Merhaba sevgili öğrencim,
Ben 7. sınıf matematik öğretmeninizim. Gönderdiğin bu çalışma sayfasındaki soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Rasyonel sayılarla üslü işlemler konusu başta biraz karışık gelebilir ama mantığını kavradığımızda ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Haydi başlayalım!
Soru 1: Aşağıda verilen rasyonel sayıların değerlerini hesaplayınız.
Bu soruda rasyonel sayıların karesini, yani 2. kuvvetini alacağız. Unutma, bir kesrin kuvveti alınırken hem payın (üstteki sayı) hem de paydanın (alttaki sayı) kuvveti ayrı ayrı alınır. Bir de çok önemli bir kural var: Negatif bir sayının çift kuvveti (2, 4, 6 gibi) her zaman pozitiftir!
a) (2/3)2 = ?
Adım 1: Payın, yani 2’nin karesini alalım: 22 = 2 x 2 = 4
Adım 2: Paydanın, yani 3’ün karesini alalım: 32 = 3 x 3 = 9
Sonuç: 4/9
b) (-1/3)2 = ?
Adım 1: Dikkat! Sayımız negatif ama üssümüz çift (2). Bu yüzden sonuç pozitif olacak.
Adım 2: Şimdi işareti düşünmeden 1’in karesini alalım: 12 = 1 x 1 = 1
Adım 3: 3’ün karesini alalım: 32 = 3 x 3 = 9
Sonuç: 1/9
c) (-5/6)2 = ?
Adım 1: Yine negatif bir sayı ve çift kuvvet var. Sonucumuz pozitif olacak.
Adım 2: 5’in karesi: 52 = 25
Adım 3: 6’nın karesi: 62 = 36
Sonuç: 25/36
ç) (3/4)2 = ?
Adım 1: 3’ün karesi: 32 = 9
Adım 2: 4’ün karesi: 42 = 16
Sonuç: 9/16
d) (3 1/2)2 = ?
Adım 1: Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmeliyiz. (3 x 2 + 1) / 2 = 7/2
Adım 2: Şimdi (7/2)’nin karesini alabiliriz. 7’nin karesi: 72 = 49
Adım 3: 2’nin karesi: 22 = 4
Sonuç: 49/4
e) (-1 2/5)2 = ?
Adım 1: Yine önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim. -(1 x 5 + 2) / 5 = -7/5
Adım 2: Şimdi (-7/5)’in karesini alacağız. Sayı negatif, üs çift olduğu için sonuç pozitif olacak.
Adım 3: 7’nin karesi: 72 = 49
Adım 4: 5’in karesi: 52 = 25
Sonuç: 49/25
Soru 2: Aşağıda verilen rasyonel sayıların değerlerini bulunuz.
Bu soruda ise sayıların küpünü, yani 3. kuvvetini alacağız. Buradaki en önemli kural ise şudur: Negatif bir sayının tek kuvveti (3, 5, 7 gibi) her zaman negatiftir!
a) (+2/3)3 = ?
Adım 1: Payın, yani 2’nin küpünü alalım: 23 = 2 x 2 x 2 = 8
Adım 2: Paydanın, yani 3’ün küpünü alalım: 33 = 3 x 3 x 3 = 27
Sonuç: 8/27
b) (-1/2)3 = ?
Adım 1: Dikkat! Sayımız negatif ve üssümüz tek (3). Bu yüzden sonuç negatif olacak.
Adım 2: 1’in küpü: 13 = 1 x 1 x 1 = 1
Adım 3: 2’nin küpü: 23 = 2 x 2 x 2 = 8
Sonuç: -1/8
c) (-3/4)3 = ?
Adım 1: Negatif sayı, tek kuvvet. Sonuç negatif olacak.
Adım 2: 3’ün küpü: 33 = 27
Adım 3: 4’ün küpü: 43 = 4 x 4 x 4 = 64
Sonuç: -27/64
ç) (1 1/2)3 = ?
Adım 1: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: (1 x 2 + 1) / 2 = 3/2
Adım 2: Şimdi (3/2)’nin küpünü alalım. 3’ün küpü: 33 = 27
Adım 3: 2’nin küpü: 23 = 8
Sonuç: 27/8
d) (-2 1/3)3 = ?
Adım 1: Bileşik kesre çevirelim: -(2 x 3 + 1) / 3 = -7/3
Adım 2: Negatif sayı, tek kuvvet. Sonuç negatif olacak.
Adım 3: 7’nin küpü: 73 = 7 x 7 x 7 = 343
Adım 4: 3’ün küpü: 33 = 27
Sonuç: -343/27
e) (-1/6)3 = ?
Adım 1: Negatif sayı, tek kuvvet. Sonuç negatif olacak.
Adım 2: 1’in küpü: 13 = 1
Adım 3: 6’nın küpü: 63 = 6 x 6 x 6 = 216
Sonuç: -1/216
Soru 3: (-2/3)’ün karesinin küpüne bölümünü bulunuz.
