Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte çember ve yay uzunluğu ile ilgili çok güzel bir soruyu çözeceğiz. Bu tür sorular, öğrendiğimiz formülleri nasıl kullanacağımızı anlamamız için harika birer fırsattır. Hadi kağıtları kalemleri hazırlayın ve adım adım benimle birlikte ilerleyin!
5) Eren, doğrusal çubuğu bir O noktasına sabitleyip bu çubuğun A noktasına kırmızı, B noktasına ise mavi tebeşiri aşağıdaki gibi sabitlemiştir. Bu çubuk O noktası etrafında döndürüldüğünde tebeşirler çizim yapmaktadır. (π = 3 alınız.)
Öncelikle soruyu anlamak için görseli iyice inceleyelim. Elimizde bir çubuk var ve bu çubuk O noktası etrafında dönüyor. Bu, pergelin iğnesini bir noktaya sabitleyip çizim yapmaya çok benziyor, değil mi? O noktası bizim merkezimiz olacak.
- Kırmızı tebeşirin merkeze (O noktasına) uzaklığı 30 cm. Bu, kırmızı tebeşirin çizeceği çemberin yarıçapı demektir. (rkırmızı = 30 cm)
- Mavi tebeşirin merkeze (O noktasına) uzaklığı ise O’dan A’ya ve A’dan B’ye olan uzaklıkların toplamıdır. Yani, 30 cm + 20 cm = 50 cm. Bu da mavi tebeşirin çizeceği çemberin yarıçapıdır. (rmavi = 50 cm)
Bu temel bilgileri aklımızda tutarak şıklara geçelim.
a) Eren, çubuğun B ucundan tutup, O noktası etrafında 360 derece döndürdüğünde mavi ve kırmızı tebeşirler hangi geometrik şekli çizer?
Hadi düşünelim… Bir noktayı merkez alıp etrafında 360 derece dönmek ne demekti? Evet, tam bir tur atmak demekti! Tıpkı pergel ile çizim yaptığımız gibi, bir noktanın etrafında tam bir tur attığımızda bir çember elde ederiz.
Adım 1: Kırmızı tebeşir, O merkezinden 30 cm uzakta. 360 derece döndüğünde, merkezi O olan ve yarıçapı 30 cm olan bir çember çizer.
Adım 2: Mavi tebeşir, O merkezinden 50 cm uzakta. O da 360 derece döndüğünde, merkezi O olan ve yarıçapı 50 cm olan bir çember çizer.
Sonuç: Kırmızı ve mavi tebeşirler, merkezleri aynı (O noktası) olan, iç içe geçmiş iki farklı çember çizerler.
b) Eren, çubuğun B ucundan tutup, O noktası etrafında 120 derece döndürdüğünde kırmızı renkli tebeşirin çizdiği yayın uzunluğu kaç santimetre olur?
Bu soruda bizden tam bir çember değil, çemberin bir parçası olan çember yayının uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bunun için bir formülümüz vardı, hatırlayalım:
Yay Uzunluğu = (2 x π x r) x (Dönme Açısı / 360)
Adım 1: Önce kırmızı tebeşirin çizeceği tam çemberin çevresini hesaplayalım.
- Yarıçap (r) = 30 cm
- π = 3
- Çevre = 2 x π x r = 2 x 3 x 30 = 180 cm
Adım 2: Şimdi bu çemberin sadece 120 derecelik kısmının uzunluğunu bulacağız. Formülde yerine koyalım.
- Yay Uzunluğu = 180 x (120 / 360)
- 120/360 kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı da 120’ye bölersek 1/3 elde ederiz. Yani çemberin üçte birini arıyoruz.
- Yay Uzunluğu = 180 x (1/3) = 180 / 3 = 60 cm
Sonuç: Kırmızı tebeşirin çizdiği yayın uzunluğu 60 cm olur.
c) Eren, çubuğun B ucundan tutup, O noktası etrafında 180 derece döndürdüğünde mavi renkli tebeşirin çizdiği yayın uzunluğu kaç santimetre olur?
Bu soru da bir öncekiyle aynı mantıkta. Sadece bu sefer mavi tebeşir ve farklı bir açı var. 180 derece dönmek, yarım tur atmak demektir. Yani yarım çemberin uzunluğunu bulacağız.
Adım 1: Önce mavi tebeşirin çizeceği tam çemberin çevresini hesaplayalım.
- Yarıçap (r) = 50 cm
- π = 3
- Çevre = 2 x π x r = 2 x 3 x 50 = 300 cm
Adım 2: Şimdi bu çemberin 180 derecelik yayının uzunluğunu bulalım.
- Yay Uzunluğu = 300 x (180 / 360)
- 180/360 kesri, 1/2‘ye eşittir. Yani çemberin yarısını arıyoruz.
- Yay Uzunluğu = 300 x (1/2) = 300 / 2 = 150 cm
Sonuç: Mavi tebeşirin çizdiği yayın uzunluğu 150 cm olur.
ç) Eren, çubuğu B ucundan tutup tam tur olmayacak şekilde döndürmüş, mavi ve kırmızı tebeşirlerin çizdiği yayların toplamı 120 cm olmuştur. Bu durumda Eren çubuğu kaç derece döndürmüştür?
İşte bu biraz daha düşünmemizi gerektiren bir soru! Bu sefer bize yay uzunluklarının toplamı verilmiş ve açı soruluyor. Ama korkmayın, yine aynı formülü kullanacağız, sadece tersten gideceğiz. Bilmediğimiz açıya “A” diyelim.
Adım 1: Kırmızı tebeşirin “A” derecelik açıyla çizdiği yayın uzunluğunu yazalım.
Kırmızı Yay = (2 x 3 x 30) x (A / 360) = 180 x (A / 360)
Adım 2: Mavi tebeşirin “A” derecelik açıyla çizdiği yayın uzunluğunu yazalım.
Mavi Yay = (2 x 3 x 50) x (A / 360) = 300 x (A / 360)
Adım 3: Soru bize bu iki yayın toplamının 120 cm olduğunu söylüyor. O zaman bu iki ifadeyi toplayıp 120’ye eşitleyelim.
[180 x (A / 360)] + [300 x (A / 360)] = 120
Parantez içindeki (A / 360) ifadesi ikisinde de ortak olduğu için, 180 ile 300’ü toplayabiliriz.
(180 + 300) x (A / 360) = 120
480 x (A / 360) = 120
Adım 4: Şimdi “A” açısını bulmak için denklemi çözelim. “A”yı yalnız bırakmaya çalışacağız.
Eşitliğin her iki tarafını da 480’e bölebiliriz.
A / 360 = 120 / 480
120/480 kesrini sadeleştirelim. 12/48 olur, bu da 1/4‘e eşittir.
A / 360 = 1/4
Şimdi A’yı bulmak için 360’ı 4’e bölmemiz yeterli.
A = 360 / 4 = 90
Sonuç: Eren çubuğu 90 derece döndürmüştür.
Umarım tüm çözümleri net bir şekilde anlamışsınızdır. Gördüğünüz gibi, formülleri bildiğimiz ve soruyu dikkatlice okuduğumuz sürece her soruyu rahatlıkla çözebiliriz. Bir sonraki derste görüşmek üzere, kendinize iyi bakın!