Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte paralel doğrular ve açılar konusunu pekiştireceğimiz eğlenceli bir etkinlik yapacağız. Önünüzdeki görseldeki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Unutmayın, geometri sabır ve dikkat gerektirir. Hadi başlayalım!
a) Bu doğruların kesişimi ile oluşan çokgeni belirleyiniz.
Çözüm:
Şekle dikkatlice baktığımızda, iki paralel doğruyu (AB ve CD) kesen iki doğrunun (GK ve EJ) bir kapalı şekil oluşturduğunu görüyoruz. Bu şeklin köşeleri K, J ve L noktalarıdır.
- Adım 1: Şekildeki doğruların arasında kalan kapalı bölgeyi bulalım. Bu bölge K, J ve L noktalarıyla sınırlanmıştır.
- Adım 2: Üç köşesi ve üç kenarı olan çokgenlere ne isim verdiğimizi hatırlayalım. Evet, doğru bildiniz! Üçgen diyoruz.
Sonuç: Bu doğruların kesişimi ile oluşan çokgen, KJL üçgenidir.
b) Boya kalemlerini kullanarak JKL ile ALK iç ters açı çiftlerini pembeden farklı bir renge boyayınız. Belirlediğiniz çokgenin boyalı olmayan iç açısını da başka bir renge boyayınız. AB doğrusu üzerinde boyadığınız açılarla belirlediğiniz çokgenin iç açılarını karşılaştırınız. Ulaştığınız sonuçla ilgili fikirlerinizi yazarak arkadaşlarınızla paylaşınız.
Çözüm:
Bu soru, bir keşif sorusu! Adımları takip ederek çok önemli bir kuralı kendimiz bulacağız.
- Adım 1: Soruda bir yazım hatası olmuş olabilir, doğrusu “KJL üçgeninin K köşesindeki açısı olan LKJ açısı ile bu açının iç tersi olan ALK açısını“ aynı renge boyamamız isteniyor. Çünkü paralel doğrularda “Z” kuralını hatırlarsanız, CD // AB olduğu için LKJ açısı ile ALK açısı birbirine eşittir. Haydi bu iki açıyı da maviye boyayalım.
- Adım 2: Şimdi üçgenimizin boyalı olmayan iç açısına bakalım. Bu açı L köşesindeki KLJ açısıdır. Bu açıyı da farklı bir renge, mesela yeşile boyayalım.
- Adım 3: Şekilde zaten J köşesindeki KJL açısı ile onun iç tersi olan BLJ açısıpembe renge boyanmıştı.
- Adım 4: Şimdi AB doğrusuna odaklanalım. L noktasının etrafında yanyana duran üç tane açı var: ALK (mavi), KLJ (yeşil) ve BLJ (pembe). Bu üç açı bir araya geldiğinde ne oluşturuyor? Bir doğru açı, yani dümdüz bir çizgi!
- Adım 5: Doğru açının ölçüsünün 180 derece olduğunu biliyoruz. Demek ki mavi, yeşil ve pembe açının toplamı 180 dereceymiş.
- Adım 6: Peki bizim KJL üçgenimizin iç açıları hangi renklerdi? Mavi (K açısı), pembe (J açısı) ve yeşil (L açısı).
Sonuç:
Buradan harika bir sonuca ulaşıyoruz! Üçgenin iç açıları ile doğru üzerinde yan yana duran açılar aynı renklerden oluşuyor. Bu da demek oluyor ki, bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180 derecedir. İşte bu kadar!
c) Bu çokgenin L köşesindeki ters açı çiftlerinden boyalı olmayanları kullanılan renklerin aynısı ile boyayınız. Bu çokgenin FLK veya ELH dış açısının K ve J köşelerindeki iç açılar ile ilişkisini belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda da başka bir önemli kuralı keşfedeceğiz. Dış açı ne demekti bir hatırlayalım. Üçgenin bir kenarını uzattığımızda oluşan ve iç açının komşusu olan açıydı.
- Adım 1: Üçgenimizin L köşesindeki iç açısı olan KLJ açısını yeşile boyamıştık. Bu açının ters açısı olan FLH açısı da aynı ölçüye sahiptir. O yüzden FLH açısını da yeşile boyayabiliriz.
- Adım 2: Şimdi sorunun ikinci kısmına bakalım. Bize bir dış açının, diğer iki iç açıyla ilişkisini soruyor. Örneğin, L köşesindeki bir dış açı olan ALH açısını düşünelim.
- Adım 3: ALH açısı, yan yana duran iki açıdan oluşuyor: ALK (mavi) ve KLH. KLH açısı da KJL açısı ile yöndeş olduğu için pembedir. Ya da daha basit bir yoldan gidelim.
- Adım 4: L köşesindeki dış açı olan BLF açısını ele alalım. Bu açı, L köşesindeki iç açı olan KLJ (yeşil) ile birlikte bir doğru açı (180°) oluşturur.
- Adım 5: Biz üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu bulmuştuk. Yani:
(K açısı / Mavi) + (J açısı / Pembe) + (L açısı / Yeşil) = 180° - Adım 6: Ayrıca L köşesindeki dış açı (BLF) ile iç açının (Yeşil) toplamı da 180°.
(Dış Açı BLF) + (L açısı / Yeşil) = 180° - Adım 7: Bu iki eşitliğe bakarsak, Dış Açı BLF’nin, diğer iki iç açının, yani K açısı (mavi) ile J açısının (pembe) toplamına eşit olduğunu görürüz!
Sonuç:
Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan diğer iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu da geometride çok işimize yarayacak bir kural!
ç) Bu çokgende komşu olmayan iki iç açıdan yola çıkarak çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamını belirleyiniz.
Çözüm:
Bir önceki soruda bulduğumuz kuralı kullanarak bu soruyu cevaplayabiliriz.
- Adım 1: Az önce neyi keşfetmiştik? Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşitti.
- Adım 2: Bu kuralı üçgenimizin her köşesi için uygulayalım:
- K köşesindeki dış açı = J açısı + L açısı
- J köşesindeki dış açı = K açısı + L açısı
- L köşesindeki dış açı = K açısı + J açısı
- Adım 3: Şimdi bütün dış açıları toplayalım:
(J açısı + L açısı) + (K açısı + L açısı) + (K açısı + J açısı) - Adım 4: Toplama işleminde her bir iç açıdan (K, J, L) ikişer tane olduğunu görüyoruz. Yani toplam:
2 x (K açısı + J açısı + L açısı) - Adım 5: Parantez içindeki ifade size de tanıdık geldi mi? Evet, bu üçgenin iç açıları toplamı! Ve biz onun 180° olduğunu (b) şıkkında bulmuştuk.
- Adım 6: O zaman sonucu bulmak için yapmamız gereken tek şey:
2 x 180° = 360°
Sonuç:
Sadece üçgen için değil, bütün dışbükey çokgenler için geçerli olan bir kural daha bulduk: Bir üçgenin (veya herhangi bir çokgenin) dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman 360 derecedir.
Umarım bu etkinlik hoşunuza gitmiştir. Gördüğünüz gibi, bazı kuralları sadece ezberlemek yerine, neden böyle olduklarını kendimiz de keşfedebiliriz. Bir sonraki derste görüşmek üzere!