Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersinde harika bir kavrama testini birlikte çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
1. soru:
7-A sınıfındaki öğrencilerin $frac{2}{5}$’i kız öğrencidir. Erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısından 7 fazla olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda bize sınıfın kız öğrenci oranını vermiş ve erkek öğrencilerin kız öğrencilerden 7 fazla olduğunu söylemiş. Bizim bulmamız gereken ise sınıfın toplam mevcudu.
Adım 1: Sınıfın tamamını bir bütün olarak düşünelim, yani 1 tam. Kız öğrencilerin oranı $frac{2}{5}$ olduğuna göre, erkek öğrencilerin oranını bulmak için bütünden kızların oranını çıkarırız.
Erkek öğrenci oranı = 1 – $frac{2}{5}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{5}{5}$ – $frac{2}{5}$ = $frac{3}{5}$
Yani sınıfın $frac{3}{5}$’i erkek öğrencidir.
Adım 2: Erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısından 7 fazlaymış. Bu şu anlama geliyor: Erkeklerin oranı ile kızların oranı arasındaki farkın temsil ettiği sayı 7’dir.
Erkek öğrenci oranı – Kız öğrenci oranı = $frac{3}{5}$ – $frac{2}{5}$ = $frac{1}{5}$
Bu $frac{1}{5}$’lik oran, 7 öğrenciye denk geliyor.
Adım 3: Sınıfın tamamını (yani $frac{5}{5}$’ini) bulmak için, $frac{1}{5}$’lik oranın kaç öğrenciye denk geldiğini bildiğimiz için bu sayıyı 5 ile çarparız.
Sınıf mevcudu = 7 öğrenci * 5 = 35 öğrenci.
Seçenekler:
a) 28
b) 35
c) 42
d) 49
Sonuç: b) 35
2. soru:
Bir havuzun $frac{3}{7}$’si doludur. Bu havuza içindeki suyun yarısı kadar daha su eklendiğinde havuzun 60 litrelik kısmı boş kalmaktadır. Buna göre havuzun tamamı kaç litre su alır?
Çözüm:
Bu soruda bize havuzun ne kadarının dolu olduğunu ve bir miktar su eklendiğinde ne kadar boş kaldığını vermiş. Havuzun tamamının kaç litre su aldığını bulacağız.
Adım 1: Havuzun başlangıçta $frac{3}{7}$’si doluymuş. İçindeki suyun yarısı kadar daha su ekleniyor. Yani eklenen su miktarı, mevcut su miktarının yarısıdır.
Eklenen su miktarı = $frac{3}{7}$ * $frac{1}{2}$ = $frac{3}{14}$
Şimdi havuzun toplam doluluk oranını bulalım:
Toplam doluluk oranı = Başlangıçtaki doluluk + Eklenen su
Toplam doluluk oranı = $frac{3}{7}$ + $frac{3}{14}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{6}{14}$ + $frac{3}{14}$ = $frac{9}{14}$
Yani havuzun $frac{9}{14}$’ü dolmuş.
Adım 2: Havuzun tamamı 1 bütün olduğuna göre, dolan kısmın haricindeki boş kısım ise şudur:
Boş kısım oranı = 1 – $frac{9}{14}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{14}{14}$ – $frac{9}{14}$ = $frac{5}{14}$
Soruda bize bu boş kalan kısmın 60 litre olduğu söyleniyor. Yani havuzun $frac{5}{14}$’ü 60 litreye denk geliyor.
Adım 3: Havuzun tamamının kaç litre olduğunu bulmak için, 60 litrenin bu $frac{5}{14}$’lük orana karşılık geldiğini kullanarak havuzun tamamını (yani $frac{14}{14}$’ünü) hesaplayabiliriz.
Eğer $frac{5}{14}$’ü 60 litre ise, $frac{1}{14}$’ü kaç litredir diye bulalım:
$frac{1}{14}$’ü = 60 litre / 5 = 12 litre.
Şimdi havuzun tamamı olan $frac{14}{14}$’ünü bulmak için bu değeri 14 ile çarparız:
Havuzun tamamı = 12 litre * 14 = 168 litre.
Seçenekler:
a) 168
b) 180
c) 210
d) 420
Sonuç: a) 168
3. soru:
Bir sınıftaki öğrencilerin $frac{1}{3}$’ü futbol, geri kalan öğrenciler de basketbol branşını seçmiştir. Basketbolu seçen öğrenci sayısı 24 olduğuna göre futbolu seçen kaç kişidir?
Çözüm:
Bu soruda bize sınıfın bir kısmının futbol seçtiğini, geri kalanların basketbol seçtiğini ve basketbol seçenlerin sayısını vermiş. Futbol seçenlerin sayısını soruyor.
