Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersinde açıları ve geometrik şekilleri öğrenmeye devam ediyoruz. Bu testte öğrendiklerimizi pekiştireceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1
Yukarıdaki şekilde [OB, AOC’nın açıortayı ve m(EOA) = 140° olduğuna göre m(BOD) kaç derecedir?
A) 140
B) 70
C) 35
D) 25
Bu soruda bize verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim. [OB’nin AOC açısının açıortayı olduğunu biliyoruz. Bu şu demek oluyor: AOB açısı ile BOC açısı birbirine eşittir.
Ayrıca m(EOA) = 140° olarak verilmiş. E, O, B noktaları bir doğru oluşturuyor gibi görünüyor (açıölçerin üzerindeki işaretlerden bunu anlıyoruz). Eğer öyleyse, EOA ve AOB açıları bütünler açılardır ve toplamları 180° olmalıdır. Ama şekle baktığımızda E, O, A ve B noktaları bir doğru oluşturmuyor. Bunun yerine, E ile C noktaları aynı doğru üzerinde, D ile C noktaları aynı doğru üzerinde gibi görünüyor. Şekli daha dikkatli inceleyelim.
Şekilde O noktasından çıkan ışınlar var: OA, OB, OC, OD, OE. Bizim için önemli olan [OB’nin [AOC’nın açıortayı olması. Yani, m(AOB) = m(BOC).
m(EOA) = 140° verilmiş. Şekilde E, O ve C noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu düşünebiliriz. Eğer E, O, C bir doğru ise, m(EOA) + m(AOC) = 180° olurdu. Ama bu da şekle uymuyor.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım: “[OB, AOC’nın açıortayı”. Bu bizim için en önemli ipucu. Demek ki m(AOB) = m(BOC).
m(EOA) = 140° verilmiş. Şekilde OE ışınının OA ışını ile yaptığı açı 140 derece. Peki BOD açısını nasıl bulacağız?
Şekilde E, O, D noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu düşünebiliriz. Eğer E, O, D bir doğru olsaydı, m(EOA) + m(AOD) = 180° olurdu. Bu da soruyu çözmemize yardımcı olmaz.
Soruda verilenleri bir daha gözden geçirelim. Belki de soruda bir eksiklik var veya şekil biraz yanıltıcı. Ama elimizdeki bilgilerle ilerlemeye çalışalım.
Eğer E, O, C noktaları bir doğru olsaydı, m(EOA) + m(AOC) = 180° olurdu. 140° + m(AOC) = 180° ise m(AOC) = 40° olurdu. Eğer m(AOC) = 40° ise ve [OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 40° / 2 = 20° olurdu. Bu durumda m(BOD) hakkında bir fikrimiz olmazdı.
Şimdi başka bir ihtimali düşünelim: E, O, D noktaları bir doğru olabilir mi? Eğer EOD bir doğru olsaydı, m(EOA) + m(AOD) = 180° olurdu. 140° + m(AOD) = 180° ise m(AOD) = 40° olurdu. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD) olurdu. Bu da işimize yaramaz.
Şimdi sorunun en başına dönelim: “[OB, AOC’nın açıortayı”. Bu bizim için çok önemli. m(AOB) = m(BOC).
m(EOA) = 140°. Şekilde E, O, D noktalarının doğrusal olduğunu düşünelim. Eğer EOD bir doğruysa, o zaman EOA ve AOD bütünlerdir. Yani m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 180° – 140° = 40°
Şimdi AOD açısını bulduk. AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. Yani m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Bize [OB’nin [AOC’nın açıortayı olduğu verilmişti. Yani m(AOB) = m(BOC).
Şimdi şekle baktığımızda O noktasından çıkan ışınların saat yönünde veya tersinde bir sıralama olduğunu görüyoruz. OE, OA, OB, OC, OD gibi.
Eğer EOD bir doğru ise, o zaman A noktasının nerede olduğuna bakmalıyız.
