Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugünkü dersimizde çemberde merkez açı ve yayın uzunluğu arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Önümüzdeki etkinlikteki soruları hep birlikte, adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Öncelikle etkinlikte bizden istenen çizimi yaptığımızı varsayalım. Kareli zemine merkezini A noktası olarak belirlediğimiz, 2 cm yarıçaplı bir çember çizdik. Sonra merkezden geçen yatay BC ve dikey KL doğru parçalarını da çizdik. Bu çizim, iki tane çapın birbirini dik kesmesiyle çemberi dört eş parçaya ayırdı. Şimdi bu çizime göre soruları cevaplayalım.
a) Oluşturduğunuz çemberin uzunluğunu bulunuz. (π = 3 alınız.)
Sevgili çocuklar, bir çemberin uzunluğunu, yani çevresini bulmak için kullandığımız bir formül var. Bu formülü unutmayalım: Çevre = 2 x π x r. Buradaki ‘r’ yarıçapı, ‘π’ (pi) ise sabit bir sayıyı temsil ediyor. Sorumuzda bize π’yi 3 almamız söylenmiş.
- Adım 1: Formülde verilenleri yerlerine yazalım. Yarıçapımız (r) 2 cm ve π sayımız 3.
Çevre = 2 x 3 x 2 - Adım 2: Şimdi bu sayıları çarpalım.
2 x 3 = 6
6 x 2 = 12
Sonuç olarak, çizdiğimiz çemberin uzunluğu 12 cm‘dir.
b) Oluşan BAK açısını açıölçer yardımıyla ölçerek açının kaç derece olduğunu belirleyiniz.
Etkinliğin başında bizden ne istenmişti bir hatırlayalım. BC doğru parçası yatay, KL doğru parçası ise dikey olarak çizilmişti. Bir yatay doğru ile bir dikey doğru her zaman birbirini dik keser. Dik açıların ölçüsü kaç dereceydi? Evet, tam olarak 90 derece!
Dolayısıyla, A noktasında oluşan BAK açısı bir dik açıdır ve ölçüsü 90 derecedir. Açıölçer ile ölçseydik de aynı sonucu bulurduk.
c) BC ve KL doğru parçalarının çemberi kaç parçaya böldüğünü yazarak bu parçalardan her birinin uzunluğunun kaç santimetre olabileceğini arkadaşlarınızla tartışınız.
Çizdiğimiz iki çap (BC ve KL) çemberimizi tam 4 tane eş parçaya ayırmıştır. Bu parçaların her birine çeyrek çember yayı deriz.
- Adım 1: Çemberin tamamının uzunluğunu (a) şıkkında 12 cm olarak bulmuştuk.
- Adım 2: Çember 4 eş parçaya ayrıldığına göre, bir parçanın uzunluğunu bulmak için toplam uzunluğu 4’e bölmemiz yeterlidir.
12 / 4 = 3 cm
Yani, bu eş parçalardan (yaylardan) her birinin uzunluğu 3 cm‘dir.
ç) Çemberin merkezinde bulunan açıların ölçüleri ile bu açıların kolları arasında kalan çember parçasının uzunlukları arasında nasıl bir ilişki vardır? Bu ilişki bir örüntü yardımıyla açıklanabilir mi? Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
İşte konumuzun en önemli noktasına geldik! Gelin bir ilişki kurmaya çalışalım.
(b) şıkkında merkezdeki açıyı 90 derece bulduk.
(c) şıkkında ise bu 90 derecelik açının gördüğü yayın uzunluğunu 3 cm bulduk.
Peki, çemberin tamamı kaç dereceydi? Harika, 360 derece! Çemberin tamamının uzunluğu ne kadardı? 12 cm.
Şimdi oranları karşılaştıralım:
- Açının, tam açıya oranı: 90 / 360 = 1/4
- Yay uzunluğunun, çemberin çevresine oranı: 3 / 12 = 1/4
Gördünüz mü? İki oran da birbirine eşit çıktı! Demek ki aralarında şöyle bir ilişki var: Merkez açının ölçüsü ne kadar büyükse, gördüğü yayın uzunluğu da o kadar artar. Bu artış doğru orantılıdır. Yani merkezdeki açı, çemberin kaçta kaçıysa, gördüğü yayın uzunluğu da tüm çevrenin o kadar kaçta kaçıdır. İşte örüntümüz bu!
d) Siz de yarıçapı 8 cm olan bir çember çiziniz ve açı ölçer kullanarak 45° lik merkez açının gördüğü yayı belirleyiniz. Daha sonra bu yayın uzunluğunu hesaplayarak merkez açı ölçüsü, çember uzunluğu ve yay uzunluğu arasındaki matematiksel ilişkiyi belirleyiniz. Bu ilişkiyi yukarıda bulduğunuz örüntü ile karşılaştırarak bir matematiksel sonuç oluşturabilir misiniz? Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Haydi yeni bir örnekle bu ilişkiyi test edelim.
- Adım 1: Önce yarıçapı 8 cm olan yeni çemberimizin çevresini bulalım. (π=3 alıyoruz)
Çevre = 2 x π x r = 2 x 3 x 8 = 48 cm. - Adım 2: Şimdi 45 derecelik merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulalım. Az önce bulduğumuz kuralı kullanalım: (Merkez Açı / 360) = (Yay Uzunluğu / Çevre)
45 / 360 = Yay Uzunluğu / 48 - Adım 3: 45/360 kesrini sadeleştirelim. 360, 45’in tam 8 katıdır. Yani 45/360 = 1/8.
1/8 = Yay Uzunluğu / 48 - Adım 4: Yay uzunluğunu bulmak için 48’i 8’e bölmemiz yeterli.
48 / 8 = 6 cm.
Sonuç: Yarıçapı 8 cm olan bir çemberde 45 derecelik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu 6 cm‘dir. Gördüğünüz gibi, (ç) şıkkında bulduğumuz ilişki ve örüntü burada da harika bir şekilde çalıştı!
e) Bulmuş olduğunuz matematiksel sonucun doğruluğunu merkez açı ölçüsü 90 derece ve 180 derece olan açılarda da kontrol ediniz. Bulduğunuz sonuçları sınıf arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Kuralımızın ne kadar sağlam olduğunu görmek için son bir kontrol yapalım. Yarıçapı 8 cm ve çevresi 48 cm olan çemberimizi kullanmaya devam edelim.
90 derecelik açı için:
- 90 / 360 = Yay Uzunluğu / 48
- 1/4 = Yay Uzunluğu / 48
- Yay Uzunluğu = 48 / 4 = 12 cm. (Mantıklı mı? Evet, 45 derecenin gördüğü yay 6 cm ise, onun iki katı olan 90 derecenin gördüğü yay da 12 cm olmalı!)
180 derecelik açı için:
- 180 derece, çemberin tam yarısı demektir, yani yarım çember yayı.
- 180 / 360 = Yay Uzunluğu / 48
- 1/2 = Yay Uzunluğu / 48
- Yay Uzunluğu = 48 / 2 = 24 cm. (Bu da çok mantıklı! Çemberin çevresi 48 cm ise, yarısının 24 cm olması gerekir.)
Sonuç olarak, bulduğumuz matematiksel kuralın (orantının) tamamen doğru olduğunu kanıtlamış olduk. Harika iş çıkardınız çocuklar!
Umarım herkes için anlaşılır olmuştur. Aklınıza takılan bir yer olursa çekinmeden sorun lütfen.