Merhaba sevgili öğrencilerim,
Matematik dersimize hoş geldiniz! Bugün sizlerle birlikte “Sıra Sizde” bölümündeki oran ve orantı konusunu pekiştireceğimiz harika soruları çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, matematiği anlamanın en güzel yolu adım adım, sabırla ilerlemektir.
—
Soru 1: a ve b doğru orantılı iki tam sayıdır. a = 8 olduğunda b = 5 olduğuna göre a = 24 olduğunda b kaç olur?
Merhaba arkadaşlar, bu soruda anahtar kelimemiz “doğru orantılı”. Doğru orantı demek, iki çokluktan biri artarken diğerinin de aynı oranda artması ya da biri azalırken diğerinin de aynı oranda azalması demektir. Yani oranları hep sabittir.
Adım 1: İlk olarak, a ve b arasındaki oranı yazalım. a/b şeklinde yazabiliriz. Bize verilen ilk değerlere göre bu oran 8/5’tir.
Adım 2: a’nın 24 olduğu durumda b’nin kaç olacağını bulmak için yeni bir oran kurup ilk orana eşitleyeceğiz. Yani:
8⁄5 = 24⁄b
Adım 3: Şimdi bu orantıyı çözmenin kolay bir yolunu görelim. a değeri 8’den 24’e çıkmış. Kaç kat artmış? 24’ü 8’e bölersek 3 kat arttığını görürüz. Doğru orantı olduğu için b değeri de aynı oranda, yani 3 kat artmalıdır.
Adım 4: Öyleyse b’nin yeni değerini bulmak için eski değerini 3 ile çarparız.
5 x 3 = 15
Sonuç: a = 24 olduğunda b = 15 olur.
—
Soru 2: Yandaki dikdörtgenin kenar uzunlukları 3 ve 4 ile doğru orantılıdır. Dikdörtgenin çevre uzunluğu 70 cm olduğuna göre kısa kenar uzunluğu kaç santimetredir?
Bu soruda hem orantı hem de geometri bilgimizi kullanacağız. Kenarların 3 ve 4 ile orantılı olması demek, kısa kenara 3’ün bir katı (3k), uzun kenara da 4’ün aynı katı (4k) diyebiliriz demektir.
Adım 1: Dikdörtgenin kenarlarını isimlendirelim.
Kısa Kenar = 3k
Uzun Kenar = 4k
Adım 2: Dikdörtgenin çevre formülünü hatırlayalım: Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar). Bize çevrenin 70 cm olduğu verilmiş. Formülde bildiklerimizi yerine yazalım.
70 = 2 x (3k + 4k)
Adım 3: Önce parantez içindeki işlemi yapalım. 3k ile 4k’yı toplarsak 7k eder.
70 = 2 x (7k)
70 = 14k
Adım 4: Şimdi ‘k’ sabitini bulmak için 70’i 14’e bölmemiz gerekiyor.
k = 70 / 14
k = 5
Adım 5: Soruda bizden kısa kenarın uzunluğu isteniyor. Kısa kenara 3k demiştik. k’yı 5 bulduğumuza göre yerine yazalım.
Kısa Kenar = 3 x 5 = 15 cm
Sonuç: Dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu 15 cm‘dir.
—
Soru 3:a⁄b = 2⁄3 ve a + b = 40 ise b rasyonel sayısı kaçtır?
Bu soru da bir önceki soruya benziyor. Oran verildiğinde, sayılara bir kat vererek denklemi çözebiliriz.
Adım 1: a⁄b = 2⁄3 oranı bize şunu söyler: a sayısı 2’nin bir katı (2k) iken, b sayısı da 3’ün aynı katıdır (3k).
a = 2k
b = 3k
Adım 2: Bize verilen a + b = 40 denkleminde a ve b yerine k’lı ifadeleri yazalım.
(2k) + (3k) = 40
Adım 3: Denklemi çözelim.
5k = 40
k = 40 / 5
k = 8
Adım 4: Soru bizden ‘b’ sayısını istiyor. b’ye 3k demiştik. k’yı 8 bulduğumuza göre yerine yazıp b’yi bulalım.
b = 3 x 8 = 24
Sonuç: b sayısı 24‘tür.
—
Soru 4: Sabit hızla giden bir araba 2 saatte 90 km yol alabiliyorsa 3 saatte kaç km yol alır?
