Harika bir çalışma! Matematik dersimize hoş geldin. Bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutma, matematikte önemli olan sadece doğru cevabı bulmak değil, aynı zamanda o cevaba nasıl ulaştığımızı anlamaktır. Haydi başlayalım!
1. Soru: Aşağıdaki işlemlerde sembollerin yerine gelmesi gereken rasyonel sayıları çarpma işleminin özelliklerinden yararlanarak bulunuz.
a) (2/3) ⋅ (5/7) = (5/7) ⋅ □
Çözüm:
Sevgili öğrencim, burada çarpma işleminin değişme özelliğini görüyoruz. Hatırlarsan, iki sayıyı çarparken yerlerini değiştirmemiz sonucu etkilemezdi. Tıpkı 5 x 3’ün 3 x 5’e eşit olması gibi! Bu kural rasyonel sayılar için de geçerlidir.
Eşitliğin sol tarafında 2/3 ile 5/7 çarpılmış. Sağ tarafında ise 5/7 ile bir sayı çarpılıyor ve sonuç aynı. Bu durumda boş kutuya gelmesi gereken sayı tabii ki 2/3‘tür.
Sonuç: □ = 2/3
b) (1/2) ⋅ [(-2/5) ⋅ (-3/7)] = [(1/2) ⋅ Δ] ⋅ (-3/7)
Çözüm:
Bu soruda ise çarpma işleminin birleşme özelliği kullanılmış. Üç veya daha fazla sayıyı çarparken, hangi ikisini önce parantez içine alıp çarptığımızın bir önemi yoktur, sonuç değişmez.
Eşitliğin sol tarafında parantez içinde (-2/5) ve (-3/7) var. Sağ tarafta ise parantez içinde (1/2) ile Δ var. Eşitliğin sağlanması için her iki tarafta da aynı sayıların olması gerekir. Baktığımızda, her iki tarafta da 1/2 ve -3/7 sayıları var. Eksik olan sayı hangisi? Evet, -2/5!
Sonuç: Δ = -2/5
c) (-6/11) ⋅ ∇ = (-6/11)
Çözüm:
Bir sayıyı hangi sayıyla çarparsak sonuç yine kendisi olur? Aferin! Tabii ki 1 ile. Çarpma işleminde 1, etkisiz elemandır. Bir sayıyı 1 ile çarpmak sonucu değiştirmez.
Burada da (-6/11) sayısı bir sayıyla çarpılmış ve sonuç yine (-6/11) olmuş. Demek ki bu sembolün yerine 1 gelmelidir.
Sonuç: ∇ = 1
ç) ◊ ⋅ (8/7) = 0
Çözüm:
Çarpma işleminde sonucu 0 yapan özel bir sayımız vardı, hatırladın mı? Elbette, bu sayı 0’dır. Sıfır, çarpma işleminde yutan elemandır. Hangi sayıyla çarpılırsa çarpılsın sonucu sıfır yapar.
İşlemde sonuç 0 olduğuna göre, çarpanlardan birinin mutlaka 0 olması gerekir. O halde sembolümüzün değeri 0‘dır.
Sonuç: ◊ = 0
d) (-3/2) ⋅ (-2/3) = ◊
Çözüm:
Bu soruda çarpma işleminin ters eleman özelliği karşımıza çıkıyor. Bir rasyonel sayıyı, onun çarpma işlemine göre tersiyle (yani pay ve paydasının yer değiştirmiş haliyle) çarptığımızda sonuç daima 1 olur.
(-3/2) sayısının çarpma işlemine göre tersi (-2/3)’tür. Bu iki sayı çarpıldığında sonuç etkisiz eleman olan 1‘e eşit olur.
İstersen sağlamasını yapalım: (-3 ⋅ -2) / (2 ⋅ 3) = 6 / 6 = 1.
Sonuç: ◊ = 1
2. Soru: Aşağıda verilen işlemleri yapınız.
a) (2/5) ⋅ (3/7) = …
Çözüm:
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken kuralımız çok basitti: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
Payları çarpalım: 2 ⋅ 3 = 6
Paydaları çarpalım: 5 ⋅ 7 = 35
Sonuç: 6/35
b) (-2 1/2) ⋅ (-3/4) = …
Çözüm:
Adım 1: Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmeliyiz. Bu, işlem yapmamızı çok kolaylaştırır.
-2 1/2 = -[(2 ⋅ 2 + 1) / 2] = -5/2
Adım 2: Şimdi çarpma işlemimizi yapabiliriz. Unutma, eksi ile eksinin çarpımı artıdır!
(-5/2) ⋅ (-3/4) = (+ (5 ⋅ 3)) / (2 ⋅ 4) = 15/8
Sonuç: 15/8
c) (-3/2) ⋅ (-1) = …
Çözüm:
Bir sayıyı -1 ile çarpmak, o sayının sadece işaretini değiştirir. Eksi olan sayımız artı olacaktır.