Adım 1: Sınıfın tamamını yine 1 bütün olarak düşünelim. Futbolu seçenlerin oranı $frac{1}{3}$ ise, geriye kalan basketbolu seçen öğrencilerin oranını bulmak için bütünden futbolu seçenlerin oranını çıkarırız.
Basketbolu seçen öğrenci oranı = 1 – $frac{1}{3}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{3}{3}$ – $frac{1}{3}$ = $frac{2}{3}$
Yani sınıfın $frac{2}{3}$’ü basketbolu seçmiş.
Adım 2: Soruda basketbolu seçen öğrenci sayısının 24 olduğu belirtilmiş. Bu, sınıfın $frac{2}{3}$’lük oranının 24 öğrenciye denk geldiği anlamına gelir.
Adım 3: Futbolu seçen öğrencilerin sayısını bulmamız gerekiyor. Futbolu seçenlerin oranı $frac{1}{3}$ idi. Eğer $frac{2}{3}$’ü 24 öğrenci ise, $frac{1}{3}$’ü bunun yarısı kadar olacaktır.
Futbolu seçen öğrenci sayısı = 24 öğrenci / 2 = 12 öğrenci.
Seçenekler:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
Sonuç: a) 12
4. soru:
Bir sivil toplum kuruluşu, 2021 yılında yaptığı yardımların $frac{1}{4}$’ünü Çocuk Esirgeme Kurumuna, $frac{1}{3}$’ünü o ildeki şehit ve gazi çocuklarının eğitimine, $frac{1}{6}$’sını Kızılay’a bağışlamıştır. Kalan miktarı da huzur evine bağışlamıştır. Bu sivil toplum kuruluşunun 2021 bütçesi 36 000 Türk lirası olduğuna göre, huzur evine bağışlanan miktar kaç Türk lirasıdır?
Çözüm:
Bu soruda bize bir sivil toplum kuruluşunun yardımlarının hangi oranlarda nereye yapıldığı ve kalan kısmın da nereye bağışlandığı söyleniyor. Toplam bütçeyi de vermiş. Huzur evine yapılan bağış miktarını bulacağız.
Adım 1: Yapılan yardımların hangi oranlarda olduğunu toplama işlemimizle bulalım.
Toplam yardım oranı = $frac{1}{4}$ (Çocuk Esirgeme Kurumu) + $frac{1}{3}$ (Şehit ve Gazi Çocukları) + $frac{1}{6}$ (Kızılay)
Bu kesirleri toplamak için paydaları eşitlememiz gerekiyor. En küçük ortak payda 12’dir.
$frac{1}{4}$ = $frac{1 times 3}{4 times 3}$ = $frac{3}{12}$
$frac{1}{3}$ = $frac{1 times 4}{3 times 4}$ = $frac{4}{12}$
$frac{1}{6}$ = $frac{1 times 2}{6 times 2}$ = $frac{2}{12}$
Şimdi toplama işlemini yapalım:
$frac{3}{12}$
+ $frac{4}{12}$
+ $frac{2}{12}$
——-
$frac{9}{12}$
Yani yapılan yardımların toplam oranı $frac{9}{12}$’dir. Bu kesri sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 3’e bölersek $frac{3}{4}$ olur.
Adım 2: Bütçenin tamamı 1 bütün olduğundan, huzur evine bağışlanan miktarı bulmak için bütünden yapılan yardımların toplam oranını çıkarırız.
Huzur evine bağışlanan oran = 1 – $frac{9}{12}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{12}{12}$ – $frac{9}{12}$ = $frac{3}{12}$
Bu kesri de sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 3’e bölersek $frac{1}{4}$ olur.
Demek ki, bütçenin $frac{1}{4}$’ü huzur evine bağışlanmış.
Adım 3: Sivil toplum kuruluşunun toplam bütçesi 36 000 Türk lirasıdır. Huzur evine bağışlanan miktar bu bütçenin $frac{1}{4}$’ü olduğuna göre, hesaplayalım:
Huzur evine bağışlanan miktar = 36 000 TL * $frac{1}{4}$
Huzur evine bağışlanan miktar = 36 000 TL / 4 = 9 000 TL.
Seçenekler:
a) 6000
b) 9000
c) 12 000
d) 18 000
Sonuç: b) 9000
5. soru:
Bir sayının yarısı ile $frac{1}{3}$’ünün toplamı aynı sayının 3 eksiğine eşittir. Bu sayının $frac{5}{2}$’si kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda bize bir sayının farklı işlemlerle elde edilen sonuçlarının eşit olduğu söyleniyor ve bizden o sayının $frac{5}{2}$’sini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Bilinmeyen sayımıza bir isim verelim, örneğin ‘x’ olsun. Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
Sayının yarısı = $frac{x}{2}$
Sayının $frac{1}{3}$’ü = $frac{x}{3}$
Bu ikisinin toplamı = $frac{x}{2}$ + $frac{x}{3}$
Aynı sayının 3 eksiği = x – 3
Şimdi bu ikisinin eşit olduğunu biliyoruz:
$frac{x}{2}$ + $frac{x}{3}$ = x – 3
Adım 2: Eşitliğin sol tarafındaki kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim. En küçük ortak payda 6’dır.