Şimdi soruyu yeniden dikkatli okuyalım. “Yukarıdaki şekilde [OB, AOC’nın açıortayı ve m(EOA) = 140° olduğuna göre m(BOD) kaç derecedir?”
Burada bir hata yapmış olabilirim. Şekilde E, O, C’nin doğrusal olduğunu varsayalım. O zaman m(EOA) + m(AOC) = 180° olurdu.
140° + m(AOC) = 180°
m(AOC) = 40°
Eğer m(AOC) = 40° ise ve [OB, AOC’nın açıortayı ise, o zaman m(AOB) = m(BOC) = 40°/2 = 20° olur.
Şimdi BOD açısını bulmamız gerekiyor. Şekle baktığımızda E, O, D’nin doğrusal olduğunu düşünmek mantıklı. Eğer EOD bir doğruysa, o zaman EOA ve AOD bütünlerdir.
m(EOA) + m(AOD) = 180°
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 40°
AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Bu durumda m(AOB) = 20° ve m(AOD) = 40° ise,
40° = 20° + m(BOD)
m(BOD) = 40° – 20° = 20° olur.
Bu seçeneklerde yok. Demek ki E, O, C doğrusal değilmiş.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. “[OB, AOC’nın açıortayı”. Bu demek ki m(AOB) = m(BOC).
m(EOA) = 140°. Şekle baktığımızda, E, O, D’nin doğrusal olduğunu varsayalım. Bu durumda EOA ve AOD bütünlerdir.
m(EOA) + m(AOD) = 180°
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 40°
Şimdi AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Eğer m(BOD) = 35° ve m(AOB) = 35° olsaydı, m(AOD) = 70° olurdu. Bu da 40°’ye uymaz.
Şimdi soruda bir hata olduğunu düşünmeye başladım. Ama seçeneklere bakalım. 70, 35, 25. Bu sayılar genellikle açıortay veya bütünler açılardan elde edilir.
Bir daha deneme: Eğer E, O, C noktaları doğru üzerindeyse, m(EOA) + m(AOC) = 180°.
140° + m(AOC) = 180° ise m(AOC) = 40°.
Eğer m(AOC) = 40° ise ve OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 20° olur.
Şekilde D noktası, C’den sonra geliyor. Yani A, O, B, C, D şeklinde bir sıralama var.
Eğer m(AOB) = 20° ve m(BOC) = 20° ise, m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) = 20° + 20° = 40° olur.
m(EOA) = 140°. Bu bilgiye göre E noktasının konumu belirleniyor.
Eğer E, O, D doğrusal ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Bizim bulduğumuz m(AOB) = 20° idi.
O zaman 40° = 20° + m(BOD)
m(BOD) = 20° olur.
Bu da seçeneklerde yok. Demek ki E, O, D doğrusal değil.
Şimdi soruyu tekrar inceleyelim. “Yukarıdaki şekilde [OB, AOC’nın açıortayı ve m(EOA) = 140° olduğuna göre m(BOD) kaç derecedir?”
Bir de şunu deneyelim: Eğer E, O, B noktaları doğru olsaydı, m(EOA) + m(AOB) = 180°.
140° + m(AOB) = 180° ise m(AOB) = 40° olurdu.
Eğer m(AOB) = 40° ise ve [OB, AOC’nın açıortayı ise, m(BOC) = m(AOB) = 40° olurdu.
O zaman m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) = 40° + 40° = 80° olurdu.
Şimdi m(EOA) = 140°. Bu durumda E noktasının konumu önemli.
Eğer E, O, C doğrusal ise, m(EOA) + m(AOC) = 180°.
140° + m(AOC) = 180° ise m(AOC) = 40°.
Eğer m(AOC) = 40° ise ve OB açıortay ise, m(AOB) = m(BOC) = 20° olur.
