Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte “Paralelkenar ve Üçgenin Alanı” konusuna bir giriş yapacağız. Ama öncesinde, en iyi bildiğimiz şekillerden biri olan dikdörtgenin özelliklerini ve alanını bir hatırlayalım. Önümüzdeki etkinlikteki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
Etkinlik 1
Yandaki birimkareli zeminde ABCD dikdörtgeni verilmiştir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) ABCD dikdörtgeninin iç açılarını açıölçer yardımıyla ölçerek belirleyiniz.
Sevgili çocuklar, bir dikdörtgenin en temel özelliklerinden biri köşeleridir. Dikdörtgenin her bir köşesi, bir dik açı oluşturur. Elinize bir açıölçer (iletki) alıp A, B, C ve D köşelerine yerleştirdiğinizde her bir açının tam olarak 90 derece olduğunu göreceksiniz.
- A açısı = 90°
- B açısı = 90°
- C açısı = 90°
- D açısı = 90°
Unutmayın, bir şeklin köşeleri “L” harfi gibi tam dik ise, o açı 90 derecedir!
b) Dikdörtgenin kenar uzunluklarını birim cinsinden bularak bu dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
Şimdi de kenar uzunluklarını bulalım. Bunu yapmak için birim kareleri saymamız yeterli olacaktır.
Adım 1: Önce uzun kenarları sayalım. AB kenarı boyunca kareleri saydığımızda 8 tane kare olduğunu görürüz. Yani, AB kenarının uzunluğu 8 birimdir. Aynı şekilde, onun tam karşısındaki DC kenarını saydığımızda onun da 8 birim olduğunu fark ederiz.
Adım 2: Şimdi de kısa kenarlara bakalım. AD kenarı boyunca kareleri saydığımızda 4 kare görürüz. Bu durumda, AD kenarının uzunluğu 4 birimdir. Tam karşısındaki BC kenarını saydığımızda ise onun da 4 birim olduğunu buluruz.
Sonuç: Bu ölçümlerden harika bir sonuç çıkarıyoruz! Dikdörtgende karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir.
- |AB| = |DC| = 8 birim
- |AD| = |BC| = 4 birim
c) ABCD dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Bir şeklin alanı, o şeklin içini kaplayan birim karelerin sayısıdır. Alanı bulmanın iki yolu var:
1. Yol (Kareleri Sayma): Dikdörtgenin içindeki tüm minik kareleri tek tek sayabiliriz. Saydığımızda içinde tam 32 tane birim kare olduğunu görürüz.
2. Yol (Formül Kullanma): Daha kolay bir yol ise alan formülünü kullanmaktır. Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir.
Alan = (Kısa Kenar) x (Uzun Kenar)
Bizim dikdörtgenimizde kısa kenar 4 birim, uzun kenar 8 birimdi.
Alan = 4 x 8 = 32 birimkare
Gördüğünüz gibi, iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!
ç) ABCD dikdörtgeni yanda verilen kesikli çizgilerden kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Bu parçaların alanlarının toplamı ile ABCD dikdörtgeninin alanını karşılaştırınız. Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu soruda dikdörtgenimiz tam ortadan dikey bir çizgiyle ikiye ayrılmış. Haydi bu iki yeni parçanın alanlarını bulalım.
Adım 1: Soldaki parçaya bakalım. Bu yeni şekil de bir dikdörtgen. Yüksekliği hala 4 birim, ama genişliği 4 birim olmuş. Bu parçanın alanı: 4 x 4 = 16 birimkare.
Adım 2: Sağdaki parça da soldakinin aynısı. Onun da yüksekliği 4 birim, genişliği 4 birim. Bu parçanın alanı da: 4 x 4 = 16 birimkare.
Adım 3: Şimdi bu iki parçanın alanlarını toplayalım: 16 + 16 = 32 birimkare.
Karşılaştırma: Başlangıçtaki büyük ABCD dikdörtgeninin alanı da 32 birimkareydi. İki parçanın alanları toplamı da 32 birimkare.
Sonuç: Bir şekli parçalara ayırdığımızda, parçaların alanlarının toplamı, başlangıçtaki şeklin alanına her zaman eşittir. Alan kaybolmaz!
d) Dikdörtgenin alanının ardışık kenar uzunluklarının çarpımı ile bulunduğunu dikkate alarak paralelkenarın alanının nasıl hesaplanabileceğini tahmin ediniz. Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu çok güzel bir düşünme sorusu! Paralelkenar, aslında “yana yatmış” bir dikdörtgen gibidir.
Şöyle hayal edelim: Bir paralelkenarın bir kenarından dik bir üçgen kesip, onu diğer tarafa yapıştırdığımızda ne olur? Bir dikdörtgen elde ederiz!
Bu yeni oluşturduğumuz dikdörtgenin tabanı, paralelkenarın tabanı ile aynı uzunluktadır. Dikdörtgenin yüksekliği ise, paralelkenarın yüksekliğine (yan kenarına değil, tabana inen dikmeye) eşittir.
Madem paralelkenarı bir dikdörtgene dönüştürebiliyoruz ve alanı değişmiyor, o zaman alanı da dikdörtgen gibi hesaplanabilir!
Tahminimiz: Paralelkenarın alanı, bir kenar uzunluğu (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıyla bulunur. Yani:
Paralelkenar Alanı = Taban x Yükseklik
e) Dikdörtgenin alan bağıntısından yararlanarak bir üçgenin alanı nasıl hesaplanabilir? Fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu da bir önceki soru kadar zekice! Elimizdeki ABCD dikdörtgenini düşünelim. Tam A köşesinden C köşesine bir çizgi (köşegen) çizersek ne olur?
Dikdörtgenimiz, birbirinin aynısı olan iki tane dik üçgene ayrılır!
Bütün dikdörtgenin alanı 32 birimkareydi. Biz onu tam iki eş parçaya ayırdığımıza göre, her bir üçgenin alanı, dikdörtgenin alanının yarısı kadar olmalıdır.
Yani, bir üçgenin alanı = (Dikdörtgenin Alanı) / 2
Dikdörtgenin alanı (taban x yükseklik) olduğuna göre;
Sonuç: Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Üçgenin Alanı = (Taban x Yükseklik) / 2
Umarım bu etkinlik, alan hesaplamalarını daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Aklınıza takılan bir şey olursa sormaktan çekinmeyin!