$frac{x}{2}$ = $frac{3x}{6}$
$frac{x}{3}$ = $frac{2x}{6}$
Şimdi toplama işlemini yapalım:
$frac{3x}{6}$ + $frac{2x}{6}$ = $frac{5x}{6}$
Adım 3: Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi:
$frac{5x}{6}$ = x – 3
Bu eşitliği çözmek için x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. x’i eşitliğin sağına alırken işaret değiştirir:
$frac{5x}{6}$ – x = -3
Paydaları eşitleyelim:
$frac{5x}{6}$ – $frac{6x}{6}$ = -3
-$frac{x}{6}$ = -3
Her iki tarafı da -1 ile çarparsak:
$frac{x}{6}$ = 3
Şimdi x’i bulmak için 6 ile çarpalım:
x = 3 * 6
x = 18
Adım 4: Soruda bizden sayının $frac{5}{2}$’sini bulmamız isteniyor. Sayımız 18 olduğuna göre:
Sayının $frac{5}{2}$’si = 18 * $frac{5}{2}$
= $frac{18 times 5}{2}$
= $frac{90}{2}$
= 45
Seçenekler:
a) 18
b) 25
c) 35
d) 45
Sonuç: d) 45
6. soru:
Ali maaşının $frac{1}{6}$’sını kiraya, $frac{3}{14}$’ünü mutfak masraflarına, $frac{1}{7}$’sini kırtasiye masraflarına ve $frac{1}{21}$’ini de ulaşım giderlerine harcamaktadır. Bu harcamalarından sonra Ali’nin maaşından geriye 2520 Türk lirası kaldığına göre Ali’nin maaşı kaç Türk lirasıdır?
Çözüm:
Bu soruda Ali’nin maaşından yaptığı harcamaların oranlarını ve harcamalar sonucunda kalan parayı vermiş. Ali’nin maaşının tamamını bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Ali’nin yaptığı tüm harcamaların oranlarını toplayalım.
Toplam harcama oranı = $frac{1}{6}$ (Kira) + $frac{3}{14}$ (Mutfak) + $frac{1}{7}$ (Kırtasiye) + $frac{1}{21}$ (Ulaşım)
Bu kesirleri toplamak için paydaları eşitlememiz gerekiyor. En küçük ortak payda 42’dir.
$frac{1}{6}$ = $frac{1 times 7}{6 times 7}$ = $frac{7}{42}$
$frac{3}{14}$ = $frac{3 times 3}{14 times 3}$ = $frac{9}{42}$
$frac{1}{7}$ = $frac{1 times 6}{7 times 6}$ = $frac{6}{42}$
$frac{1}{21}$ = $frac{1 times 2}{21 times 2}$ = $frac{2}{42}$
Şimdi toplama işlemini yapalım:
$frac{7}{42}$
+ $frac{9}{42}$
+ $frac{6}{42}$
+ $frac{2}{42}$
——-
$frac{24}{42}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 6’ya bölersek $frac{4}{7}$ olur.
Yani Ali maaşının $frac{4}{7}$’sini harcamış.
Adım 2: Maaşın tamamı 1 bütün olduğuna göre, kalan para oranını bulmak için bütünden harcanan oranı çıkarırız.
Kalan para oranı = 1 – $frac{4}{7}$
Paydaları eşitleyelim: $frac{7}{7}$ – $frac{4}{7}$ = $frac{3}{7}$
Ali’nin maaşının $frac{3}{7}$’si 2520 TL’ye denk geliyormuş.
Adım 3: Ali’nin maaşının tamamını bulmak için, kalan para oranının ( $frac{3}{7}$ ) temsil ettiği miktarı (2520 TL) kullanarak hesaplama yaparız.
Eğer $frac{3}{7}$’si 2520 TL ise, $frac{1}{7}$’si kaç TL’dir diye bulalım:
$frac{1}{7}$’si = 2520 TL / 3 = 840 TL.
Şimdi Ali’nin maaşının tamamı olan $frac{7}{7}$’ünü bulmak için bu değeri 7 ile çarparız:
Ali’nin maaşı = 840 TL * 7 = 5880 TL.
Seçenekler:
a) 4280
b) 4470
c) 5760
d) 5880
Sonuç: d) 5880
7. soru:
Bir telin ucundan $frac{2}{5}$’i kesildiğinde orta noktası 18 cm kaydığına göre telin ilk uzunluğu kaç santimetredir?