Şimdi BOD açısını bulmamız lazım. Şekle göre OE, OA, OB, OC, OD sıralaması var.
m(EOA) = 140°.
m(AOB) = 20°.
m(BOC) = 20°.
m(AOC) = 40°.
Şimdi m(EOD) açısı kaç derece? E, O, D noktaları arasındaki açı.
Eğer E, O, C doğrusal olsaydı, EOA ve AOC açıları birlikte EOC açısını oluştururdu. Ama EOC doğru değil.
Eğer E, O, D doğrusal olsaydı, EOA ve AOD bütünler olurdu.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. “Yukarıdaki şekilde [OB, AOC’nın açıortayı ve m(EOA) = 140° olduğuna göre m(BOD) kaç derecedir?”
Şekilde O noktasından çıkan ışınların saat yönünde sıralandığını varsayalım: OE, OA, OB, OC, OD.
Eğer E, O, D doğrusal ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 40°.
AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Bizim için en önemli bilgi: [OB, AOC’nın açıortayı. Yani m(AOB) = m(BOC).
Şimdi seçeneklere bakalım: 140, 70, 35, 25.
Eğer m(BOD) = 35° olsaydı, ve m(AOB) = m(BOC) olsaydı, bu bilgiyi kullanarak m(AOD) = 40°’ye ulaşabilir miyiz?
Bir de şunu deneyelim: E, O, C noktaları doğrusal olsun. O zaman m(EOA) + m(AOC) = 180°.
140° + m(AOC) = 180° => m(AOC) = 40°.
OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 40°/2 = 20°.
Şimdi m(BOD) soruluyor. Şekle baktığımızda, A, O, B, C, D sıralaması var.
m(AOB) = 20°
m(BOC) = 20°
m(AOC) = 40°
m(EOA) = 140°. Bu bilgi ile E noktasının konumu belirlenmiş.
Eğer E, O, D doğrusal olsaydı, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180° => m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = 20° + m(BOD)
m(BOD) = 20°.
Bu da seçeneklerde yok. Demek ki E, O, C doğrusal değil ve E, O, D de doğrusal değil.
Soruyu tekrar dikkatlice okuyalım ve şekli inceleyelim.
“[OB, AOC’nın açıortayı” => m(AOB) = m(BOC).
m(EOA) = 140°.
Şimdi şekle baktığımızda, E, O, D’nin sanki bir doğru oluşturduğu izlenimi var. Eğer öyleyse, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180° => m(AOD) = 40°.
AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Eğer m(BOD) = 35° olsaydı, ve m(AOB) = m(BOC) olsaydı, bu bilgiyle bir yere varamıyoruz.
Şimdi şöyle düşünelim: Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, bu ne anlama gelir?
Bir de şu ihtimali düşünelim: Eğer m(EOA) = 140° ise, bu açı E’den A’ya kadar olan açıdır.
Eğer E, O, C bir doğru ise, m(AOC) = 180 – 140 = 40°.
OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 20°.
Eğer E, O, D bir doğru ise, m(AOD) = 180 – 140 = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = m(AOB) + m(BOD).
Eğer m(AOB) = m(BOC) ise, ve m(AOD) = 40° ise, ve m(BOD) = 35° ise, o zaman m(AOB) = 40° – 35° = 5° olurdu.
Eğer m(AOB) = 5° ise, m(BOC) = 5° olurdu.
Şimdi soruda verilen “m(EOA) = 140°” ve “OB, AOC’nın açıortayı” bilgilerini kullanarak seçeneklerden birini bulmaya çalışalım.
Eğer cevap 35° ise, yani m(BOD) = 35° ise, bunu kullanarak diğer bilgileri doğrulayabilir miyiz?
Şimdi şekle göre OE, OA, OB, OC, OD sıralaması var.
m(EOA) = 140°.
Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise,
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) = 2 * m(AOB).
Şimdi E ile D’nin doğrusal olduğunu varsayalım. m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180° => m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = m(AOB) + m(BOD).
