayıya karşılık geldiğini bulmalıyız. Sonra da bu sayıları büyükten küçüğe sıralayacağız.
- 1. Sayı Doğrusu: Ok, 0 ile -1 arasında. Bu aralık 4 eşit parçaya bölünmüş. Ok, 0’dan başlayarak sola doğru 3. çizgide. Bu yüzden bu sayı -3/4‘tür.
- 2. Sayı Doğrusu: Ok, -1 ile -2 arasında. Bu aralık 2 eşit parçaya bölünmüş. Ok, -1’den başlayarak sola doğru 1. çizgide. Yani -1 tam 1/2. Bunu bileşik kesre çevirirsek -3/2 olur.
- 3. Sayı Doğrusu: Ok, 1 ile 2 arasında. Bu aralık 3 eşit parçaya bölünmüş. Ok, 1’den başlayarak sağa doğru 2. çizgide. Yani 1 tam 2/3. Bunu bileşik kesre çevirirsek 5/3 olur.
- 4. Sayı Doğrusu: Ok, 0 ile 1 arasında. Bu aralık 8 eşit parçaya bölünmüş. Ok, 0’dan başlayarak sağa doğru 5. çizgide. Bu yüzden bu sayı 5/8‘dir.
Şimdi bulduğumuz sayıları (-3/4, -3/2, 5/3, 5/8) büyükten küçüğe sıralayalım.
Unutmayın, pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan büyüktür!
Adım 1: Önce pozitif sayıları kendi arasında sıralayalım: 5/3 ve 5/8.
5/3, 1’den büyüktür (bileşik kesir). 5/8 ise 1’den küçüktür (basit kesir). Dolayısıyla 5/3 > 5/8.
Adım 2: Şimdi de negatif sayıları kendi arasında sıralayalım: -3/4 ve -3/2.
Negatif sayıları sıralarken pozitif gibi düşünüp tam tersini alırız. 3/2 (yani 1,5), 3/4’ten (yani 0,75) büyüktür. Ama sayılarımız negatif olduğu için sıralama tam tersi olur. Yani -3/4 > -3/2.
Adım 3: Tüm sayıları birleştirelim.
En büyükten en küçüğe doğru sıralama şu şekilde olur:
Sonuç: 5/3 > 5/8 > -3/4 > -3/2
2. Aşağıdaki karşılaştırmalarda verilen noktalı yerlere “<" veya ">” sembollerinden uygun olanı yazınız.
Bu soruda kesirleri karşılaştıracağız. Paydaları eşitlemek genellikle en kolay yoldur.
- a) -2/5 ………. -1/20
İlk kesrin paydasını 20 yapmak için 4 ile genişletelim:
-2/5 = (-2 x 4) / (5 x 4) = -8/20
Şimdi -8/20 ile -1/20’yi karşılaştırıyoruz. Negatif sayılarda 0’a daha yakın olan daha büyüktür. -1, -8’den daha büyük olduğu için -8/20 < -1/20 olur.
Sonuç: -2/5 < -1/20 - b) -2/11 ………. -22/25
Burada -2/11 sayısı 0’a çok yakınken, -22/25 sayısı -1’e çok yakındır. Sayı doğrusunda 0’ın solunda ilerledikçe sayılar küçülür. Bu yüzden 0’a daha yakın olan -2/11 daha büyüktür.
Sonuç: -2/11 > -22/25 - c) 18/7 ………. 40/14
İlk kesrin paydasını 14 yapmak için 2 ile genişletelim:
18/7 = (18 x 2) / (7 x 2) = 36/14
Şimdi 36/14 ile 40/14’ü karşılaştırıyoruz. Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür. 36 < 40 olduğu için 36/14 < 40/14 olur.
Sonuç: 18/7 < 40/14 - d) 1/13 ………. 1/29
Bunlar birim kesirler (payları 1 olan kesirler). Birim kesirlerde paydası küçük olan kesir daha büyüktür. 13 < 29 olduğu için 1/13 daha büyüktür.
Sonuç: 1/13 > 1/29 - e) 126/125 ………. 2/151
126/125 bir bileşik kesirdir, yani değeri 1’den büyüktür. 2/151 ise bir basit kesirdir, yani değeri 1’den küçüktür. 1’den büyük bir sayı her zaman 1’den küçük bir sayıdan büyüktür.
Sonuç: 126/125 > 2/151
3. Yandaki kutucukta verilen sıralamaya göre ▲ yerine yazılabilecek en büyük ve en küçük tam sayıların toplamı kaçtır?
Sıralamamız: 3/10 > ▲/30 > -4/6
Adım 1: Karşılaştırma yapabilmek için tüm kesirlerin paydalarını eşitlemeliyiz. 10, 30 ve 6’nın ortak katı 30’dur. Haydi hepsinin paydasını 30 yapalım.
3/10’u 3 ile genişletiriz: (3 x 3) / (10 x 3) = 9/30
-4/6’yı 5 ile genişletiriz: (-4 x 5) / (6 x 5) = -20/30
Adım 2: Sıralamayı yeni halleriyle yazalım.
9/30 > ▲/30 > -20/30
Adım 3: Paydalar eşit olduğuna göre artık sadece paylara bakabiliriz.
9 > ▲ > -20
Bu demektir ki, ▲ yerine 9’dan küçük ve -20’den büyük tam sayılar gelebilir.
Yani ▲’nin alabileceği değerler: 8, 7, 6, …, 0, -1, …, -18, -19.
Adım 4: Bu sayılar içindeki en büyüğü ve en küçüğü bulup toplayalım.
En büyük tam sayı: 8
En küçük tam sayı: -19
Toplamları: 8 + (-19) = -11
Sonuç: -11
4. Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Burada da yine karşılaştırma yöntemlerini kullanarak sayıları en küçükten en büyüğe doğru dizeceğiz.
- a) -2/5 , 1/3 , 4/7
Bu sayılardan biri negatif, ikisi pozitif. Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür. O halde en küçük sayımız -2/5‘tir.
Şimdi 1/3 ile 4/7’yi karşılaştıralım. Paydalarını eşitleyelim (3×7=21).
1/3 = 7/21
4/7 = 12/21
7/21 < 12/21 olduğuna göre, 1/3 < 4/7‘dir.
Sonuç: -2/5 < 1/3 < 4/7 - b) -21/20 , -1/318 , -1/8
Tüm sayılar negatif.
-21/20, -1’den daha küçüktür (-1 tam 1/20). Diğer iki sayı ise 0 ile -1 arasındadır. Bu yüzden en küçük sayı -21/20‘dir.
Şimdi -1/318 ile -1/8’i karşılaştıralım. Pozitif olsalardı 1/8 > 1/318 olurdu. Negatif oldukları için sıralama tersine döner: -1/8 < -1/318.
Sonuç: -21/20 < -1/8 < -1/318 - c) 3/5 , 2/111 , 113/114
Bu sayıların hepsi pozitif. Onları yarıma (1/2) ve bütüne (1) yakınlıklarına göre sıralayabiliriz.
2/111, 0’a çok yakın, çok küçük bir sayıdır.
3/5, yarımdan (2.5/5) biraz büyüktür. Ondalık olarak 0,6’dır.
113/114, bütüne yani 1’e çok yakındır. Payı paydasından sadece 1 eksik.
Gördüğünüz gibi, 0’a en yakın olan en küçük, 1’e en yakın olan en büyüktür.
Sonuç: 2/111 < 3/5 < 113/114
Umarım tüm çözümleri ve açıklamaları anlamışsınızdır. Matematikte bol bol pratik yapmak çok önemlidir. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!