Merhaba sevgili öğrencim,
Ben 6. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Gönderdiğin bu güzel “Gerçek Yaşam Problemleri”ni birlikte adım adım, kolayca anlayacağın bir şekilde çözelim. Hazırsan başlayalım!
Problem 3
Mehtap bir kâğıda 30 cm uzunluğunda doğrusal bir çizgi çizerek üç adet çemberi aralarında boşluk kalmayacak şekilde bu çizgi üzerine yerleştirmiştir. Çemberlerin yarıçap uzunlukları farklı ve cm cinsinden birer doğal sayıdır. Buna göre Mehtap’ın oluşturduğu bu modelde küçük çemberin uzunluğunun en çok kaç santimetre olabileceğini bulunuz. (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Haydi bu soruyu parça parça düşünelim.
- Görselde gördüğümüz gibi, bu üç çemberin çapları uç uca eklendiğinde toplamda 30 cm’lik bir uzunluk oluşturuyor.
- Bir çemberin çapının, yarıçapının iki katı olduğunu unutmayalım. Yani Çap = 2 x Yarıçap.
- O zaman üç çemberin çaplarının toplamı 30 cm ise, yarıçaplarının toplamının 2 katı da 30 cm eder.
- (1. Yarıçap x 2) + (2. Yarıçap x 2) + (3. Yarıçap x 2) = 30 cm
- Bu işlemi daha basit yazarsak: 2 x (1. Yarıçap + 2. Yarıçap + 3. Yarıçap) = 30 cm
- Demek ki üç çemberin yarıçaplarının toplamı 30 / 2 = 15 cm olmalı.
Şimdi sorunun en önemli kısmına geldik. Bizden küçük çemberin uzunluğunun en çok olmasını istiyor. Çemberin uzunluğunun (yani çevresinin) en çok olması için yarıçapının da alabileceği en büyük değeri bulmalıyız.
Elimizdeki bilgiler şunlar:
- Üç tane yarıçap var.
- Hepsi birbirinden farklı doğal sayılar.
- Toplamları 15.
Küçük olanın en büyük değeri alabilmesi için sayıların birbirine çok yakın olması gerekir. Sanki üçü de eşit olsaydı 15’i 3’e bölerdik ve her biri 5 olurdu. Ama sayılarımız farklı olmalı! O zaman 5’in etrafındaki sayıları deneyelim. Mesela 4, 5, 6 sayılarını seçebiliriz.
Kontrol edelim: Bu sayılar birbirinden farklı mı? Evet. Toplamları 15 ediyor mu? 4 + 5 + 6 = 15. Evet! Bu durumda en küçük yarıçap 4 cm olabilir.
Peki, en küçük yarıçap daha büyük olabilir miydi? Mesela 5 olabilir miydi? Deneyelim. Eğer en küçük yarıçap 5 olsaydı, diğerleri ondan büyük ve farklı olacağı için en az 6 ve 7 olmalıydı. Toplamları 5 + 6 + 7 = 18 olurdu. Bu da 15’i geçtiği için imkansız.
Harika! En küçük çemberin yarıçapının alabileceği en büyük değeri 4 cm olarak bulduk.
Artık son adıma geçebiliriz: Bu çemberin uzunluğunu (çevresini) bulalım.
Adım 1: Formülümüzü yazalım: Çevre = 2 x π x r
Adım 2: Bildiklerimizi yerine koyalım.
Çevre = 2 x 3 x 4
Çevre = 24 cm
Sonuç:
Küçük çemberin uzunluğu en çok 24 cm olabilir.
Problem 4
Aşağıda boş bir sayı doğrusu üzerindeki D ve C noktalarından geçen E merkezli çember çizilmiştir. Bu sayı doğrusu üzerinde bulunan D, E ve C noktaları birer doğal sayıya karşılık gelmektedir. Sayı doğrusunda E noktasının 4’e uzaklığı 2 birimdir. Bu çemberin uzunluğu 12 birim olduğuna göre D ve C noktalarına karşılık gelen doğal sayıların toplamı en fazla kaç birim olur? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruyu da adım adım çözerek çok kolay bir hale getireceğiz.
Adım 1: Çemberin yarıçapını bulalım.
Soruda bize çemberin uzunluğunun (çevresinin) 12 birim olduğu verilmiş. Hemen formülümüzü kullanalım.
- Çevre = 2 x π x r
- 12 = 2 x 3 x r
- 12 = 6 x r
- Buradan yarıçapı (r) bulmak için 12’yi 6’ya böleriz.
- r = 2 birim.
Bu demek oluyor ki, merkez olan E noktasının çember üzerindeki D ve C noktalarına uzaklığı 2’şer birimdir.
Adım 2: E noktasının sayı doğrusundaki yerini bulalım.
Soruda bize bir ipucu verilmiş: “E noktasının 4’e uzaklığı 2 birimdir.” Sayı doğrusunu gözümüzde canlandıralım. Bir noktanın 4’e uzaklığı 2 birimse, bu nokta ya 4’ün 2 birim sağındadır ya da 2 birim solundadır.
- 1. İhtimal: E noktası 4’ün sağındadır. E = 4 + 2 = 6
- 2. İhtimal: E noktası 4’ün solundadır. E = 4 – 2 = 2
Demek ki E noktası ya 6 ya da 2 olabilir. Soru bizden D ve C’nin toplamının en fazla olmasını istediği için bu iki ihtimali de denememiz gerekiyor.
Adım 3: İki ihtimali de deneyerek D ve C’yi bulalım.
Durum 1: Eğer E noktası 6 ise
- Merkezimiz 6 ve yarıçapımız 2.
- D noktasını bulmak için merkezden 2 birim sola gideriz: D = 6 – 2 = 4
- C noktasını bulmak için merkezden 2 birim sağa gideriz: C = 6 + 2 = 8
- Bu durumda D ve C’nin toplamı: 4 + 8 = 12
Durum 2: Eğer E noktası 2 ise
- Merkezimiz 2 ve yarıçapımız 2.
- D noktasını bulmak için merkezden 2 birim sola gideriz: D = 2 – 2 = 0
- C noktasını bulmak için merkezden 2 birim sağa gideriz: C = 2 + 2 = 4
- Bu durumda D ve C’nin toplamı: 0 + 4 = 4
Adım 4: Sonucu belirleyelim.
Soru bizden D ve C noktalarına karşılık gelen doğal sayıların toplamının en fazla kaç olacağını soruyordu. İki durumda bulduğumuz toplamlar 12 ve 4. Bu iki değerden büyük olanı seçmeliyiz.
Sonuç:
D ve C’nin toplamı en fazla 12 olur.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!