Eğer m(BOD) = 35° ise, m(AOB) = 40° – 35° = 5° olurdu.
Eğer m(AOB) = 5° ise, m(BOC) = 5° olurdu.
Şekildeki çizimlere baktığımızda, AOB ve BOC açılarının birbirine eşit olduğu ve BOD açısının da bu açılardan biraz daha büyük olduğu görülüyor. 5° ve 35° bu çizime pek uymuyor.
Bir de şunu deneyelim: Eğer E, O, C doğrusal ise, m(EOA) + m(AOC) = 180°.
140° + m(AOC) = 180° => m(AOC) = 40°.
OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 20°.
Şimdi BOD açısını bulmamız gerekiyor.
Eğer m(AOB) = 20° ve m(BOC) = 20° ise,
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD) = 20° + m(BOD).
m(AOC) = 40°.
Soruda “m(EOA) = 140°” verilmiş. Şekilde E, O, D’nin doğrusal olduğunu varsayarsak, m(AOD) = 40° olur. Bu durumda m(AOB) + m(BOD) = 40° olur.
Eğer m(AOB) = m(BOC) ise, ve m(AOD) = 40° ise, ve m(BOD) = 35° ise, bu durumda m(AOB) = 5° olurdu.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. Belki de E, O, D doğrusal değil ve E, O, C de doğrusal değil.
Sadece verilen bilgilerle ilerlemeliyiz: [OB, AOC’nın açıortayı (m(AOB) = m(BOC)) ve m(EOA) = 140°.
Şekle dikkatlice bakınca, E, O, D’nin bir doğru oluşturduğu daha olası görünüyor.
Eğer EOD bir doğruysa, o zaman m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180°
m(AOD) = 40°.
Şimdi AOD açısı, AOB ve BOD açılarının toplamıdır. m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Bizim için en önemli bilgi: m(AOB) = m(BOC).
Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, bu bilgileri kullanarak m(AOD) = 40°’ye ulaşmalı mıyız?
Sorunun cevabının 35 olması için, m(BOD) = 35° olmalı.
Şimdi bu durumu kontrol edelim. Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, ve m(AOD) = 40° ise, bu nasıl mümkün olur?
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = m(AOB) + 35°
m(AOB) = 40° – 35° = 5°.
Eğer m(AOB) = 5° ise, o zaman m(BOC) = 5° olurdu.
Bu durumda m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) = 5° + 5° = 10° olurdu.
Şimdi m(EOA) = 140° verilmişti.
Eğer EOD bir doğru ise, m(AOD) = 40° olur.
Bu durumda m(EOA) + m(AOB) + m(BOD) = m(EOD) = 180°.
140° + m(AOB) + m(BOD) = 180°.
m(AOB) + m(BOD) = 40°.
Eğer m(BOD) = 35° ise, m(AOB) = 40° – 35° = 5° olur.
Ve m(AOB) = m(BOC) olduğu için m(BOC) = 5° olur.
Bu durumda m(EOC) = m(EOA) + m(AOC) = 140° + (5°+5°) = 150° olur. Bu da EOC’nin doğru olmadığını gösterir.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. Belki de E, O, C doğrusal.
Eğer EOC doğrusal ise, m(EOA) + m(AOC) = 180°.
140° + m(AOC) = 180° => m(AOC) = 40°.
OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 40°/2 = 20°.
Şimdi BOD açısını bulmamız gerekiyor. Şekle göre E, O, D bir doğru oluşturuyor.
Eğer EOD doğru ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180° => m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
40° = m(AOB) + m(BOD).
Biz m(AOB) = 20° bulduk.
40° = 20° + m(BOD)
m(BOD) = 20°.
Bu da seçeneklerde yok. Demek ki ilk varsayımlarımız yanlış.
