Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte Matematik 7 kitabımızın 116. sayfasındaki iki güzel örüntü sorusunu çözeceğiz. Bu tür sorular, mantık yürütme ve kural bulma becerimizi geliştirir. Hazırsanız, haydi başlayalım!
Soru 5: Yukarıdaki halkalarla bir örüntü oluşturuluyor. Buna göre 15. adımda elde edilen örüntünün uzunluğu kaç santimetre olur?
- A) 116
- B) 124
- C) 132
- D) 140
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bir sayı örüntüsü gizli. Gelin bu örüntünün kuralını birlikte bulalım!
Adım 1: Örüntünün artış miktarını bulalım.
Öncelikle adımlar arasındaki uzunluk farkına bakalım. Her yeni halka eklendiğinde toplam uzunluğun ne kadar arttığını inceleyeceğiz.
1. Adım: 12 cm
2. Adım: 20 cm
3. Adım: 28 cm
Şimdi artışlara bakalım:
2. Adım – 1. Adım: 20 cm – 12 cm = 8 cm
3. Adım – 2. Adım: 28 cm – 20 cm = 8 cm
Gördüğünüz gibi, her adımda örüntünün toplam uzunluğu 8 cm artıyor. Bu, bizim örüntümüzün sihirli sayısı!
Adım 2: Örüntünün kuralını (genel terimini) yazalım.
Artış miktarımız 8 olduğu için kuralımız 8n şeklinde başlayacak. (Buradaki ‘n’ adım sayısını temsil ediyor).
Şimdi bu kuralı ilk adım için deneyelim. n yerine 1 yazalım:
8 x 1 = 8
Ama ilk adımın uzunluğu 12 cm’ydi. 8’i 12 yapmak için ne eklememiz gerekir? Tabii ki 4! O zaman kuralımız şöyle olmalı:
Örüntünün Kuralı: 8n + 4
Hadi sağlamasını yapalım, bakalım kuralımız doğru mu:
- 2. adım için (n=2): 8 x 2 + 4 = 16 + 4 = 20 cm. Doğru!
- 3. adım için (n=3): 8 x 3 + 4 = 24 + 4 = 28 cm. Doğru!
Adım 3: 15. adımdaki uzunluğu bulalım.
Artık kuralı bildiğimize göre, 15. adımı bulmak çok kolay. Kuraldaki ‘n’ yerine 15 yazmamız yeterli.
8n + 4 => 8 x 15 + 4
Önce çarpmayı yapalım: 8 x 15 = 120
Şimdi de 4 ekleyelim: 120 + 4 = 124
Sonuç olarak, 15. adımda elde edilen örüntünün uzunluğu 124 cm‘dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Soru 6: Kısa kenar uzunluğu (x-1) cm, uzun kenar uzunluğu (2x+3) cm olan 20 tane dikdörtgen şeklindeki eş karton, aralarında boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde uç uca getirilerek aşağıdaki gibi yerleştiriliyor. Oluşan şeklin uzunluğu santimetre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- A) 30x-20
- B) 30x+20
- C) 60x-40
- D) 60x+40
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soruda cebirsel ifadelerle bir örüntü oluşturulmuş. İlk bakışta karışık görünebilir ama aslında çok basit bir mantığı var. Hadi çözelim!
Adım 1: Örüntünün tekrar eden en küçük parçasını bulalım.
Şekle dikkatli baktığımızda, bir dikey duran dikdörtgen ve bir yatay duran dikdörtgenin sürekli tekrar ettiğini görüyoruz. Bu ikili grup, bizim örüntümüzün temelini oluşturuyor.
Bu ikili grubun toplam uzunluğunu bulalım:
Dikey dikdörtgenin uzunluğa katkısı (kısa kenarı): (x-1) cm
Yatay dikdörtgenin uzunluğa katkısı (uzun kenarı): (2x+3) cm
Bu ikisinin toplam uzunluğu, bir “tekrar” eden parçanın uzunluğunu verir.
Adım 2: Bir ikili grubun toplam uzunluğunu hesaplayalım.
Şimdi bu iki cebirsel ifadeyi toplayacağız. Unutmayın, benzer terimleri (yani x’li olanları kendi arasında, sayıları kendi arasında) toplarız.
(x – 1) + (2x + 3) = ?
x’leri toplayalım: x + 2x = 3x
Sayıları toplayalım: -1 + 3 = 2
Yani, bir dikey ve bir yatay dikdörtgenden oluşan bir grubun toplam uzunluğu: 3x + 2 cm’dir.
Adım 3: Toplam 20 dikdörtgen için toplam uzunluğu bulalım.
Soruda bize toplam 20 tane dikdörtgen kullanıldığı söyleniyor. Bizim temel parçamız ise 2 dikdörtgenden oluşuyordu. Öyleyse toplamda kaç tane ikili grubumuz var?
20 (toplam dikdörtgen) / 2 (bir gruptaki dikdörtgen) = 10 tane ikili grup
Bir grubun uzunluğu (3x + 2) olduğuna göre, 10 grubun toplam uzunluğunu bulmak için bu ifadeyi 10 ile çarpmalıyız. Burada dağılma özelliğini kullanacağız.
10 ∙ (3x + 2) = (10 ∙ 3x) + (10 ∙ 2)
10 ∙ 3x = 30x
10 ∙ 2 = 20
Sonuç olarak, oluşan şeklin toplam uzunluğu 30x + 20 cm’dir.
Bu sonuç, şıklarda B seçeneğinde verilmiştir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, örüntü sorularının anahtarı, tekrar eden düzeni bulmaktır. Başarılar dilerim!