Merhaba sevgili öğrencilerim, hadi gelin bu iki güzel soruyu birlikte adım adım çözelim. Unutmayın, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve biz bu mantığı yakaladığımızda her şey çok daha kolaylaşır!
5. Soru: Düzgün sekizgen ile kare biçimindeki kartonlar yukarıdaki gibi birer kenarları çakışacak ve üst üste gelmeyecek biçimde birleştirilmiştir. Buna göre arada kalan bölgede oluşan düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu çözmek için önce arada oluşan gizemli çokgenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunu da şekillerin iç açılarından yola çıkarak yapacağız. Haydi başlayalım!
Adım 1: Düzgün Çokgenlerin İç Açılarını Bulalım
Öncelikle bir düzgün çokgenin bir iç açısını nasıl bulduğumuzu hatırlayalım. Formülümüz şuydu: (n-2) x 180 / n (Burada ‘n’ kenar sayısı demek).
- Karenin bir iç açısı: Kare 4 kenarlı olduğu için n=4’tür. (4-2) x 180 / 4 = 2 x 180 / 4 = 360 / 4 = 90°‘dir. Zaten bunu hepimiz biliyoruz, değil mi? 🙂
- Düzgün sekizgenin bir iç açısı: Sekizgen 8 kenarlı olduğu için n=8’dir. (8-2) x 180 / 8 = 6 x 180 / 8 = 1080 / 8 = 135°‘dir.
Adım 2: Aradaki Çokgenin Bir İç Açısını Bulalım
Şekilde kare ile sekizgenin birleştiği köşeye dikkatlice bakın. Orada bir tam açı, yani 360°‘lik bir dönüş var. Bu köşede bir karenin açısı (90°), bir sekizgenin açısı (135°) ve bizim aradığımız yeni çokgenin bir açısı birleşiyor. Bu üç açının toplamı 360° olmalı.
O zaman, yeni çokgenimizin bir iç açısını bulmak için:
360° – (135° + 90°) = 360° – 225° = 135° buluruz.Adım 3: Aradaki Çokgenin Ne Olduğunu Belirleyelim
Bir iç açısı 135° olan düzgün çokgen hangisiydi? Evet, doğru bildiniz! 1. adımda hesaplamıştık, bu bir düzgün sekizgendir. Demek ki arada oluşan şekil de bir düzgün sekizgenmiş.
Adım 4: Köşegen Sayısını Hesaplayalım
Şimdi sorunun bizden istediği son şeye geldik: Bu sekizgenin toplam köşegen sayısı. Köşegen sayısı formülümüzü hatırlayalım: n x (n-3) / 2 (Burada ‘n’ yine kenar sayısı).
Şeklimiz sekizgen olduğuna göre n=8’dir. Formülde yerine koyalım:
8 x (8-3) / 2 = 8 x 5 / 2 = 40 / 2 = 20
Yani arada oluşan düzgün sekizgenin toplam 20 tane köşegeni varmış.
Sonuç:
Doğru cevap B) 20‘dir.
6. Soru: Aşağıda oyuncak bir arabanın yamuk şeklindeki iki camının uzunluk ölçüleri verilmiştir. Camların yükseklikleri birbirine eşittir. Küçük camın alanı büyük camın alanının %80’ine eşit olduğuna göre büyük camın alt taban kenar uzunluğu kaç santimetredir?
Çözüm:
Bu soruda yamuğun alan formülünü ve yüzdeleri kullanacağız. Sakin ve dikkatli bir şekilde ilerlersek çok kolay olduğunu göreceksiniz.
Adım 1: Yamuğun Alan Formülünü Hatırlayalım
Bir yamuğun alanını bulmak için alt taban ile üst tabanı toplar, yükseklikle çarpar ve sonucu ikiye böleriz.
Formülümüz: Alan = (Alt Taban + Üst Taban) x Yükseklik / 2
Adım 2: Bilgileri Olan Küçük Camın Alanını Hesaplayalım
Küçük camın bütün ölçüleri verilmiş. Haydi alanını bulalım:
- Alt Taban: 9 cm
- Üst Taban: 7 cm
- Yükseklik: 5 cm
Alan = (9 + 7) x 5 / 2 = 16 x 5 / 2 = 80 / 2 = 40 cm²
Adım 3: Büyük Camın Alanını Bulalım
Soru bize çok önemli bir ipucu veriyor: “Küçük camın alanı, büyük camın alanının %80’ine eşittir.”
Yani, Büyük Camın Alanı’nın %80’i, 40 cm² ediyormuş. O zaman Büyük Camın Alanı’nın tamamını (%100’ünü) bulalım.
Bunu şöyle düşünebiliriz: Eğer bir sayının %80’i 40 ise, tamamı kaçtır?
Büyük Alan x (80/100) = 40
Büyük Alan = 40 x 100 / 80
Büyük Alan = 4000 / 80 = 50 cm²Demek ki büyük camın alanı 50 cm² imiş.
Adım 4: Büyük Camın Alt Taban Uzunluğunu Bulalım
Artık büyük camın alanını biliyoruz (50 cm²). Diğer ölçülerini de biliyoruz, sadece alt tabanı bilmiyoruz. Bilinmeyen alt tabana “?” veya “x” diyelim ve alan formülünü tekrar kullanalım.
- Alt Taban: ?
- Üst Taban: 9 cm
- Yükseklik: 5 cm
- Alan: 50 cm²
50 = (? + 9) x 5 / 2
Şimdi bu denklemi adım adım çözelim:
- Önce her iki tarafı 2 ile çarpalım ki bölme işleminden kurtulalım: 50 x 2 = (? + 9) x 5 =>100 = (? + 9) x 5
- Şimdi her iki tarafı 5’e bölelim: 100 / 5 = ? + 9 =>20 = ? + 9
- Son olarak, ‘?’ işaretini yalnız bırakmak için 9’u karşıya eksi olarak atalım: ? = 20 – 9 =>? = 11
Büyük camın alt taban uzunluğunu 11 cm olarak bulduk!
Sonuç:
Doğru cevap A) 11‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!