7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 221

Merhaba sevgili öğrencim,

Harika sorular göndermişsin! Matematik, özellikle de geometri, adım adım ilerlediğimizde çok daha kolay ve zevkli hale gelir. Şimdi gönderdiğin bu “Kazanım Kavrama Testi – 19″daki soruları birlikte, tane tane çözelim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, her adımı anlayarak ilerleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!

1. Soru: Verilen şekilde A ve C merkezli iki çember B noktasında kesişmektedir. |AB| = 3|BC| ve |AC| = 12 cm olduğuna göre şeklin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bu soruda iki tane dairenin alanlarını bulup toplamamız isteniyor. Dairenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = π * r² (Yani, pi sayısı ile yarıçapın karesinin çarpımı).

• Adım 1: Öncelikle dairelerin yarıçaplarını bulmalıyız. Soruda bize |AB| uzunluğunun |BC| uzunluğunun 3 katı olduğu söylenmiş. Yani, küçük dairenin yarıçapına bir harf verelim, mesela ‘k’ diyelim.

  |BC| = k ise, |AB| = 3k olur.

• Adım 2: Şekle baktığımızda |AC| uzunluğunun, |AB| ve |BC| uzunluklarının toplamı olduğunu görüyoruz.

  |AC| = |AB| + |BC| = 3k + k = 4k

• Adım 3: Soruda bize |AC| = 12 cm olduğu verilmiş. Öyleyse bulduğumuz 4k’yı 12’ye eşitleyebiliriz.

  4k = 12

  k = 12 / 4 = 3 cm

  Harika! Şimdi ‘k’ değerini bildiğimize göre yarıçapları bulabiliriz.

  Küçük dairenin yarıçapı (|BC|) = k = 3 cm

  Büyük dairenin yarıçapı (|AB|) = 3k = 3 * 3 = 9 cm

• Adım 4: Şimdi her iki dairenin alanını ayrı ayrı hesaplayalım. (π=3 almayı unutmuyoruz!)

  Büyük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 9² = 3 * 81 = 243 cm²

  Küçük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 3² = 3 * 9 = 27 cm²

• Adım 5: Son olarak, şeklin toplam alanını bulmak için bu iki alanı topluyoruz.

  Toplam Alan = 243 + 27 = 270 cm²

Sonuç: D) 270

2. Soru: Yukarıdaki dikdörtgenin içine şekildeki gibi bir noktada kesişen iki daire yerleştirilmiştir. Dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre boyalı alan kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bu tür sorularda her zaman bir stratejimiz olmalı. Buradaki stratejimiz şu: Tüm şeklin alanından (dikdörtgen) istenmeyen kısmın alanını (iki daire) çıkarmak.

• Adım 1: Önce dairelerin yarıçapını bulalım. Şekle dikkatlice bakarsan, dikdörtgenin kısa kenarının dairenin çapına eşit olduğunu görebilirsin.

  Kısa kenar = Çap = 8 cm

  Yarıçap (r) = Çap / 2 = 8 / 2 = 4 cm

• Adım 2: Şimdi dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. Uzun kenar, yan yana duran iki dairenin çaplarının toplamına eşittir.

  Uzun kenar = Çap + Çap = 8 + 8 = 16 cm

• Adım 3: Dikdörtgenin ve dairelerin alanlarını hesaplayalım.

  Dikdörtgenin Alanı: Kısa Kenar * Uzun Kenar = 8 * 16 = 128 cm²

  Bir Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 4² = 3 * 16 = 48 cm²

  Elimizde iki tane daire olduğu için bu alanı 2 ile çarpmalıyız:

  İki Dairenin Toplam Alanı: 48 * 2 = 96 cm²

• Adım 4: Son adımda, boyalı alanı bulmak için dikdörtgenin alanından iki dairenin toplam alanını çıkarıyoruz.

  Boyalı Alan = Dikdörtgenin Alanı – İki Dairenin Alanı

  Boyalı Alan = 128 – 96 = 32 cm²

Sonuç: C) 32

3. Soru: Şekilde |OA| = 2 cm, |AB| = 5 cm olduğuna göre boyalı alan kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bu şekil bir halka ya da simit gibi değil mi? Boyalı halkanın alanını bulmak için büyük dairenin alanından içteki küçük beyaz dairenin alanını çıkarmalıyız.

• Adım 1: Önce dairelerin yarıçaplarını belirleyelim.

  Küçük Dairenin Yarıçapı (r): |OA| = 2 cm

  Büyük Dairenin Yarıçapı (R): |OB| = |OA| + |AB| = 2 + 5 = 7 cm

• Adım 2: Şimdi her iki dairenin alanını da hesaplayalım.

