Merhaba sevgili öğrencilerim! Ben sizin matematik öğretmeninizim. Bugün çemberde merkez açı ve yayın uzunluğu ile ilgili çok güzel sorular çözeceğiz. Bu konuları ne kadar iyi anladığınızı görmek için harika bir fırsat. Haydi, gönderdiğiniz görseldeki soruları birlikte, adım adım inceleyelim ve çözelim.
Örnek 2
Aşağıdaki ifadelerde doğru olanların başına “D” yanlış olanların başına “Y” yazınız.
a) …… Her çemberde ölçüsü 1° olan merkez açının gördüğü yay uzunluğu sabittir.
Cevap: Y (Yanlış)
Sevgili çocuklar, bu ifade yanlıştır. Düşünün ki biri küçük bir pizza, diğeri ise kocaman bir aile boyu pizza olsun. İkisinden de 1 derecelik bir dilim kestiğimizi hayal edelim. Açıları aynı olsa da, büyük pizzanın kenar (yani yay) uzunluğu, küçük pizzanınkinden çok daha fazla olur, değil mi? İşte çemberler de böyledir. Çemberin büyüklüğü (yarıçapı) değiştikçe, aynı derecelik açının gördüğü yayın uzunluğu da değişir. Bu yüzden bu ifade yanlıştır.
b) …… Bir çemberde merkez açının gördüğü yayın uzunluğu merkez açının ölçüsüne bağlı olarak değişir.
Cevap: D (Doğru)
Evet, bu kesinlikle doğru! Yine pizza örneğinden gidelim. Aynı pizzadan 30 derecelik bir dilim mi daha büyüktür, yoksa 90 derecelik bir dilim mi? Elbette 90 derecelik dilimin kenarı (yayı) daha uzundur. Yani açı büyüdükçe, gördüğü yayın uzunluğu da artar. Bu ifade doğrudur.
c) …… 360° lik bir merkez açının gördüğü yay çemberin tamamıdır.
Cevap: D (Doğru)
Harikasınız! 360 derece demek, bir tam tur demektir. Bir noktanın etrafında tam bir tur döndüğümüzde çemberin tamamını dolaşmış oluruz. Bu yüzden 360 derecelik merkez açı, çemberin çevresinin tamamını görür. Bu ifade doğrudur.
ç) …… Aynı çembere ait iki merkez açının ölçüleri aynıysa bu açıların gördükleri yayın uzunlukları da eşittir.
Cevap: D (Doğru)
Burada kilit kelime “aynı çembere ait” olması. Eğer aynı çember üzerinde çalışıyorsak ve iki tane 45 derecelik açı alırsak, bu açıların gördüğü yayların uzunlukları da tabii ki birbirine eşit olur. Çünkü çemberimiz aynı, açılarımız da aynı! Bu ifade doğrudur.
d) …… 50° lik bir merkez açının gördüğü yayın uzunluğu bütün çemberlerde birbirine eşittir.
Cevap: Y (Yanlış)
Bu ifade, ‘a’ şıkkındaki ifadenin bir benzeri. Unutmayın, çemberin boyutu çok önemli. Bir bisiklet tekerleğindeki 50 derecelik yayın uzunluğu ile bir araba tekerleğindeki 50 derecelik yayın uzunluğu aynı olabilir mi? Olamaz. Bu yüzden bu ifade yanlıştır.
e) …… Bir çemberin yarıçapı iki katına çıkarsa ölçüsü belli olan bir merkez açının gördüğü yayın uzunluğu da iki katına çıkar.
Cevap: D (Doğru)
Bu çok mantıklı bir ifade. Yarıçap, çemberin ne kadar büyük olduğunu belirler. Yarıçapı iki katına çıkarırsak, çemberin çevresi de iki katına çıkar. Dolayısıyla, o çemberden alacağımız herhangi bir dilimin yay uzunluğu da tam olarak iki katına çıkar. Bu bir doğru orantıdır. Bu ifade doğrudur.
f) …… İki farklı çemberde ölçüleri eşit merkez açıların gördüğü yay uzunlukları da her zaman eşittir.
