Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için adım adım, kolayca anlayacağınız bir dilde çözeceğim. Haydi başlayalım!
3. Soru: Eşkenar üçgen şeklindeki tarlanın C köşesine uzunluğu 6 m olan iple bir köpek bağlanmıştır. Tarlanın kenar uzunlukları 30 metreden fazla olduğuna göre köpeğin tarlanın etrafında dolaşabileceği alan en fazla kaç metrekaredir? (π=3 alınız.)
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soruyu çözmek için önce durumu gözümüzde canlandıralım. Bir eşkenar üçgen tarlamız var ve köpeğimiz C köşesine 6 metrelik bir iple bağlı. Köpek tarlanın içine giremiyor, sadece etrafında dolaşabiliyor.
- Adım 1: Köpeğin hareket alanını düşünelim. Köpek, ipin uzunluğu kadar, yani 6 metre yarıçaplı bir dairenin bir kısmında hareket edebilir. Ancak üçgenin kenarları ona engel olacaktır. Bu yüzden köpek, C köşesinin etrafında, tarlanın dışında kalan bir daire diliminde gezinebilir.
- Adım 2: Bu daire diliminin açısını bulmamız gerekiyor. Biliyoruz ki eşkenar üçgenin her bir iç açısı 60°‘dir. Bir tam daire ise 360°‘dir. Köpek tarlanın dışında gezdiği için, C köşesinin dışındaki açıyı bulmalıyız. Bunu da tam açıdan üçgenin iç açısını çıkararak buluruz.
Dış Açı = 360° – 60° = 300°
Yani köpeğimiz, 300 derecelik bir daire diliminde gezebiliyor.
- Adım 3: Şimdi bu daire diliminin alanını hesaplayalım. Daire diliminin alan formülünü hatırlayalım: (π * r² * α) / 360. Burada ‘r’ yarıçap (ipin uzunluğu), ‘α’ ise merkez açıdır.
Verilenleri formülde yerine koyalım:- π = 3
- r = 6 m
- α = 300°
Alan = (3 * 6² * 300) / 360
- Adım 4: İşlemi yapalım.
Önce 6’nın karesini alalım: 6 * 6 = 36
Alan = (3 * 36 * 300) / 360
Alan = (108 * 300) / 360
Burada sadeleştirme yapabiliriz. 300/360 ifadesini 60 ile sadeleştirirsek 5/6 buluruz.
Alan = 108 * (5/6)
Alan = (108 / 6) * 5
Alan = 18 * 5 = 90 m²
Sonuç: Köpeğin tarlanın etrafında dolaşabileceği alan en fazla 90 metrekaredir. Doğru seçenek C şıkkıdır.
4. Soru: Bir arabanın arka camında bir merkez etrafında 180° dönebilen bir silecek bulunmaktadır. Bu silecek, cam üzerinde merkeze uzaklığı en az 10 cm, en fazla 20 cm olan kısımları temizleyebilmektedir. Buna göre sileceklerin temizleyebileceği alan en fazla kaç santimetrekaredir? (π=3 alınız.)
Çözüm:
Arkadaşlar, bu soruda bir araba sileceğinin temizlediği alanı bulacağız. Silecek tam bir daire değil, bir yarım daire (180°) şeklinde hareket ediyor. Ayrıca sileceğin temizlediği alan, merkezden belli bir uzaklıkta başlıyor. Bu şekil, büyük bir yarım daireden küçük bir yarım dairenin çıkarılmasıyla oluşan bir “yarım simit” gibidir.
- Adım 1: Önce sileceğin ulaşabildiği en uzak noktayı düşünerek büyük yarım dairenin alanını bulalım. Bu dairenin yarıçapı (R) soruda verilen en fazla uzaklık olan 20 cm‘dir.
Yarım dairenin alan formülü: (π * R²) / 2
Büyük Alan = (3 * 20²) / 2
Büyük Alan = (3 * 400) / 2
Büyük Alan = 1200 / 2 = 600 cm² - Adım 2: Şimdi de sileceğin temizlemediği, merkeze yakın olan küçük yarım dairenin alanını bulalım. Bu dairenin yarıçapı (r) soruda verilen en az uzaklık olan 10 cm‘dir.
Yarım dairenin alan formülü: (π * r²) / 2
Küçük Alan = (3 * 10²) / 2
Küçük Alan = (3 * 100) / 2
Küçük Alan = 300 / 2 = 150 cm² - Adım 3: Sileceğin temizlediği alanı bulmak için, bulduğumuz büyük yarım dairenin alanından, temizlenmeyen küçük yarım dairenin alanını çıkarmalıyız.
Temizlenen Alan = Büyük Alan – Küçük Alan
Temizlenen Alan = 600 – 150 = 450 cm²
Sonuç: Sileceğin temizleyebileceği alan en fazla 450 santimetrekaredir. Doğru seçenek B şıkkıdır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri sorularında şekli gözünüzde canlandırmak işinizi çok kolaylaştırır! Başarılar dilerim.