  Büyük Dairenin Alanı: π * R² = 3 * 7² = 3 * 49 = 147 cm²

  Küçük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 2² = 3 * 4 = 12 cm²

• Adım 3: Boyalı alanı bulmak için büyük alandan küçük alanı çıkaralım.

  Boyalı Alan = Büyük Dairenin Alanı – Küçük Dairenin Alanı

  Boyalı Alan = 147 – 12 = 135 cm²

Sonuç: C) 135

4. Soru: Bir otlakta bulunan fıskiye otlağın ortasına yerleştirilmiştir. Fıskiye 8 m uzağa kadar su gönderebildiğine göre fıskiye en fazla kaç m²’lik alanı sulayabilir? (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bu soru aslında bize şunu soruyor: Bir fıskiye etrafını dairesel bir şekilde sular. Suyun ulaştığı en uzak mesafe, bu dairenin yarıçapıdır. O zaman bu dairenin alanı nedir?

• Adım 1: Soruda verilen “8 m uzağa kadar” ifadesi bize dairenin yarıçapını (r) verir.

  r = 8 m

• Adım 2: Dairenin alan formülünü kullanarak sulanabilen alanı hesaplayalım.

  Alan = π * r² = 3 * 8² = 3 * 64 = 192 m²

Sonuç: D) 192

5. Soru: ABCD bir kare ve |AB| = 12 cm olduğuna göre boyalı bölgenin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Yine bir çıkarma işlemi sorusu! Boyalı alanı bulmak için karenin alanından, beyaz renkli çeyrek dairenin alanını çıkaracağız.

• Adım 1: Karenin alanını hesaplayalım. Karenin bir kenarı 12 cm verilmiş.

  Karenin Alanı: Kenar * Kenar = 12 * 12 = 144 cm²

• Adım 2: Şimdi beyaz bölgenin, yani çeyrek dairenin alanını bulalım. Bu çeyrek dairenin merkezi B noktası ve yarıçapı da karenin bir kenarı, yani 12 cm’dir.

  Önce tam bir dairenin alanını bulup sonra 4’e bölelim.

  Tam Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 12² = 3 * 144 = 432 cm²

  Çeyrek Dairenin Alanı: Tam Dairenin Alanı / 4 = 432 / 4 = 108 cm²

• Adım 3: Boyalı alanı bulmak için karenin alanından çeyrek dairenin alanını çıkarıyoruz.

  Boyalı Alan = Karenin Alanı – Çeyrek Dairenin Alanı

  Boyalı Alan = 144 – 108 = 36 cm²

Sonuç: B) 36

6. Soru: Yukarıda A ve B merkezli çemberler verildiğine göre boyalı alanın tüm şeklin alanına oranı kaçtır?

Çözüm:

Oran sorularında, istenen değerleri bulup birbirine bölmemiz gerekir. Burada bizden (Boyalı Alan) / (Tüm Şeklin Alanı) oranını bulmamız isteniyor. Bu soruda sayısal bir değer verilmemiş, o yüzden yarıçapa bir harf vererek ilerleyeceğiz. Bu seni korkutmasın, çok kolay!

• Adım 1: Şekle baktığımızda, büyük dairenin yarıçapının, küçük dairenin çapına eşit olduğunu görüyoruz. Küçük dairenin yarıçapına ‘r’ diyelim.

  Küçük dairenin yarıçapı = r

  Küçük dairenin çapı = 2r

  Öyleyse, büyük dairenin yarıçapı = 2r

• Adım 2: Şimdi bu bilgilere göre alanları hesaplayalım. π’yi sadeleşeceği için olduğu gibi bırakabiliriz.

  Tüm Şeklin Alanı (Büyük Dairenin Alanı): π * (2r)² = π * 4r² = 4πr²

  Küçük Beyaz Dairenin Alanı: π * r² = πr²

• Adım 3: Boyalı alanı bulalım. Boyalı alan, büyük daireden küçük dairenin çıkarılmasıyla bulunur.

  Boyalı Alan = Büyük Alan – Küçük Alan = 4πr² – πr² = 3πr²

• Adım 4: Son adımda bizden istenen oranı yazalım ve sadeleştirelim.

  Oran = (Boyalı Alan) / (Tüm Şeklin Alanı)

  Oran = (3πr²) / (4πr²)

  Gördüğün gibi, hem pay hem de paydada bulunan ‘πr²’ ifadeleri birbirini götürür (sadeleşir).

  Oran = 3/4

Sonuç: C) 3/4

Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, geometride şekli iyi analiz etmek ve doğru formülleri hatırlamak çok önemlidir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!