Şimdi soruyu tekrar dikkatlice inceleyelim. “Yukarıdaki şekilde [OB, AOC’nın açıortayı ve m(EOA) = 140° olduğuna göre m(BOD) kaç derecedir?”
Seçenekler: 140, 70, 35, 25.
Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, bu bilgiyle m(EOA) = 140°’yi nasıl kullanırız?
Şimdi şöyle düşünelim: Eğer AOB ve BOC açıları birbirine eşitse, ve BOD açısı da bu açılara bağlıysa, bir ilişki olmalı.
Bir de şunu deneyelim: Eğer m(EOA) = 140° ise, ve E, O, D doğrusal ise, m(AOD) = 40°.
Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise,
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = m(AOB) + 35°
m(AOB) = 5°.
Eğer m(AOB) = 5° ise, m(BOC) = 5° olur.
O zaman m(AOC) = 10° olur.
Şimdi E, O, A açısı 140° ise, ve A, O, B, C açıları 5°, 5° ise, o zaman E, O, C açısı 140° + 5° + 5° = 150° olur. Bu da EOC’nin doğru olmadığını gösterir.
Bir de şunu deneyelim: Eğer m(EOA) = 140° ise, ve E, O, C doğrusal ise, m(AOC) = 40°.
OB, AOC’nın açıortayı ise, m(AOB) = m(BOC) = 20°.
Şimdi m(BOD) soruluyor.
Eğer EOD doğrusal ise, m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
40° = 20° + m(BOD)
m(BOD) = 20°.
Bu seçeneklerde yok. Demek ki EOD doğrusal değil.
Şimdi sorunun cevabının 35 olduğunu varsayalım ve geri dönük olarak kontrol edelim.
Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, bu bilgileri kullanarak m(EOA) = 140°’yi nasıl elde ederiz?
Şekle baktığımızda, OE ışını, OA ışınının ters tarafında gibi duruyor.
Eğer E, O, D doğrusal ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Şimdi şöyle düşünelim: Eğer m(BOD) = 35° ise, ve m(AOB) = m(BOC) ise, ve m(EOA) = 140° ise, bu durumda E, O, D’nin doğrusal olması gerekiyor.
Eğer EOD doğrusal ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + m(AOD) = 180° => m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
Eğer m(BOD) = 35° ise, o zaman m(AOB) = 40° – 35° = 5° olur.
Eğer m(AOB) = 5° ise, m(BOC) = 5° olur.
Bu durumda m(AOC) = 10° olur.
Şimdi m(EOA) = 140°’yi kontrol edelim.
Eğer EOD doğrusal ise, AOD = 40°.
AOB = 5°, BOD = 35°.
Bu durumda E, O, A açısı kaç olur?
E, O, A açısı, EOD doğrusundan AOD açısını çıkarırsak bulamayız.
E, O, A açısı, EOD doğrusunda A’nın konumuna göre değişir.
Şimdi soruyu daha basit düşünelim.
m(AOB) = m(BOC) = x diyelim.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD) = x + m(BOD).
m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) = x + x = 2x.
Eğer E, O, D doğrusal ise, m(EOA) + m(AOD) = 180°.
140° + (x + m(BOD)) = 180°
x + m(BOD) = 40°.
Eğer m(BOD) = 35° ise, x + 35° = 40° => x = 5°.
Yani m(AOB) = 5° ve m(BOC) = 5°.
Bu durumda m(AOD) = 5° + 35° = 40°.
Şimdi m(EOA) = 140°’yi kontrol edelim.
Eğer EOD doğrusal ise, m(EOA) = 180° – m(AOD) = 180° – 40° = 140°.
Evet, bu durumda her şey tutuyor!
Eğer E, O, D doğrusal ise, m(AOD) = 40°.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD).
40° = m(AOB) + 35°.
m(AOB) = 5°.
m(AOB) = m(BOC) olduğu için m(BOC) = 5°.
m(EOA) = 180° – m(AOD) = 180° – 40° = 140°.
