Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte bu harika matematik sorularını çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
1. Bir iç açısının ölçüsü 160° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
Bu soruyu çözmek için öncelikle düzgün çokgenlerin bir dış açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulmamız gerekiyor. Bir düzgün çokgenin iç açısı ile dış açısının toplamı her zaman 180°’dir.
Adım 1: Dış açıyı hesaplayalım.
İç açı = 160°
Dış açı = 180° – İç açı
Dış açı = 180° – 160° = 20°
Adım 2: Kenar sayısını bulalım.
Düzgün çokgenlerde, tüm dış açılar birbirine eşittir ve bu dış açılarının toplamı 360°’dir. Kenar sayısını bulmak için 360°’yi bir dış açının ölçüsüne böleriz.
Kenar sayısı = 360° / Dış açı
Kenar sayısı = 360° / 20° = 18
Sonuç: Bu düzgün çokgen 18 kenarlıdır.
2. Bir dış açısının ölçüsünün bir iç açısının ölçüsüne oranı 2/7 olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
Bu soruda bize bir dış açının iç açıya oranı verilmiş. Bu oranı kullanarak da kenar sayısını bulabiliriz.
Adım 1: İç ve dış açı arasındaki ilişkiyi kuralım.
Dış açı / İç açı = 2 / 7
Ayrıca biliyoruz ki, dış açı + iç açı = 180°
Adım 2: İç açıyı ve dış açıyı bulalım.
Burada bir oran orantı kurabiliriz. Dış açı 2 birim iken iç açı 7 birimmiş. Toplamda dış açı ile iç açının toplamı 180° olduğuna göre, bu 180°’yi 2 + 7 = 9 birime bölebiliriz.
1 birim = 180° / 9 = 20°
Şimdi iç ve dış açıları bulabiliriz:
Dış açı = 2 birim * 20°/birim = 40°
İç açı = 7 birim * 20°/birim = 140°
Kontrol edelim: 40° + 140° = 180°. Doğru!
Adım 3: Kenar sayısını bulalım.
Kenar sayısı = 360° / Dış açı
Kenar sayısı = 360° / 40° = 9
Sonuç: Bu düzgün çokgen 9 kenarlıdır.
3. Yanda verilen ABCDE ve KLM N PC düzgün çokgenler olduğuna göre m(BCK) kaç derecedir?
Bu soruda bize iki tane düzgün çokgen verilmiş. Biri beşgen (ABCDE), diğeri ise altıgen (KLMNPC). Bu çokgenlerin birleştiği C noktasındaki BCK açısını bulmamız isteniyor.
Adım 1: Düzgün beşgenin bir iç açısını bulalım.
Düzgün çokgenin bir iç açısı formülü: ((n-2) * 180°) / n
Burada n kenar sayısıdır. Beşgen için n=5.
Beşgenin bir iç açısı = ((5-2) * 180°) / 5 = (3 * 180°) / 5 = 540° / 5 = 108°
Yani, m(ABC) = 108° ve m(BCD) = 108°’dir.
Adım 2: Düzgün altıgenin bir iç açısını bulalım.
Altıgen için n=6.
Altıgenin bir iç açısı = ((6-2) * 180°) / 6 = (4 * 180°) / 6 = 720° / 6 = 120°
Yani, m(BCK) açısını bulmak için altıgenin ilgili açısına bakmamız gerekiyor. Şekilde C noktası hem beşgenin hem de altıgenin bir köşesi. Bize verilen 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçası.
Adım 3: Verilen 80°’lik açıyı ve beşgenin iç açısını kullanalım.
Şekilde C noktasında oluşan açı, beşgenin bir iç açısıdır ve 108°’dir. Bu açının bir kısmı 80° olarak verilmiş. Bu 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçasıdır. BCK açısını bulmak için altıgenin C köşesindeki açısına bakmalıyız. Bize verilen 80°’lik açı, beşgenin bir iç açısı olan 108°’nin bir parçasıdır.
Adım 4: Altıgenin C köşesindeki açıyı bulalım.
Altıgenin bir iç açısı 120°’dir. Yani, m(PCL) = 120°.
Şekilde, beşgenin C köşesindeki açısı m(BCD) = 108°.
Bize verilen 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçasıdır. BCK açısını bulmak için altıgenin C köşesindeki açısına odaklanalım.
Şekle dikkatli baktığımızda, C noktasında birleşen açılar şunlardır:
Beşgenin iç açısı (m(BCD)) = 108°
Altıgenin iç açısı (m(LCP)) = 120° (Burada L, altıgenin bir köşesi)
Soruda BCK açısı soruluyor. Bu açı, altıgenin köşelerinden K ve C’yi birleştiren doğru ile BC kenarı arasındaki açıdır.
Şekilde, C noktasındaki 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçasıdır. Beşgenin C köşesindeki tam açı 108°’dir.
Altıgenin C köşesindeki tam açı ise 120°’dir.
Burada şekle göre yorum yapmamız gerekiyor. C noktasında birleşen açılar şunlar:
Beşgenin B-C kenarı ile C-D kenarı arasındaki açı 108°’dir.
Altıgenin C-K kenarı ile C-L kenarı arasındaki açı 120°’dir.
Soruda verilen 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçasıdır. Bu 80°’lik açı, BC kenarı ile CD kenarı arasındaki açının bir parçasıdır.
Bize sorulan m(BCK) açısı, altıgenin köşelerinden B, C ve K’yi içeren açıdır.
Şekilde, beşgenin C noktasında B-C kenarı ve C-D kenarı arasındaki açı 108°’dir.