Çözüm:
Bu soruda telin bir kısmının kesildiğinde orta noktasının ne kadar kaydığı verilmiş. Telin ilk uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Adım 1: Telin ilk uzunluğunu bir bütün olarak düşünelim. Telin $frac{2}{5}$’i kesilmiş.
Kesilen kısım telin uzunluğunun $frac{2}{5}$’ine denk geliyor.
Adım 2: Bir telin orta noktası, telin tam ortasıdır. Telin $frac{2}{5}$’i kesildiğinde, bu kesilen kısım telin bir ucundan başlayarak ilerlemiş demektir. Orta noktanın kayması, aslında kesilen kısmın yarısı kadardır. Çünkü telin orta noktası, kesilen kısmın iki ucuna da eşit uzaklıkta olacaktır.
Yani, kesilen kısmın yarısı, orta noktanın kaydığı mesafeye eşittir.
Kesilen kısmın yarısı = $frac{2}{5}$ * $frac{1}{2}$ = $frac{1}{5}$
Adım 3: Soruda orta noktanın 18 cm kaydığı söylenmiş. Bu da demek oluyor ki, telin $frac{1}{5}$’lik kısmı 18 cm’ye denk geliyor.
Eğer telin $frac{1}{5}$’i 18 cm ise, telin tamamını (yani $frac{5}{5}$’ini) bulmak için bu değeri 5 ile çarparız.
Telin ilk uzunluğu = 18 cm * 5 = 90 cm.
Seçenekler:
a) 45
b) 60
c) 90
d) 105
Sonuç: c) 90
8. soru:
Bir bisikletli parkurun $frac{1}{6}$’sı gittikten sonra kalan yolun kaçta kaçını daha giderse bütün yolun $frac{3}{4}$’ünü tamamlamış olur?
Çözüm:
Bu soruda bisikletlinin yolun ne kadarını gittiği ve toplam yolun ne kadarını tamamlamak istediği bilgileri var. Kalan yolun ne kadarının daha gitmesi gerektiğini bulacağız.
Adım 1: Bisikletli parkurun $frac{1}{6}$’sını gitmiş. Toplamda yolun $frac{3}{4}$’ünü tamamlamak istiyor.
Bisikletlinin daha gitmesi gereken yol miktarı = Hedeflenen yol – Gidilen yol
Daha gidilmesi gereken yol = $frac{3}{4}$ – $frac{1}{6}$
Adım 2: Bu kesirleri çıkarmak için paydaları eşitlememiz gerekiyor. En küçük ortak payda 12’dir.
$frac{3}{4}$ = $frac{3 times 3}{4 times 3}$ = $frac{9}{12}$
$frac{1}{6}$ = $frac{1 times 2}{6 times 2}$ = $frac{2}{12}$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
$frac{9}{12}$
– $frac{2}{12}$
——-
$frac{7}{12}$
Bu sonuç, bisikletlinin toplam yolun $frac{7}{12}$’sini daha gitmesi gerektiğini gösteriyor.
Adım 3: Ancak soru şöyle sorulmuş: “kalan yolun kaçta kaçını daha giderse…” Bu şu anlama geliyor: Bisikletli yolun $frac{1}{6}$’sını gittikten sonra bir miktar yol kalıyor. Bu kalan yolun ne kadarını daha giderse, toplamda $frac{3}{4}$’ünü tamamlamış olur?
Önce kalan yolu bulalım:
Kalan yol = 1 (Toplam yol) – $frac{1}{6}$ (Gidilen yol)
Kalan yol = $frac{6}{6}$ – $frac{1}{6}$ = $frac{5}{6}$
Şimdi, bisikletlinin tamamlamak istediği yol $frac{3}{4}$ idi. Gittiği yol $frac{1}{6}$ idi. Yani hedefe ulaşmak için gitmesi gereken yol $frac{7}{12}$ idi.
Bu gitmesi gereken $frac{7}{12}$’lik yol, kalan yolun ne kadarını oluşturuyor? Kalan yol $frac{5}{6}$ idi.
Bu bir oran sorusu. Yani, $frac{7}{12}$’nin $frac{5}{6}$’ya oranı soruluyor. Oranı bulmak için bölme işlemi yaparız:
$frac{7}{12}$ / $frac{5}{6}$ = $frac{7}{12}$ * $frac{6}{5}$
Bu çarpma işlemini yapalım:
$frac{7 times 6}{12 times 5}$ = $frac{42}{60}$
Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı da 6’ya bölersek $frac{7}{10}$ olur.
Yani bisikletli, kalan yolun $frac{7}{10}$’unu daha giderse, toplam yolun $frac{3}{4}$’ünü tamamlamış olur.
Seçenekler:
a) $frac{1}{12}$
b) $frac{1}{4}$
c) $frac{5}{12}$
d) $frac{7}{10}$
Sonuç: d) $frac{7}{10}$