Harika bir soru! Eski Mısır’ın gizemli dünyasına bir yolculuk yapıp matematiği ne kadar zekice kullandıklarını görelim. Ben de 7. Sınıf Matematik Öğretmeniniz olarak bu soruları sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1. Eski Mısırlılar bu işlemleri yapmak için π’yi yaklaşık olarak kaç almışlardır?
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soruyu çözmek için Eski Mısırlıların yaptığı işlemleri takip edeceğiz. Onlar, dairenin alanını bulmak için çok pratik bir yöntem geliştirmişler.
Adım 1: Başlangıçtaki Alanı Bulalım
Şekil 1’e baktığımızda 3×3’lük, yani toplamda 9 tane birim kareden oluşan büyük bir kare görüyoruz. Bu durumda başlangıçtaki toplam alanımız 9 birimkaredir.
Adım 2: Kesilen Parçaların Alanını Hesaplayalım
Şekil 2’de ise köşelerdeki 4 tane birim karenin yarısının kesilip atıldığını görüyoruz. Her birim karenin alanı 1 olduğuna göre, yarısının alanı 1/2 (yani 0,5) olur. Toplamda 4 köşe olduğu için kesilen toplam alanı bulalım:
4 x (1/2) = 2 birimkare.
Yani Mısırlılar, büyük kareden toplamda 2 birimkarelik bir alanı kesip atmışlar.
Adım 3: Kalan Şeklin Alanını Bulalım
Başlangıçta 9 birimkare alanımız vardı, 2 birimkaresini attık. Geriye ne kadar kaldığını bulmak için çıkarma işlemi yaparız:
9 – 2 = 7 birimkare.
Eski Mısırlılar, bu kalan 7 birimkarelik alanın, dairenin alanına eşit olduğunu varsaymışlar. Yani onlara göre Dairenin Alanı ≈ 7 birimkare.
Adım 4: Dairenin Yarıçapını (r) Bulalım
Şekil 3’teki daire, 3×3’lük karenin içine tam olarak sığıyor. Bu durumda dairenin çapı, karenin bir kenarına eşittir. Yani dairenin çapı 3 birimdir. Yarıçap (r) ise çapın yarısıdır:
r = 3 / 2 = 1,5 birim.
Adım 5: π (Pi) Sayısını Hesaplayalım
Artık her şeyi biliyoruz! Dairenin alan formülü neydi? Alan = π ⋅ r². Eski Mısırlıların bulduğu değerleri bu formülde yerine yazalım:
7 = π ⋅ (1,5)²
Önce (1,5)²’nin değerini bulalım: 1,5 x 1,5 = 2,25.
7 = π ⋅ 2,25
Şimdi π’yi bulmak için eşitliğin her iki tarafını da 2,25’e bölelim:
π = 7 / 2,25
Bu işlemi daha kolay yapmak için ondalık sayıyı kesre çevirebiliriz. 2,25 = 225/100 = 9/4.
π = 7 / (9/4) = 7 ⋅ (4/9) = 28/9
28’i 9’a böldüğümüzde ise yaklaşık olarak 3,111… gibi bir sayı buluruz.
Sonuç:Eski Mısırlılar, bu yöntemle π sayısını yaklaşık olarak 28/9 yani 3,111… olarak hesaplamışlardır.
Soru 2. Eski Mısırlıların bulmuş oldukları π sayısı gerçek değerine ne kadar yakındır?
Çözüm:
Harika bir soru! Bakalım o zamanki teknolojiyle ne kadar başarılı bir tahminde bulunmuşlar.
Adım 1: Değerleri Karşılaştıralım
Bizim bildiğimiz π sayısının değeri yaklaşık olarak 3,14159…‘dur. Genellikle işlemlerde kısaca 3,14 olarak kullanırız.
Eski Mısırlıların bulduğu değer ise yaklaşık olarak 3,11 idi.
Adım 2: Aradaki Farkı Bulalım
İki değer arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapalım:
3,14 – 3,11 = 0,03
Sonuç:Gördüğünüz gibi aradaki fark sadece 0,03 gibi çok küçük bir sayıdır. Bu, Eski Mısırlıların binlerce yıl önce, günümüzdeki hesap makineleri olmadan buldukları sonucun ne kadar başarılı ve gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösteriyor. Gerçekten inanılmaz!
Soru 3. Benzer bir strateji dört birimkare ile yapılsaydı dairenin gerçek alanına daha yakın bir değer bulunur muydu?
Çözüm:
Bu soruda aynı yöntemi farklı boyutta bir kare için uygulamamız isteniyor. “Dört birimkare” demek, 2×2’lik bir kare demektir. Haydi gelin, bu yeni durumu inceleyelim.
Adım 1: Yeni Karenin Alanını Hesaplayalım
Elimizde 2×2’lik, yani toplam 4 birimkareden oluşan bir kare var. Başlangıç alanımız 4 birimkare.
Adım 2: Kesilen Parçaların Alanını Bulalım
Yine aynı stratejiyi uyguluyoruz ve 4 köşeden yarımşar birimkare kesiyoruz:
4 x (1/2) = 2 birimkare.
Bu durumda toplam 2 birimkarelik bir alan kesilip atılıyor.
Adım 3: Kalan Alanı (Tahmini Daire Alanı) Bulalım
Başlangıç alanından kesilen alanı çıkaralım:
4 – 2 = 2 birimkare.
Bu yeni stratejiye göre dairenin alanı yaklaşık olarak 2 birimkare olmalı.
Adım 4: Yeni Dairenin Yarıçapını Bulalım
Dairemiz 2×2’lik bir karenin içine sığıyor. Bu durumda çapı 2 birim, yarıçapı (r) ise 1 birim olur.
Adım 5: Bu Yöntemle Yeni π Değerini Bulalım
Yine alan formülünü kullanalım: Alan = π ⋅ r²
2 = π ⋅ (1)²
2 = π ⋅ 1
Bu durumda π ≈ 2 sonucunu buluruz.
Adım 6: Sonuçları Karşılaştıralım
Gerçek π değeri yaklaşık 3,14‘tür.
Eski Mısırlıların 3×3’lük kareyle bulduğu π değeri yaklaşık 3,11‘di.
Bizim 2×2’lik kareyle bulduğumuz π değeri ise 2 oldu.
Gördüğünüz gibi 2, gerçek değer olan 3,14’ten çok uzaktır. Hatta Mısırlıların bulduğu 3,11’den bile daha kötü bir tahmindir.
Sonuç:Hayır, benzer bir strateji dört birimkare (2×2’lik kare) ile yapılsaydı dairenin gerçek alanına daha yakın bir değer bulunmazdı, tam aksine çok daha uzak bir değer bulunurdu.