Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 6. Sınıf Matematik öğretmeniniz.
Bugün sizlerle birlikte çokgenlerin iç açıları toplamını bulmanın ne kadar kolay ve mantıklı bir yolu olduğunu keşfedeceğiz. Önümüzdeki görseldeki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
1) Beşgen, altıgen ve yedigenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenleri çiziniz ve oluşan üçgenlerden yararlanarak her bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını örnekteki gibi bulunuz.
Bu soruda bizden istenen şey, bir köşeden köşegenler çizerek çokgenleri üçgenlere ayırmak. Neden mi üçgenlere ayırıyoruz? Çünkü hepimizin bildiği gibi, bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°’dir. Bu bilgiyi kullanarak bütün çokgenlerin iç açıları toplamını bulabiliriz!
a) Beşgenin İç Açılarının Ölçüleri Toplamı
Öncelikle beşgenimize bakalım. Beşgen, adından da anlaşılacağı gibi 5 kenarı ve 5 köşesi olan bir çokgendir.
- Adım 1: Beşgenin bir köşesini seçelim. Mesela A köşesini seçelim. Bu köşeden, kendisine komşu olmayan diğer köşelere köşegenlerimizi (yani kesikli çizgilerimizi) çizelim. A köşesinden C’ye ve D’ye birer köşegen çizebiliriz.
- Adım 2: Köşegenleri çizdiğimizde beşgenin içinde kaç tane üçgen oluştuğunu sayalım. Gördüğünüz gibi, tam 3 tane üçgenimiz oldu! (AEC üçgeni, ACD üçgeni ve ABC üçgeni)
- Adım 3: Her bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre, 3 tane üçgenin iç açıları toplamı beşgenin iç açıları toplamını verecektir. Haydi hesaplayalım:
180° + 180° + 180° = 540°
Sonuç: Beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 540°‘dir.
b) Altıgenin İç Açılarının Ölçüleri Toplamı
Şimdi sırada 6 kenarı ve 6 köşesi olan altıgenimiz var.
- Adım 1: Yine bir köşe seçelim, bu da A köşesi olsun. A köşesinden kendisine komşu olmayan C, D ve E köşelerine köşegenlerimizi çizelim.
- Adım 2: Bakalım içinde kaç tane üçgen oluştu? Saydığımızda tam 4 tane üçgen oluştuğunu görüyoruz.
- Adım 3: Dört tane üçgenin iç açıları toplamını bularak altıgenin iç açıları toplamını hesaplayalım.
180° + 180° + 180° + 180° = 720°
Sonuç: Altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 720°‘dir.
c) Yedigenin İç Açılarının Ölçüleri Toplamı
Son olarak 7 kenarlı ve 7 köşeli yedigenimize bakalım.
- Adım 1: Alışkanlık olduğu üzere yine A köşesini seçelim ve komşu olmayan köşelere (C, D, E ve F) köşegenlerimizi çizelim.
- Adım 2: Oluşan üçgenleri sayalım. Evet, tam 5 tane üçgenimiz var!
- Adım 3: Beş üçgenin iç açıları toplamını hesaplayalım.
180° + 180° + 180° + 180° + 180° = 900°
Sonuç: Yedigenin iç açılarının ölçüleri toplamı 900°‘dir.
2) Çokgenlerin iç açılarının toplamının nasıl bulunacağına dair ulaştığınız sonuçları yazarak arkadaşlarınızla paylaşınız.
Harika bir iş çıkardınız! Şimdi yaptığımız bu işlemlerden bir kural, yani bir formül çıkarabilir miyiz diye düşünelim. Yaptığımız işlemlere bir göz atalım:
- Dörtgen (4 kenarlı): 2 tane üçgen oluştu. (4 – 2 = 2)
- Beşgen (5 kenarlı): 3 tane üçgen oluştu. (5 – 2 = 3)
- Altıgen (6 kenarlı): 4 tane üçgen oluştu. (6 – 2 = 4)
- Yedigen (7 kenarlı): 5 tane üçgen oluştu. (7 – 2 = 5)
Fark ettiniz mi? Bir çokgenin bir köşesinden köşegenler çizdiğimizde oluşan üçgen sayısı, o çokgenin kenar sayısının 2 eksiği kadardır.
O zaman şöyle bir genelleme yapabiliriz: Kenar sayısına “n” dersek, bir çokgenin içinde (n – 2) tane üçgen oluşturabiliriz. Her bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için, bir çokgenin iç açıları toplamını bulmak için şu formülü kullanabiliriz:
İç Açılar Toplamı = (Kenar Sayısı – 2) x 180°
Kısaca: (n – 2) x 180°
İşte bu kadar! Artık size ongenin, yirmigenin bile iç açıları toplamını sorsalar bu formülle kolayca bulabilirsiniz. Matematikte böyle desenler ve kurallar bulmak çok keyifli, değil mi? Harikasınız çocuklar!