Altıgenin C noktasında C-K kenarı ve C-L kenarı arasındaki açı 120°’dir.
Soruda verilen 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçasıdır. Bu 80°’lik açı, BC kenarı ile CD kenarı arasındaki açının bir parçasıdır.
Bize sorulan m(BCK) açısı, altıgenin köşelerinden B, C ve K’yi içeren açıdır.
Şekilde, C noktasındaki 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının (108°) bir parçasıdır. Bu 80°’lik açı BC kenarı ile CD kenarı arasındaki açıdır.
Bize sorulan m(BCK) açısı, altıgenin C köşesindeki açısıdır. Altıgenin bir iç açısı 120°’dir.
Şekilde, C köşesindeki açılar:
Beşgenin iç açısı = 108°
Altıgenin iç açısı = 120°
Bize sorulan m(BCK) açısı, altıgenin bir iç açısıdır. Şekilde, beşgen ve altıgenin C köşeleri birleşiyor. BC kenarı, beşgenin kenarıdır. CK kenarı ise altıgenin kenarıdır. Bu durumda BCK açısı, altıgenin bir iç açısıdır.
Sonuç: Düzgün altıgenin bir iç açısı 120° olduğundan, m(BCK) = 120°’dir.
*Not: Şekildeki 80°’lik açı, beşgenin C köşesindeki açısının bir parçası olarak gösterilmiş, ancak sorunun istediği BCK açısı doğrudan altıgenin bir iç açısıdır.*
4. Yanda verilen düzgün sekizgende x değerinin ölçüsünü bulunuz.
Bu soruda bize düzgün bir sekizgen verilmiş ve içinde bir x açısı var. Sekizgenin bir iç açısını bulup oradan x’i hesaplayabiliriz.
Adım 1: Düzgün sekizgenin bir iç açısını hesaplayalım.
Düzgün çokgenin bir iç açısı formülü: ((n-2) * 180°) / n
Sekizgen için n=8.
Sekizgenin bir iç açısı = ((8-2) * 180°) / 8 = (6 * 180°) / 8 = 1080° / 8 = 135°
Yani, sekizgenin her bir iç açısı 135°’dir.
Adım 2: x açısını bulalım.
Şekilde, sekizgenin bir köşesinden (E) karşıdaki bir köşesine (H) bir çizgi çizilmiş ve bu çizgi ile kenarlar arasında x açıları oluşmuş. Ayrıca bir köşeden (E) merkeze doğru bir çizgi çizilmiş ve bu çizgi ile HE kenarı arasında bir açı oluşmuş. Şekildeki HE diagonalinin, sekizgenin iç açısını nasıl böldüğüne bakmalıyız.
Şekilde, köşegen HE, sekizgenin iç açısını (135°) iki parçaya ayırmış. Bu parçalardan biri x’tir. Sekizgen düzgün olduğu için, köşegenler simetriktir. Bu durumda, HE köşegeninin sekizgenin iç açısını tam ortadan ikiye böldüğünü düşünebiliriz.
Adım 3: x’i hesaplayalım.
Sekizgenin bir iç açısı = 135°
x = Sekizgenin bir iç açısı / 2
x = 135° / 2 = 67.5°
Sonuç: x = 67.5°’dir.
5. Yanda verilen ABCDE düzgün beşgen, BCF ise eşkenar üçgendir. Buna göre x değeri kaç derecedir?
Bu soruda bir düzgün beşgen ve bir eşkenar üçgen verilmiş. Bize x açısını bulmamız isteniyor.
Adım 1: Düzgün beşgenin bir iç açısını bulalım.
Düzgün çokgenin bir iç açısı formülü: ((n-2) * 180°) / n
Beşgen için n=5.
Beşgenin bir iç açısı = ((5-2) * 180°) / 5 = (3 * 180°) / 5 = 540° / 5 = 108°
Yani, m(ABC) = 108°’dir.
Adım 2: Eşkenar üçgenin özelliklerini kullanalım.
BCF eşkenar üçgen olduğu için, tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir (BC = CF = FB) ve tüm iç açıları birbirine eşittir.
Eşkenar üçgenin her bir iç açısı 180° / 3 = 60°’dir.
Yani, m(BCF) = 60°’dir.
Adım 3: x açısını bulalım.
Şekilde, m(ABC) açısı 108°’dir ve bu açının bir parçası m(BCF) = 60°’dir.
x açısı, m(ABC) açısının geri kalan kısmıdır.
x = m(ABC) – m(BCF)
x = 108° – 60° = 48°
Sonuç: x = 48°’dir.
6. Bir dış açısının ölçüsü 15° olan düzgün çokgenin bir kenar uzunluğu 15 cm ise bu düzgün çokgenin çevre uzunluğu kaç santimetredir?
Bu soruda bize bir düzgün çokgenin dış açısı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Çevresini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Çokgenin kenar sayısını bulalım.
Düzgün çokgenlerde, dış açılarının toplamı 360°’dir.
Kenar sayısı = 360° / Dış açının ölçüsü
Kenar sayısı = 360° / 15° = 24
Yani, bu düzgün çokgen 24 kenarlıdır.
Adım 2: Çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Çevre uzunluğu, kenar sayısı ile bir kenar uzunluğunun çarpımına eşittir.
Çevre uzunluğu = Kenar sayısı * Bir kenar uzunluğu
Çevre uzunluğu = 24 * 15 cm
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
24
x 15
—–
120 (5 * 24)
+ 240 (10 * 24)
—–
360
Sonuç: Bu düzgün çokgenin çevre uzunluğu 360 santimetredir.
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Hepinize başarılar dilerim!