Merhaba sevgili öğrencilerim! Ben Matematik Öğretmeniniz. Bugün sizlerle ders kitabımızdaki çok keyifli bir etkinliği, ‘Etkinlik 3’ü birlikte yapacağız. Bu etkinlikte çokgenlerin iç açıları toplamını nasıl kolayca bulabileceğimizi keşfedeceğiz. Unutmayın, daha önceden bir üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu öğrenmiştik. Bütün işimiz bu bilgiyle!
Soru: Aşağıda bazı çokgenler ve bir köşelerinden çizilen köşegenleri verilmiştir. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğunu daha önce öğrenmiştiniz. Sınıfınızda gruplar oluşturarak köşegenler çizildikten sonra çokgenlerin içinde oluşan üçgenleri inceleyiniz. Çokgenin içindeki üçgen sayısı ile çokgenin iç açılarının toplamı arasındaki ilişkiyi arkadaşlarınızla tartışarak belirleyiniz. Belirlediğiniz ilişkiyi diğer gruplarla paylaşınız.
Çözüm:
Haydi gelin, bu etkinliği adım adım birlikte tamamlayalım ve çokgenlerin sırrını çözelim!
Adım 1: Şekilleri ve İçlerindeki Üçgenleri İnceleyelim
Öncelikle resimdeki her bir çokgene bakalım ve bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde kaç tane üçgen oluştuğunu sayalım. Bu üçgenlerin açıları toplamı, bize çokgenin iç açıları toplamını verecektir.
- Üçgen (3 kenarlı): Zaten kendisi bir üçgen olduğu için içinde 1 tane üçgen vardır.
İç açıları toplamı: 1 x 180° = 180°
- Kare (4 kenarlı): Bir köşesinden köşegen çizildiğinde içinde 2 tane üçgen oluşmuş.
İç açıları toplamı: 2 x 180° = 360°
- Beşgen (5 kenarlı): Bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde 3 tane üçgen oluşmuş.
İç açıları toplamı: 3 x 180° = 540°
- Yedigen (7 kenarlı): Bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde 5 tane üçgen oluşmuş.
İç açıları toplamı: 5 x 180° = 900°
- Sekizgen (8 kenarlı): Bir köşesinden köşegenler çizildiğinde içinde 6 tane üçgen oluşmuş.
İç açıları toplamı: 6 x 180° = 1080°
Adım 2: Kenar Sayısı ve Üçgen Sayısı Arasındaki İlişkiyi Keşfedelim
Şimdi dikkatli bakın çocuklar. Çokgenin kenar sayısı ile içinde oluşan üçgen sayısı arasında bir ilişki fark ettiniz mi? Gelin, bulduklarımızı alt alta yazalım:
- 3 kenarlı çokgende -> 1 üçgen oluştu. (Yani 3 – 2 = 1)
- 4 kenarlı çokgende -> 2 üçgen oluştu. (Yani 4 – 2 = 2)
- 5 kenarlı çokgende -> 3 üçgen oluştu. (Yani 5 – 2 = 3)
- 7 kenarlı çokgende -> 5 üçgen oluştu. (Yani 7 – 2 = 5)
- 8 kenarlı çokgende -> 6 üçgen oluştu. (Yani 8 – 2 = 6)
Harika! Gördüğünüz gibi, bir çokgenin bir köşesinden köşegenler çizildiğinde oluşan üçgen sayısı, her zaman kenar sayısının 2 eksiği kadardır.
Adım 3: Genel Kuralımızı (Formülümüzü) Yazalım
Bu keşfimizden yola çıkarak artık herhangi bir çokgenin iç açıları toplamını bulan genel bir kural yazabiliriz. Matematikte genellikle bilinmeyen sayılar için harfler kullanırız. Kenar sayısına ‘n‘ diyelim.
- Kenar sayısı: n
- Oluşan üçgen sayısı: n – 2
Her bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre, çokgenin toplam iç açı ölçüsünü bulmak için bu iki ifadeyi çarparız.
Bir çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı = (n – 2) x 180°
İşte bu kadar basit! Artık bu kural sayesinde istediğiniz her çokgenin, örneğin 20 kenarlı bir çokgenin bile, iç açıları toplamını kolayca hesaplayabilirsiniz. Tek yapmanız gereken ‘n‘ yerine kenar sayısını yazmak. Harika bir iş çıkardınız, tebrikler!