Araba sabit hızla gittiği için, geçen süre ile alınan yol arasında bir doğru orantı vardır. Yani süre artarsa, gidilen yol da aynı oranda artar.
Adım 1: Orantımızı kuralım.
2 saatte 90 km yol alırsa
3 saatte x km yol alır
Adım 2: Bu bir doğru orantı olduğu için içler-dışlar çarpımı yapabiliriz.
2 * x = 3 * 90
2x = 270
Adım 3: x’i bulmak için 270’i 2’ye bölelim.
x = 270 / 2
x = 135 km
Sonuç: Araba 3 saatte 135 km yol alır.
—
Soru 5: Ölçeği 1 : 1 500 000 olan bir haritada iki şehir arası 9 cm olarak gösterilmiştir. Buna göre bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Harita ölçekleri de bir orantı konusudur. Ölçek, haritadaki uzunluğun gerçek uzunluğa oranıdır. 1 : 1 500 000 ölçeği, haritadaki 1 cm’nin gerçekte 1 500 000 cm olduğunu söyler.
Adım 1: Orantımızı kuralım.
Haritada 1 cm Gerçekte 1 500 000 cm ise
Haritada 9 cm Gerçekte x cm olur
Adım 2: Doğru orantı olduğu için, haritadaki uzunluk 9 katına çıktığında gerçek uzunluk da 9 katına çıkar. x’i bulmak için ölçeğin paydasını 9 ile çarpalım.
x = 9 x 1 500 000
x = 13 500 000 cm
Adım 3: Soruda sonuç bizden kilometre (km) olarak isteniyor. Bulduğumuz santimetreyi (cm) kilometreye çevirmeliyiz. Unutmayalım:
1 metre = 100 cm
1 kilometre = 1000 metre = 100 000 cm
Yani cm’den km’ye çevirirken 5 sıfır sileriz (veya sayıyı 100 000’e böleriz).
13 500 000 cm = 135 km
Sonuç: İki şehir arasındaki gerçek uzaklık 135 km‘dir.
—
Soru 6: Eşit kapasitede çalışan işçilerden sekizi bir işi 9 günde bitirmektedir. Bu işçilere 4 kişi daha katılırsa aynı işi kaç günde bitirirler?
İşçi ve iş bitirme süresi soruları genellikle ters orantı sorularıdır. Neden? Çünkü işçi sayısı artarsa, işin bitme süresi azalır. Biri artarken diğeri azalıyor.
Adım 1: İlk olarak yeni işçi sayısını bulalım.
8 işçi + 4 işçi = 12 işçi
Adım 2: Ters orantımızı kuralım.
8 işçi 9 günde bitirirse
12 işçi x günde bitirir
Adım 3: Ters orantıda, karşılıklı değerleri çarparız (içler-dışlar değil!).
8 * 9 = 12 * x
72 = 12x
Adım 4: x’i bulmak için 72’yi 12’ye bölelim.
x = 72 / 12
x = 6 gün
Sonuç: İşçiler bu işi 6 günde bitirirler.
—
Soru 7: Birbirine bağlı olarak dönen saat dişlilerinden küçük olan dişli 25 tam tur attığında büyük dişli 9 tam tur atmaktadır. Büyük dişlide 50 diş varsa küçük dişlinin diş sayısı kaçtır?
Dişli çark soruları da klasik bir ters orantı örneğidir. Diş sayısı fazla olan çark daha yavaş döner (az tur atar), diş sayısı az olan ise daha hızlı döner (çok tur atar).
Adım 1: Ters orantıda çarpımların sabit olduğunu biliyoruz. Yani bir dişli için (Diş Sayısı) x (Tur Sayısı) değeri, ona bağlı diğer dişlinin (Diş Sayısı) x (Tur Sayısı) değerine eşittir.
Adım 2: Verilenleri yerleştirelim. Küçük dişlinin diş sayısına ‘x’ diyelim.
(Küçük Dişli Diş Sayısı) x (Küçük Dişli Tur Sayısı) = (Büyük Dişli Diş Sayısı) x (Büyük Dişli Tur Sayısı)
x * 25 = 50 * 9
Adım 3: Denklemi çözelim.
25x = 450
x = 450 / 25
x = 18
Sonuç: Küçük dişlinin diş sayısı 18‘dir.
—
Soru 8: Elif, okulunun bahçesinde bulunan 12 m uzunluğundaki bayrak direğinin gölgesini 3 m olarak ölçmüştür. Buna göre 180 cm boyundaki Elif’in aynı andaki gölgesi kaç santimetredir?
