Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, 7. sınıf matematik dersimize hoş geldin. Bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutma, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları takip etmektir. Haydi başlayalım!
Soru 1: Şekilde verilen O merkezli daire diliminin alanı 54 cm² olduğuna göre |OA| uzunluğu kaç santimetredir? (π = 3 alınız.)
Merhaba, bu soruda bize bir dairenin sadece bir parçasının, yani bir “daire diliminin” alanını vermişler ve bizden bu dairenin yarıçapını bulmamızı istiyorlar. |OA| uzunluğu zaten dairenin yarıçapıdır, bunu unutmayalım.
Daire diliminin alanını bulmak için kullandığımız bir formül var, hatırlayalım:
Daire Diliminin Alanı = (π * r²) * (Merkez Açı / 360°)
Burada ‘r’ yarıçap demek. Soruda bize verilenleri bu formüldeki doğru yerlere koyalım.
- Adım 1: Bildiklerimizi formüle yerleştirelim.
Alan = 54 cm²
π = 3
Merkez Açı = 80°
54 = (3 * r²) * (80 / 360)
- Adım 2: Şimdi denklemi sadeleştirelim. 80/360 kesrini en sade haline getirebiliriz. İki tarafı da 10’a bölersek 8/36 olur. Sonra her ikisini de 4’e bölersek 2/9 elde ederiz.
54 = (3 * r²) * (2/9)
- Adım 3: İşlemi yapmaya devam edelim.
54 = (6 * r²) / 9
Şimdi içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya denklemi çözmeye devam edebiliriz. 54’ü 9 ile çarpalım.
54 * 9 = 6 * r²
486 = 6 * r²
- Adım 4: Yarıçapın karesini (r²) yalnız bırakmak için her iki tarafı da 6’ya bölelim.
r² = 486 / 6
r² = 81
- Adım 5: Karesi 81 olan sayıyı bulmalıyız. Hangi sayının kendisiyle çarpımı 81 eder? Tabii ki 9!
r = 9
Sonuç: |OA| uzunluğu, yani dairenin yarıçapı 9 cm‘dir.
Soru 2: Şekildeki radar, 2 km yarıçaplı bölgeyi taramaktadır. Bu radarın taradığı bölge kaç kilometrekaredir? (π = 3 alınız.)
Bu soru oldukça keyifli! Radar, merkezi kendisi olan dairesel bir alanı tarıyor. Bize bu dairenin yarıçapını vermiş ve alanını soruyor. Yani aslında bir dairenin alanını hesaplayacağız.
Dairenin alan formülünü hatırlayalım:
Alan = π * r²
- Adım 1: Soruda verilenleri formülde yerine yazalım.
Yarıçap (r) = 2 km
π = 3
Alan = 3 * (2)²
- Adım 2: İşlem önceliğine dikkat ederek önce üslü ifadeyi yapalım.
2² = 2 * 2 = 4
Alan = 3 * 4
- Adım 3: Çarpma işlemini yapalım.
Alan = 12
Sonuç: Radarın taradığı bölge 12 km²‘dir.
Soru 3: Yandaki sahanın eni 14 metre, boyu 32 metredir. Bu sahanın içindeki 4 metre yarıçaplı daireler ile orta bölgedeki 6 metre yarıçaplı daire kahverengiye boyanmıştır. Buna göre boyalı daireler dışındaki bölgenin alanı kaç metrekaredir? (π = 3 alınız.)
Bu soruda bir plan yapmamız gerekiyor. Bizden istenen, boyalı olmayan alan. Bunu bulmak için tüm sahanın alanından boyalı olan dairelerin toplam alanını çıkarmalıyız.
- Adım 1: Önce tüm basketbol sahasının alanını bulalım. Saha bir dikdörtgen olduğu için alanını eni ile boyunu çarparak buluruz.
Sahanın Alanı = 14 m * 32 m = 448 m²
- Adım 2: Şimdi boyalı dairelerin alanlarını tek tek hesaplayalım.
Küçük daireler: Yarıçapları 4 metre ve bunlardan 2 tane var.
Bir tanesinin alanı = π * r² = 3 * 4² = 3 * 16 = 48 m²
İki tanesinin toplam alanı = 2 * 48 = 96 m²
Büyük orta daire: Yarıçapı 6 metre.