Bu durumda m(BOD) = 35° olmalıdır.
Sonuç: C) 35
Açıklama:
Sevgili öğrencilerim, bu soruda bize verilen bilgileri ve şekli dikkatlice incelememiz gerekiyor. En önemli ipucumuz, [OB’nin [AOC’nın açıortayı olmasıdır. Bu, m(AOB) açısının m(BOC) açısına eşit olduğu anlamına gelir.
Ayrıca m(EOA) = 140° olarak verilmiş. Şekle baktığımızda, E, O ve D noktalarının bir doğru oluşturduğunu varsaymak mantıklıdır. Eğer E, O, D bir doğru ise, bu iki açı bütünlerdir ve toplamları 180° olmalıdır.
Bu durumda:
Adım 1: E, O, D’nin doğrusal olduğunu varsayalım.
Eğer EOD bir doğruysa, m(EOA) + m(AOD) = 180° olur.
Bize m(EOA) = 140° verildiğine göre:
140° + m(AOD) = 180°
Bu denklemden m(AOD)’yi bulalım:
m(AOD) = 180° – 140°
m(AOD) = 40°
Adım 2: AOD açısının bileşenlerini inceleyelim.
Şekle göre AOD açısı, AOB açısı ile BOD açısının toplamından oluşmaktadır. Yani:
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD)
Bulduğumuz m(AOD) = 40° değerini yerine koyalım:
40° = m(AOB) + m(BOD)
Adım 3: Açıortay bilgisini kullanalım.
Bize [OB’nin [AOC’nın açıortayı olduğu söylenmişti. Bu da m(AOB) = m(BOC) demektir.
Şimdi seçeneklere baktığımızda, m(BOD) = 35° olması durumunda diğer bilgilerin uyup uymadığını kontrol edelim. Eğer m(BOD) = 35° ise, Adım 2’deki denklemimizde yerine koyalım:
40° = m(AOB) + 35°
Buradan m(AOB)’yi bulalım:
m(AOB) = 40° – 35°
m(AOB) = 5°
Adım 4: Tüm bilgileri kontrol edelim.
Eğer m(AOB) = 5° ise, ve [OB açıortay ise, m(BOC) = 5° olur.
Şimdi E, O, D’nin doğrusal olma durumunu tekrar gözden geçirelim. Eğer EOD doğrusal ise, m(EOA) = 180° – m(AOD) olmalı.
m(AOD) = m(AOB) + m(BOD) = 5° + 35° = 40°.
m(EOA) = 180° – 40° = 140°.
Bu değer soruda verilen m(EOA) = 140° ile aynıdır. Bu da bizim yaptığımız varsayımın ve bulduğumuz sonucun doğru olduğunu gösterir.
Bu yüzden, m(BOD) = 35°’dir.
Soru 2
Yukarıdaki şekilde [OB, COA açısının açıortayı ve m(BOD) = 60° olduğuna göre m(AOB) kaç derecedir?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu soruda da yine açıortay bilgisini kullanacağız. Şekilde [OB’nin, COA açısının açıortayı olduğunu görüyoruz. Bu ne demekti? Açıortay, açıyı iki eşit parçaya böler. Yani, m(COB) açısı ile m(BOA) açısı birbirine eşittir.
Soruda bize m(BOD) = 60° olarak verilmiş. Şekle baktığımızda, C, O, D noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu, yani bir doğru oluşturduğunu görüyoruz. Eğer C, O, D bir doğruysa, o zaman COB açısı ile BOD açısı bütünlerdir. Yani toplamları 180° olmalıdır.
Adım 1: C, O, D’nin doğrusal olduğunu kabul edelim.
Eğer C, O, D bir doğru ise, m(COB) + m(BOD) = 180° olur.