Aynı anda, aynı yerde bulunan nesnelerin boyları ile gölgelerinin boyları arasında doğru orantı vardır. Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için bu oran sabittir.
Adım 1: Orantı kurarken birimlerin aynı olmasına dikkat etmeliyiz. Bayrak direği metre (m), Elif’in boyu santimetre (cm) olarak verilmiş. Hepsini cm’ye çevirelim.
Bayrak direğinin boyu: 12 m = 12 x 100 = 1200 cm
Bayrak direğinin gölgesi: 3 m = 3 x 100 = 300 cm
Elif’in boyu: 180 cm
Adım 2: Şimdi doğru orantımızı kuralım.
1200 cm boyundaki direğin gölgesi 300 cm ise
180 cm boyundaki Elif’in gölgesi x cm olur
Adım 3: Burada bir ilişki görebiliriz. Gölgenin boyu (300 cm), cismin boyunun (1200 cm) dörtte biridir (1200 / 4 = 300). Orantı sabit kalacağı için Elif’in gölgesi de boyunun dörtte biri olmalıdır.
x = 180 / 4
x = 45 cm
Sonuç: Elif’in gölgesi 45 cm‘dir.
—
Soru 9: (3x – 3) ile (y + 4) rasyonel sayıları ters orantılıdır. x = 5 olduğunda y = 5 oluyorsa y = 2 olduğunda x kaç olur?
Bu soruda bize iki ifadenin ters orantılı olduğu söylenmiş. Bu demektir ki, bu iki ifadenin çarpımı her zaman sabit bir sayıya (k orantı sabitine) eşittir.
Adım 1: Ters orantı denklemini yazalım.
(3x – 3) * (y + 4) = k (sabit)
Adım 2: İlk verilen değerleri (x=5, y=5) kullanarak ‘k’ sabitini bulalım.
(3 * 5 – 3) * (5 + 4) = k
(15 – 3) * (9) = k
12 * 9 = k
k = 108
Adım 3: Artık orantı sabitimiz 108. Bu değer hiç değişmeyecek. Şimdi ikinci durumdaki değerleri (y=2) kullanarak x’i bulalım.
(3x – 3) * (2 + 4) = 108
(3x – 3) * 6 = 108
Adım 4: Denklemi x için çözelim. Önce her iki tarafı 6’ya bölebiliriz.
3x – 3 = 108 / 6
3x – 3 = 18
Adım 5: -3’ü karşıya +3 olarak atalım.
3x = 18 + 3
3x = 21
x = 21 / 3
x = 7
Sonuç: y = 2 olduğunda x = 7 olur.
—
Soru 10: Aşağıdaki tabloda boş bir havuzu dolduran musluk sayısı ile havuzun dolma zamanı arasındaki ilişki verildiğine göre tablodaki harflerle ifade edilen yerlere gelmesi gereken sayıları bulunuz.
Bir havuzu dolduran musluk sayısı ile dolma zamanı arasında nasıl bir ilişki vardır? Düşünelim… Musluk sayısı artarsa, havuz daha kısa sürede dolar. Yani biri artarken diğeri azalıyor. Bu bir ters orantıdır.
Adım 1: Ters orantıda, birbiriyle ilişkili değerlerin çarpımı sabittir. Tablodaki ilk sütundan bu sabit değeri (k) bulalım.
k = (Musluk Sayısı) x (Zaman)
k = 1 x 40 = 40.
Bu demek oluyor ki, tablodaki her sütunda musluk sayısı ile zamanın çarpımı 40 olmalı.Adım 2: Şimdi sırayla harfleri bulalım.
- a’yı bulalım:
a x 20 = 40
a = 40 / 20
a = 2- c’yi bulalım:
5 x c = 40
c = 40 / 5
c = 8- ç’yi bulalım:
8 x ç = 40
ç = 40 / 8
ç = 5- b’yi bulalım:
b x 4 = 40
b = 40 / 4
b = 10
Sonuç: Tablodaki harflerin değerleri şunlardır:
a = 2
b = 10
c = 8
ç = 5
Umarım tüm çözümleri ve açıklamaları anlaşılır bulmuşsunuzdur. Unutmayın, ne kadar çok pratik yaparsanız bu konular o kadar kolaylaşacaktır. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, hoşça kalın!