Bu soruda bizden iki işlem yapmamız isteniyor. Önce sayının hem karesini hem de küpünü bulacağız, sonra da bunları birbirine böleceğiz.
Adım 1: (-2/3)’ün karesini bulalım. Negatif sayının çift kuvveti pozitif olur.
(-2/3)2 = (4/9)Adım 2: (-2/3)’ün küpünü bulalım. Negatif sayının tek kuvveti negatif olur.
(-2/3)3 = (-8/27)Adım 3: Şimdi de karesini küpüne bölelim. Yani (4/9) sayısını (-8/27) sayısına böleceğiz. Rasyonel sayılarda bölme nasıl yapılıyordu? Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
(4/9) ÷ (-8/27) = (4/9) x (-27/8)
Adım 4: Çarpmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. 4’ü 4’e bölersek 1, 8’i 4’e bölersek 2 kalır. 9’u 9’a bölersek 1, 27’yi 9’a bölersek 3 kalır.
İşlemimiz şuna dönüştü: (1/1) x (-3/2)
Sonuç: -3/2
Soru 4: Aşağıda verilen işlemleri yapınız.
Burada işlem önceliğine dikkat etmeliyiz. Önce üslü ifadelerin değeri bulunur, sonra çarpma işlemi yapılır.
a) (-5) . (-2/5)2 = ?
Adım 1: Önce üslü ifadenin değerini bulalım: (-2/5)2 = 25/4
Adım 2: Şimdi çarpma işlemini yapalım: (-5) x (4/25)
Adım 3: -5’in altında gizli bir 1 vardır. (-5/1) x (4/25). 5 ile 25’i sadeleştirebiliriz. 5’i 5’e böl 1, 25’i 5’e böl 5.
İşlemimiz: (-1/1) x (4/5) = -4/5
Sonuç: -4/5
b) (1/3)3 . (-2 1/6) = ?
Adım 1: Üslü ifadenin değerini bulalım: (1/3)3 = 1/27
Adım 2: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: -2 1/6 = -(2×6+1)/6 = -13/6
Adım 3: Şimdi çarpalım: (1/27) x (-13/6)
Adım 4: Payları kendi arasında (1 x -13 = -13), paydaları kendi arasında (27 x 6 = 162) çarpalım.
Sonuç: -13/162
c) (-1/5)2 . (3/5)2 = ?
Adım 1: Birinci üslü ifadenin değeri: (-1/5)2 = 1/25
Adım 2: İkinci üslü ifadenin değeri: (3/5)2 = 9/25
Adım 3: Şimdi çarpalım: (1/25) x (9/25)
Adım 4: Payları çarpalım: 1 x 9 = 9. Paydaları çarpalım: 25 x 25 = 625.
Sonuç: 9/625
Soru 5: 3 – (2/5)2 . 25/8 + 1 işleminin sonucunu bulunuz.
Yine işlem önceliği sorusu! Önce üslü ifade, sonra çarpma, en son toplama ve çıkarma yapılır.
Adım 1: Üslü ifadenin değerini bulalım: (2/5)2 = 4/25
Adım 2: İşlemimiz şuna dönüştü: 3 – (4/25) . (25/8) + 1. Şimdi çarpma işlemini yapmalıyız.
Adım 3: (4/25) x (25/8). Buradaki 25’ler birbirini götürür (sadeleşir). Geriye 4/8 kalır. Bu kesri de 4 ile sadeleştirirsek 1/2 olur.
Adım 4: İşlemimizin son hali: 3 – 1/2 + 1. İşlemleri soldan sağa doğru yapalım.
Adım 5: 3 – 1/2 = (6/2) – (1/2) = 5/2
Adım 6: 5/2 + 1 = 5/2 + 2/2 = 7/2
Sonuç: 7/2 (veya 3,5)
Soru 6: 0,6 – (-2/3)3 işleminin sonucunu bulunuz.
Burada devirli ondalık sayı var. Önce onu rasyonel sayıya çevirmeliyiz.
Adım 1: 0,6 (6’nın üzerinde çizgi var) devirli ondalık sayısını kesre çevirelim. Kural: (Sayının tamamı – Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9). Yani (6 – 0) / 9 = 6/9. Sadeleştirirsek 2/3 olur.
Adım 2: Şimdi üslü ifadenin değerini bulalım: (-2/3)3. Negatif sayı ve tek kuvvet olduğu için sonuç negatif olacak. 23=8, 33=27. Yani -8/27.
Adım 3: İşlemimiz şu hale geldi: (2/3) – (-8/27). İki eksi yan yana gelince artıya dönüşür. Unutma, bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarmak, o sayının pozitifini eklemekle aynı şeydir.
İşlemimiz: (2/3) + (8/27)
Adım 4: Toplama yapmak için paydaları eşitlemeliyiz. Birinci kesri 9 ile genişletelim. (2×9)/(3×9) = 18/27.
Adım 5: Şimdi toplayalım: (18/27) + (8/27) = 26/27
Sonuç: 26/27
Umarım çözümler ve açıklamalar konuyu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinme, tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!