Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte çokgenlerdeki örüntüleri keşfedeceğimiz eğlenceli bir etkinlik yapacağız. Önümüzdeki görseldeki tabloyu doldurup altındaki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
a) Tablonun boş kısımlarını doldurunuz. n kenarlı çokgenin iç açılarının toplamını veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Sevgili çocuklar, çokgenlerin iç açıları toplamını bulmak için çok basit bir yöntemimiz var. Bir çokgenin bir köşesinden diğer köşelere köşegenler çizdiğimizde içinde üçgenler oluşur. Bildiğiniz gibi bir üçgenin iç açıları toplamı 180°‘dir. Bu bilgiyi kullanarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
- Adım 1: Üçgen
Üçgenin zaten kendisi bir üçgendir. Kenar sayısı 3’tür ve içinden başka üçgen çıkmaz. İç açıları toplamı doğrudan 180°‘dir. Bunu (3-2) x 180° = 1 x 180° = 180° şeklinde düşünebiliriz.
- Adım 2: Dörtgen
Bir dörtgenin (mesela bir karenin) bir köşesinden karşı köşesine bir köşegen çizdiğimizde içinde 2 tane üçgen oluşur. O zaman iç açıları toplamı 2 x 180° = 360° olur. Kenar sayısı 4’tür. Formülümüz: (4-2) x 180° = 2 x 180° = 360°.
- Adım 3: Beşgen
Bir beşgenin bir köşesinden diğer köşelere köşegenler çizdiğimizde ise içinde 3 tane üçgen oluştuğunu görürüz. O zaman iç açıları toplamı 3 x 180° = 540° olur. Kenar sayısı 5’tir. Formülümüz: (5-2) x 180° = 3 x 180° = 540°.
Fark ettiniz mi? Bir çokgenin içinde oluşan üçgen sayısı, her zaman kenar sayısının 2 eksiği kadardır. Eğer kenar sayısına ‘n’ dersek, içinde oluşan üçgen sayısı (n-2) olur.
Şimdi bu kuralı kullanarak tablomuzu dolduralım:
Tablonun Doldurulmuş Hali:
- Üçgen: Kenar Sayısı: 3, İç Açılar Toplamı: (3-2) x 180° = 180°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- Dörtgen: Kenar Sayısı: 4, İç Açılar Toplamı: (4-2) x 180° = 360°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- Beşgen: Kenar Sayısı: 5, İç Açılar Toplamı: (5-2) x 180° = 540°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- Altıgen: Kenar Sayısı: 6, İç Açılar Toplamı: (6-2) x 180° = 720°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- Yedigen: Kenar Sayısı: 7, İç Açılar Toplamı: (7-2) x 180° = 900°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- Sekizgen: Kenar Sayısı: 8, İç Açılar Toplamı: (8-2) x 180° = 1080°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
- n kenarlı çokgen: Kenar Sayısı: n, İç Açılar Toplamı: (n-2) x 180°, İlişki: (Kenar Sayısı – 2) x 180°
Sonuç:
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamını veren cebirsel ifade: (n-2) x 180
b) Düzgün çokgenlerde tüm iç açıların ölçüsü eşit olduğuna göre n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısını veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Harika bir soru! Öncelikle “düzgün çokgen” ne demekti, hatırlayalım. Bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen diyoruz. Mesela eşkenar üçgen veya kare birer düzgün çokgendir.
Adım 1: Toplamı Biliyoruz
Bir önceki soruda n kenarlı bir çokgenin tüm iç açılarının toplamını(n-2) x 180 formülüyle bulmuştuk.
Adım 2: Bir tanesini Bulalım
Düzgün çokgenin ‘n’ tane kenarı ve dolayısıyla ‘n’ tane birbirine eşit açısı vardır. Eğer bütün açıların toplamını biliyorsak ve hepsi eşitse, bir tanesini bulmak için ne yaparız? Elbette toplamı açı sayısına, yani ‘n’ ye böleriz!
Sonuç:
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısını veren cebirsel ifade: (n-2) x 180 / n veya (n-2) x 180
———–
n
c) Çokgenlerde dış açıların toplamı 360° olduğuna göre n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısını veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Bu soruda bize çok önemli bir ipucu verilmiş. Unutmayın çocuklar, bir çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun (üçgen, dörtgen, yüzgen fark etmez!) dış açılarının toplamı her zaman 360°‘dir. Bu hiç değişmeyen bir kuraldır.
Adım 1: Toplam Sabit
Dış açıların toplamı her zaman 360°‘dir.
Adım 2: Bir tanesini Bulalım
Yine düzgün çokgen ile uğraşıyoruz. Düzgün çokgenin iç açıları eşit olduğu gibi, dış açıları da birbirine eşittir. ‘n’ kenarlı bir düzgün çokgenin ‘n’ tane birbirine eşit dış açısı vardır. O zaman bir tanesini bulmak için toplam olan 360°’yi açı sayısına, yani ‘n’ ye böleriz.
Sonuç:
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısını veren cebirsel ifade: 360 / n veya 360
—-
n
İşte bu kadar! Gördüğünüz gibi kuralları ve aradaki örüntüyü anladığımızda sorular ne kadar da kolaylaşıyor. Harika iş çıkardınız!