(-3/2) ⋅ (-1) = +3/2
Sonuç: 3/2
ç) (8/9) ⋅ 0 = …
Çözüm:
Yukarıda da konuşmuştuk, 0 çarpma işleminde yutan elemandır. Yani hangi sayıyla çarpılırsa çarpılsın sonuç her zaman sıfır olur.
Sonuç: 0
3. Soru: Aşağıda verilen ifadelerin çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliklerinden faydalanarak sonuçlarını bulunuz.
a) (2/3) ⋅ (4/5 + 1/2) = …
Çözüm:
Burada çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini kullanacağız. Yani parantezin dışındaki sayıyı, içerideki her bir sayı ile ayrı ayrı çarpıp sonuçları toplayacağız.
Adım 1: Dağılma özelliğini uygulayalım.
(2/3) ⋅ (4/5) + (2/3) ⋅ (1/2)
Adım 2: Her bir çarpma işlemini ayrı ayrı yapalım.
İlk çarpım: (2 ⋅ 4) / (3 ⋅ 5) = 8/15
İkinci çarpım: (2 ⋅ 1) / (3 ⋅ 2) = 2/6 (Bunu sadeleştirip 1/3 yapabiliriz)
Adım 3: Bulduğumuz sonuçları toplayalım. Toplama yapmak için paydaları eşitlememiz gerekiyor.
(8/15) + (1/3) (1/3’ü 5 ile genişletelim)
(8/15) + (5/15) = 13/15
Sonuç: 13/15
b) (-1/2) ⋅ (4/5 – 1/3) = …
Çözüm:
Bu sefer de çarpma işleminin çıkarma üzerine dağılma özelliğini kullanacağız. Mantık tamamen aynı!
Adım 1: Dağılma özelliğini uygulayalım.
[(-1/2) ⋅ (4/5)] – [(-1/2) ⋅ (1/3)]
Adım 2: Her bir çarpma işlemini yapalım.
İlk çarpım: (-1 ⋅ 4) / (2 ⋅ 5) = -4/10 (Sadeleştirirsek -2/5 olur)
İkinci çarpım: (-1 ⋅ 1) / (2 ⋅ 3) = -1/6
Adım 3: Şimdi çıkarma işlemini yapalım. İlk sonuçtan ikinci sonucu çıkaracağız.
(-2/5) – (-1/6) = (-2/5) + (1/6) (İki eksi yan yana gelince artı oldu)
Paydaları 30’da eşitleyelim. İlk kesri 6 ile, ikinci kesri 5 ile genişletelim.
(-12/30) + (5/30) = -7/30
Sonuç: -7/30
4. Soru: Aşağıdaki sayı doğrusunda ardışık her iki tam sayı arası kendi içinde eş parçalara ayrılmıştır. Sayı doğrusunda verilen rasyonel sayılara göre istenilen işlemlerin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce A, B, C ve D noktalarına karşılık gelen rasyonel sayıları doğru bir şekilde bulmalıyız.
- A noktası: 1 ile 2 arası 8 eş parçaya bölünmüş. A, 1’den sonra 7. çizgide. O halde A = 1 tam 7/8 = 15/8
- B noktası: 0 ile 1 arası 2 eş parçaya bölünmüş. B, 0’dan sonra 1. çizgide. O halde B = 1/2
- C noktası: -1 ile 0 arası 3 eş parçaya bölünmüş. C, 0’dan geriye doğru 1. çizgide. O halde C = -1/3
- D noktası: -2 ile -1 arası 2 eş parçaya bölünmüş. D, -1’den geriye doğru 1. çizgide. O halde D = -1 tam 1/2 = -3/2
Harika! Şimdi bu sayılarla istenen işlemleri yapabiliriz.
a) A ⋅ B
(15/8) ⋅ (1/2) = (15 ⋅ 1) / (8 ⋅ 2) = 15/16
b) A ⋅ C
(15/8) ⋅ (-1/3) = (15 ⋅ -1) / (8 ⋅ 3) = -15/24. Sadeleştirme yapalım (her iki tarafı da 3’e bölelim). = -5/8
c) C ⋅ D
(-1/3) ⋅ (-3/2) = (-1 ⋅ -3) / (3 ⋅ 2) = 3/6. Sadeleştirelim. = 1/2
ç) B ⋅ D
(1/2) ⋅ (-3/2) = (1 ⋅ -3) / (2 ⋅ 2) = -3/4
d) B ⋅ C
(1/2) ⋅ (-1/3) = (1 ⋅ -1) / (2 ⋅ 3) = -1/6
e) A ⋅ D
(15/8) ⋅ (-3/2) = (15 ⋅ -3) / (8 ⋅ 2) = -45/16
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Çok güzel bir iş çıkardın! Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin.