Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugünkü “Sıra Sizde” köşesindeki matematik sorularını birlikte adım adım çözeceğiz. Bu sorular tam sayılarla işlemler, dağılma özelliği ve ters eleman gibi önemli konuları içeriyor. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, matematiğin en güzel yanı, her sorunun mantıklı bir çözümü olmasıdır.
1. Aşağıda verilen işlemleri yapınız.
Bu soruda tam sayılarla çarpma işleminin kurallarını hatırlamamız gerekiyor. Unutmayalım:
- İki pozitif sayının çarpımı pozitiftir. (+) ⋅ (+) = (+)
- İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. (-) ⋅ (-) = (+)
- Biri pozitif, diğeri negatif olan iki sayının çarpımı negatiftir. (+) ⋅ (-) = (-)
Bir de özel durumlarımız vardı: Bir sayının sıfır (0) ile çarpımı her zaman sıfırdır ve bir sayının (-1) ile çarpımı o sayının sadece işaretini değiştirir.
a) (-12) ⋅ (-4) = ?
Adım 1: İşaretleri çarpalım. Eksi (-) ile eksinin (-) çarpımı artı (+) eder.
Adım 2: Sayıları çarpalım. 12 ile 4’ü çarparsak 48 buluruz.
Sonuç: +48
b) (+12) ⋅ (-5) = ?
Adım 1: İşaretleri çarpalım. Artı (+) ile eksinin (-) çarpımı eksi (-) eder.
Adım 2: Sayıları çarpalım. 12 kere 5, 60 yapar.
Sonuç: -60
c) (+5) ⋅ (+3) = ?
Adım 1: İşaretleri çarpalım. Artı (+) ile artının (+) çarpımı artı (+) eder.
Adım 2: Sayıları çarpalım. 5 kere 3, 15’tir.
Sonuç: +15
ç) (-999) ⋅ 0 = ?
Adım 1: Sıfır (0) çarpma işleminde yutan elemandır. Hangi sayıyla çarpılırsa çarpılsın sonucu sıfır yapar.
Sonuç: 0
d) (-7) ⋅ (+7) = ?
Adım 1: İşaretler farklı olduğu için (biri eksi, biri artı) sonuç eksi (-) olacaktır.
Adım 2: 7 ile 7’yi çarparsak 49 buluruz.
Sonuç: -49
e) (+66) ⋅ (-1) = ?
Adım 1: Bir sayıyı (-1) ile çarpmak, o sayının işaretini tersine çevirmek demektir.
Adım 2: (+66)’nın işareti artı (+) olduğuna göre, sonuç eksi (-) olacaktır.
Sonuç: -66
2. Δ = (-3) ⋅ (-5) ve □ = (-2) ⋅ (+4) ise Δ – □ işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soruyu çözmek için önce Δ (üçgen) ve □ (kare) sembollerinin değerlerini bulmalı, sonra da çıkarma işlemini yapmalıyız.
Adım 1: Δ’nın değerini bulalım.
Δ = (-3) ⋅ (-5)
Eksi ile eksinin çarpımı artı olduğundan, 3 ⋅ 5 = 15. Yani, Δ = +15‘tir.
Adım 2: □’nin değerini bulalım.
□ = (-2) ⋅ (+4)
Eksi ile artının çarpımı eksi olduğundan, 2 ⋅ 4 = 8. Yani, □ = -8‘dir.
Adım 3: Şimdi Δ – □ işlemini yapalım. Bulduğumuz değerleri yerlerine yazıyoruz.
Δ – □ = (+15) – (-8)
Tam sayılarla çıkarma işlemi yaparken, çıkan sayının (ikinci sayının) işaretini değiştirip toplama yapıyorduk, hatırladınız mı? Yani, (-8)’in işareti değişecek ve işlem toplamaya dönecek.
(+15) + (+8) = 23
Sonuç: 23
3. x = 3, y = -2, z = -5 olduğuna göre aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
Burada yapmamız gereken tek şey, harflerin yerine bize verilen sayıları dikkatlice yazmak ve işlem önceliğine uymak.
a) x ⋅ y ⋅ z = ?
Adım 1: Harflerin yerine sayıları yazalım.
(3) ⋅ (-2) ⋅ (-5)
Adım 2: Sırayla çarpma yapalım. Önce ilk iki sayıyı çarpalım.
(3) ⋅ (-2) = -6
Adım 3: Bulduğumuz sonuçla son sayıyı çarpalım.
(-6) ⋅ (-5) = +30 (Eksi ile eksinin çarpımı artı!)
Sonuç: 30
b) x ⋅ (y – z) = ?
Adım 1: Harflerin yerine sayıları yazalım ve işlem önceliğine göre önce parantez içini yapalım.
3 ⋅ ((-2) – (-5))
Adım 2: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. (-5)’in işaretini değiştirip topluyoruz.
(-2) + (+5) = +3
Adım 3: Şimdi işlemi tekrar yazalım.
3 ⋅ (+3) = 9
Sonuç: 9
c) z ⋅ (x + y) = ?
Adım 1: Yine harflerin yerine sayıları yazıp parantez içinden başlıyoruz.
(-5) ⋅ (3 + (-2))
Adım 2: Parantez içindeki toplama işlemini yapalım.
3 + (-2) = 1
Adım 3: Şimdi işlemi tekrar yazalım.
(-5) ⋅ (1) = -5
Sonuç: -5
4. 20 soruluk bir yarışmada yarışmacılar doğru cevapladıkları her soru için (+5) puan, yanlış cevapladıkları her soru için (-3) puan almaktadırlar. Bu yarışmada 12 doğru, 8 yanlış yapan Yusuf kaç puan almıştır?
Bu bir puan hesaplama problemi. Doğrulardan kazanılan puanları ve yanlışlardan kaybedilen puanları ayrı ayrı hesaplayıp toplamalıyız.
Adım 1: Doğrulardan gelen puanı hesaplayalım.
Yusuf 12 doğru yapmış ve her doğru +5 puan.
12 ⋅ (+5) = 60 puan.
Adım 2: Yanlışlardan gelen puanı (yani puan kaybını) hesaplayalım.
Yusuf 8 yanlış yapmış ve her yanlış -3 puan.
8 ⋅ (-3) = -24 puan.
Adım 3: Toplam puanı bulmak için bu iki değeri toplayalım.
Toplam Puan = (Doğrulardan Gelen Puan) + (Yanlışlardan Gelen Puan)
Toplam Puan = 60 + (-24)
Toplam Puan = 60 – 24 = 36
Sonuç: Yusuf 36 puan almıştır.
5. Aşağıdaki işlemleri dağılma özelliğinden yararlanarak yapınız.
Dağılma özelliği, çarpmayı kolaylaştıran harika bir yöntemdir. Bir sayıyı, başka bir sayının toplamı veya farkı şeklinde yazarak işlemi daha basit hale getiririz.
a) 14 ⋅ 11
Adım 1: 11 sayısını (10 + 1) olarak yazalım.
14 ⋅ (10 + 1)
Adım 2: 14’ü parantezin içine dağıtalım. Yani 14’ü hem 10 ile hem de 1 ile çarpıp sonuçları toplayalım.
(14 ⋅ 10) + (14 ⋅ 1) = 140 + 14 = 154
Sonuç: 154
b) 23 ⋅ 9
Adım 1: 9 sayısını (10 – 1) olarak yazmak daha kolay olur.
23 ⋅ (10 – 1)
Adım 2: 23’ü parantezin içine dağıtalım.
(23 ⋅ 10) – (23 ⋅ 1) = 230 – 23 = 207
Sonuç: 207
c) 8 ⋅ 101
Adım 1: 101’i (100 + 1) olarak yazalım.
8 ⋅ (100 + 1)
Adım 2: 8’i dağıtalım.
(8 ⋅ 100) + (8 ⋅ 1) = 800 + 8 = 808
Sonuç: 808
ç) 10 ⋅ 98
Adım 1: 98’i (100 – 2) olarak yazalım.
10 ⋅ (100 – 2)
Adım 2: 10’u dağıtalım.
(10 ⋅ 100) – (10 ⋅ 2) = 1000 – 20 = 980
Sonuç: 980
6. Aşağıdaki işlemlerde sembollerin yerine gelmesi gereken tam sayıları dağılma özelliğini kullanarak bulunuz.
Bu soruda dağılma özelliğinin kuralını tersten düşüneceğiz.
a) (-7) ⋅ (5 + 2) = Δ ⋅ 5 + Δ ⋅ ◊
Adım 1: Sol taraftaki (-7) sayısını parantezin içine dağıtalım:
(-7) ⋅ 5 + (-7) ⋅ 2
Adım 2: Bu ifadeyi soruda verilen sağ taraftaki ifadeyle karşılaştıralım:
Δ ⋅ 5 + Δ ⋅ ◊
Gördüğümüz gibi, Δ yerine -7, ◊ yerine ise 2 gelmelidir.
Sonuç: Δ = -7, ◊ = 2
b) 12 ⋅ (Ω – *) = 12 ⋅ 5 – 12 ⋅ 3
Adım 1: Sağ tarafta 12 sayısının ortak çarpan olduğunu görüyoruz. Onu parantezin dışına alalım:
12 ⋅ (5 – 3)
Adım 2: Bu ifadeyi soruda verilen sol taraftaki ifadeyle karşılaştıralım:
12 ⋅ (Ω – *)
Demek ki, Ω yerine 5, * yerine ise 3 gelmelidir.
Sonuç: Ω = 5, * = 3
c) □ ⋅ (3 – 5) = □ ⋅ Δ – 10 ⋅ *
Bu soru biraz daha dikkat gerektiriyor, haydi birlikte çözelim.
Adım 1: Eşitliğin sol tarafını dağıtalım: □ ⋅ 3 – □ ⋅ 5
Adım 2: Şimdi sol ve sağ tarafı yan yana yazıp karşılaştıralım:
□ ⋅ 3 – □ ⋅ 5 = □ ⋅ Δ – 10 ⋅ *
Adım 3: Terimleri eşleştirelim. İlk terimler (□ ⋅ 3) ve (□ ⋅ Δ) birbirine eşit olmalı. Buradan Δ = 3 olduğunu buluruz.
Adım 4: İkinci terimler (- □ ⋅ 5) ve (- 10 ⋅ *) birbirine eşit olmalı. Bu eşitlikte □’nin 10 olduğunu ve *’ın da 5 olduğunu görebiliriz.
Sonuç: □ = 10, Δ = 3, * = 5
7. (-9) sayısının toplamaya göre tersi ile 8 sayısının toplamaya göre tersinin çarpımları kaçtır?
Önce bir hatırlatma: Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir. Çünkü bir sayı ile toplamaya göre tersinin toplamı her zaman sıfır (0) olmalıdır.
Adım 1: (-9) sayısının toplamaya göre tersini bulalım.
(-9)’un zıt işaretlisi (+9)’dur. Çünkü (-9) + (+9) = 0.
Yani ilk sayımız: +9
Adım 2: 8 (yani +8) sayısının toplamaya göre tersini bulalım.
(+8)’in zıt işaretlisi (-8)’dir. Çünkü (+8) + (-8) = 0.
Yani ikinci sayımız: -8
Adım 3: Şimdi bu iki sayının çarpımını bulalım.
(+9) ⋅ (-8) = ?
İşaretler farklı olduğu için sonuç negatif (-) olacak. 9 kere 8 ise 72 eder.
Sonuç: -72
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa tekrar sormaktan çekinmeyin. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, iyi çalışmalar