Alanı = π * r² = 3 * 6² = 3 * 36 = 108 m²
- Adım 3: Toplam boyalı alanı bulmak için bu dairelerin alanlarını toplayalım.
Toplam Boyalı Alan = 96 m² + 108 m² = 204 m²
- Adım 4: Son olarak, boyalı olmayan alanı bulmak için tüm sahanın alanından toplam boyalı alanı çıkaralım.
Boyalı Olmayan Alan = Sahanın Alanı – Toplam Boyalı Alan
Boyalı Olmayan Alan = 448 m² – 204 m² = 244 m²
Sonuç: Boyalı daireler dışındaki bölgenin alanı 244 m²‘dir.
Soru 4: Çevre uzunluğu 42 cm olan çemberin sınırladığı dairenin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Bu soruda bize çevreyi verip alanı istiyorlar. Alanı bulmak için yarıçapa ihtiyacımız var. O zaman önce çevre formülünü kullanarak yarıçapı bulacağız, sonra da alan formülüyle sonuca ulaşacağız.
- Adım 1: Çevre formülünden yarıçapı (r) bulalım.
Çevre = 2 * π * r
42 = 2 * 3 * r
42 = 6 * r
r’yi bulmak için 42’yi 6’ya böleriz.
r = 7 cm
- Adım 2: Artık yarıçapı bildiğimize göre dairenin alanını hesaplayabiliriz.
Alan = π * r²
Alan = 3 * 7²
Alan = 3 * 49
Alan = 147 cm²
Sonuç: Dairenin alanı 147 cm²‘dir.
Soru 5: Bir dairenin yarıçapı 3 katına çıkarılırsa alanında nasıl bir değişiklik olur?
Bu harika bir düşünme sorusu! Formül üzerinden gidelim.
Dairenin alanı neydi? Alan = π * r². Gördüğün gibi alan, yarıçapın karesiyle doğru orantılı.
- Adım 1: Yarıçapımız ‘r’ olsun. Alanımız: π * r²
- Adım 2: Şimdi yarıçapı 3 katına çıkaralım. Yeni yarıçapımız ‘3r’ olur.
- Adım 3: Yeni alanı hesaplayalım. Formülde ‘r’ gördüğümüz yere ‘3r’ yazacağız. Ama parantez kullanmayı unutmayalım!
Yeni Alan = π * (3r)²
Yeni Alan = π * (3r * 3r)
Yeni Alan = π * (9 * r²)
Yeni Alan = 9 * (π * r²)
Gördün mü? Sonuç, ilk alanın (π * r²) tam 9 katı çıktı! Yani yarıçapı kaç katına çıkarırsak, alan o sayının karesi katına çıkar.
Sonuç: Bir dairenin yarıçapı 3 katına çıkarılırsa alanı 9 katına çıkar.
Soru 6: |AB| = 20 cm ve |AD| = 12 cm olduğuna göre ABCD dikdörtgeni içine çizilebilecek en büyük dairenin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Bu soruda biraz hayal gücümüzü kullanmalıyız. Bir dikdörtgenin içine sığabilecek en büyük daireyi düşünelim. Bu dairenin kenarlara değmesi gerekir, değil mi?
Dairenin çapı, dikdörtgenin uzun kenarı (20 cm) kadar olamaz, çünkü o zaman kısa kenardan (12 cm) dışarı taşar. Bu yüzden dairenin çapı, en fazla dikdörtgenin kısa kenarı kadar olabilir.
- Adım 1: En büyük dairenin yarıçapını bulalım.
En büyük dairenin çapı = Dikdörtgenin kısa kenarı = 12 cm
Yarıçap (r), çapın yarısıdır.
r = 12 / 2 = 6 cm
- Adım 2: Artık bu dairenin alanını kolayca hesaplayabiliriz.
Alan = π * r²
Alan = 3 * 6²
Alan = 3 * 36
Alan = 108 cm²
Sonuç: Dikdörtgenin içine çizilebilecek en büyük dairenin alanı 108 cm²‘dir.
Umarım tüm çözümleri net bir şekilde anlamışsındır. Harika iş çıkardın! Unutma, pratik yapmak seni daha da geliştirecektir. Başarılar dilerim!