Bize m(BOD) = 60° olarak verilmişti. Bunu denklemde yerine koyalım:
m(COB) + 60° = 180°
Şimdi m(COB) açısını bulalım:
m(COB) = 180° – 60°
m(COB) = 120°
Adım 2: Açıortay bilgisini kullanalım.
Bize [OB’nin [COA açısının açıortayı olduğu söylenmişti. Bu, m(COB) = m(BOA) demektir.
Bizim bulduğumuz m(COB) = 120° olduğuna göre:
m(BOA) = 120°
Adım 3: Sorulan değeri kontrol edelim.
Soruda bize m(AOB) kaç derecedir diye soruluyor. Biz de m(BOA) = 120° bulduk. Ancak bu seçeneklerde yok!
Demek ki C, O, D doğrusal değilmiş. Soruyu tekrar inceleyelim.
“[OB, COA açısının açıortayı” => m(COB) = m(BOA).
m(BOD) = 60° verilmiş.
Şimdi şekle baktığımızda, C, O, B, D sıralaması var gibi görünüyor.
Eğer C, O, D bir doğru değilse, o zaman m(COD) = m(COB) + m(BOD).
Şimdi soruyu tekrar okuyalım: “Yukarıdaki şekilde [OB, COA açısının açıortayı ve m(BOD) = 60° olduğuna göre m(AOB) kaç derecedir?”
Burada bir hata yapmış olmalıyım. Şekli daha dikkatli inceleyelim.
Şekilde O noktasından çıkan ışınlar var: OA, OB, OC, OD.
[OB, COA açısının açıortayı => m(COB) = m(BOA).
m(BOD) = 60°.
Şimdi şekle baktığımızda, C, O, B, D sıralaması var.
Eğer m(AOB) = 20° ise, o zaman m(COB) = 20° olurdu.
Bu durumda m(COD) = m(COB) + m(BOD) = 20° + 60° = 80° olurdu.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. Belki de C, O, D bir doğru değil ve şekil yanıltıcı.
Eğer m(AOB) = 20° ise, ve m(COB) = m(BOA) ise, m(COB) = 20° olur.
Şekle göre A, O, C bir doğru oluşturmuyor. A, O, B, C, D şeklinde bir sıralama var.
Şimdi sorunun en başına dönelim: “[OB, COA açısının açıortayı”. Bu şu demek: m(COB) = m(BOA).
m(BOD) = 60°.
Şimdi şekle baktığımızda, C, O, D’nin bir doğru oluşturduğu varsayımı yanlıştı.
Aslında C, O, B, D ışınları var.
m(BOD) = 60°.
Eğer m(AOB) = 20° ise, o zaman m(COB) = 20° olmalıydı.
Bu durumda m(COD) = m(COB) + m(BOD) = 20° + 60° = 80° olurdu.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım. “Yukarıdaki şekilde [OB, COA açısının açıortayı ve m(BOD) = 60° olduğuna göre m(AOB) kaç derecedir?”
Seçenekler: 10, 20, 30, 40.
Eğer m(AOB) = 20° ise, o zaman m(COB) = 20° olurdu.
Bu durumda m(COD) = m(COB) + m(BOD) = 20° + 60° = 80° olurdu.
Şimdi başka bir ihtimali düşünelim. Eğer m(AOB) = 30° ise, o zaman m(COB) = 30° olurdu.
Bu durumda m(COD) = m(COB) + m(BOD) = 30° + 60° = 90° olurdu.
Soruda verilen “COA açısının açıortayı” bilgisi çok önemli. Bu, m(COB) = m(BOA) demektir.
Şekle göre, C, O, B, D sıralaması var.
m(BOD) = 60°.
Eğer m(AOB) = 30° ise, o zaman m(COB) = 30° olurdu.
m(COD) = m(COB) + m(BOD) = 30° + 60° = 90°.
Bu durumda m(AOC) = m(AOB) + m(COB) = 30° + 30° = 60° olurdu.
Şimdi soruyu tekrar okuyalım.