Cevap: Y (Yanlış)
“İki farklı çember” dediği anda dikkatli olmalıyız. Bu çemberlerin yarıçapları farklı olabilir. Yarıçapları farklıysa, ‘a’ ve ‘d’ şıklarında konuştuğumuz gibi, aynı açının gördüğü yayların uzunlukları da farklı olur. Bu yüzden “her zaman eşittir” demek doğru olmaz. Bu ifade yanlıştır.
g) …… 90° lik bir merkez açının gördüğü yay uzunluğu çemberin uzunluğunun dörtte biridir.
Cevap: D (Doğru)
Çok güzel bir soru! Çemberin tamamı kaç dereceydi? 360 derece. Peki 90 derece, 360 derecenin kaçta kaçıdır? Hadi hesaplayalım: 90 / 360. Bu kesri sadeleştirirsek 1/4 buluruz. Yani 90 derecelik açı, çemberin tam olarak dörtte birini, yani çeyreğini görür. Bu ifade doğrudur.
Örnek 3
Aynı çember üzerinde oluşturulan merkez açıların ölçüleri aşağıda verilmiştir. Verilen eşleştirmeden yararlanarak açı ölçüleri ile bu açı ölçülerine sahip merkez açıların gördükleri yay uzunluklarını eşleştiriniz. (π = 3 alınız.)
Harika bir eşleştirme sorusu! Bu tür sorularda bize verilen ipucunu çok iyi kullanmalıyız. Soruda bize bir eşleştirme zaten verilmiş:
- e) 90° → 12 cm
Bu bizim anahtarımız! Bu bilgiyi kullanarak diğer bütün eşleştirmeleri bulabiliriz.
Adım 1: Bize verilen ipucunu analiz edelim.
Eğer 90 derecelik bir açı 12 cm’lik bir yay görüyorsa, buradan daha basit bir birim bulabiliriz. Mesela 30 derecenin kaç cm’lik yay gördüğünü bulalım. 90, 30’un 3 katıdır. O zaman 90 derecenin gördüğü yay uzunluğunu 3’e bölersek, 30 derecenin gördüğü yay uzunluğunu buluruz.
12 cm / 3 = 4 cm
İşte bulduk! Her 30 derecelik açı, 4 cm’lik bir yay görüyor. Artık bu bilgiyle bütün soruyu çözebiliriz.
Adım 2: Diğer açıların gördüğü yay uzunluklarını hesaplayalım.
- a) 180°: 180 derece, 30 derecenin kaç katıdır? 180 / 30 = 6 katıdır. O zaman yay uzunluğu da 4 cm’nin 6 katı olur.
6 x 4 cm = 24 cm - b) 30°: Bunu zaten ilk adımda bulmuştuk.
Yay uzunluğu = 4 cm - c) 45°: 45 derece, 30 derecenin tam katı değil. Ama 45 derece, bir 30 derece ile bir 15 derecenin toplamıdır. 30 derece 4 cm ise, yarısı olan 15 derece 2 cm’dir.
O zaman 45° = 30° + 15° → 4 cm + 2 cm = 6 cm - ç) 120°: 120 derece, 30 derecenin kaç katıdır? 120 / 30 = 4 katıdır.
4 x 4 cm = 16 cm - d) 150°: 150 derece, 30 derecenin kaç katıdır? 150 / 30 = 5 katıdır.
5 x 4 cm = 20 cm - e) 90°: Bu zaten bize verilmişti, kontrol edelim. 90 derece, 30 derecenin 3 katıdır. 3 x 4 cm = 12 cm. Evet, doğru!
Sonuç: Eşleştirmeleri yapalım!
a) 180° → 24 cm
b) 30° → 4 cm
c) 45° → 6 cm
ç) 120° → 16 cm
d) 150° → 20 cm
e) 90° → 12 cm
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi, bir ipucunu yakaladığımızda gerisi çorap söküğü gibi geliyor. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. İyi çalışmalar dilerim!