Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorular göndermişsin! Matematik, özellikle de geometri, adım adım ilerlediğimizde çok daha kolay ve zevkli hale gelir. Şimdi gönderdiğin bu “Kazanım Kavrama Testi – 19″daki soruları birlikte, tane tane çözelim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, her adımı anlayarak ilerleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!
1. Soru: Verilen şekilde A ve C merkezli iki çember B noktasında kesişmektedir. |AB| = 3|BC| ve |AC| = 12 cm olduğuna göre şeklin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruda iki tane dairenin alanlarını bulup toplamamız isteniyor. Dairenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = π * r² (Yani, pi sayısı ile yarıçapın karesinin çarpımı).
- Adım 1: Öncelikle dairelerin yarıçaplarını bulmalıyız. Soruda bize |AB| uzunluğunun |BC| uzunluğunun 3 katı olduğu söylenmiş. Yani, küçük dairenin yarıçapına bir harf verelim, mesela ‘k’ diyelim.
|BC| = k ise, |AB| = 3k olur.
- Adım 2: Şekle baktığımızda |AC| uzunluğunun, |AB| ve |BC| uzunluklarının toplamı olduğunu görüyoruz.
|AC| = |AB| + |BC| = 3k + k = 4k
- Adım 3: Soruda bize |AC| = 12 cm olduğu verilmiş. Öyleyse bulduğumuz 4k’yı 12’ye eşitleyebiliriz.
4k = 12
k = 12 / 4 = 3 cm
Harika! Şimdi ‘k’ değerini bildiğimize göre yarıçapları bulabiliriz.
Küçük dairenin yarıçapı (|BC|) = k = 3 cm
Büyük dairenin yarıçapı (|AB|) = 3k = 3 * 3 = 9 cm
- Adım 4: Şimdi her iki dairenin alanını ayrı ayrı hesaplayalım. (π=3 almayı unutmuyoruz!)
Büyük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 9² = 3 * 81 = 243 cm²
Küçük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 3² = 3 * 9 = 27 cm²
- Adım 5: Son olarak, şeklin toplam alanını bulmak için bu iki alanı topluyoruz.
Toplam Alan = 243 + 27 = 270 cm²
Sonuç: D) 270
2. Soru: Yukarıdaki dikdörtgenin içine şekildeki gibi bir noktada kesişen iki daire yerleştirilmiştir. Dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre boyalı alan kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu tür sorularda her zaman bir stratejimiz olmalı. Buradaki stratejimiz şu: Tüm şeklin alanından (dikdörtgen) istenmeyen kısmın alanını (iki daire) çıkarmak.
- Adım 1: Önce dairelerin yarıçapını bulalım. Şekle dikkatlice bakarsan, dikdörtgenin kısa kenarının dairenin çapına eşit olduğunu görebilirsin.
Kısa kenar = Çap = 8 cm
Yarıçap (r) = Çap / 2 = 8 / 2 = 4 cm
- Adım 2: Şimdi dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. Uzun kenar, yan yana duran iki dairenin çaplarının toplamına eşittir.
Uzun kenar = Çap + Çap = 8 + 8 = 16 cm
- Adım 3: Dikdörtgenin ve dairelerin alanlarını hesaplayalım.
Dikdörtgenin Alanı: Kısa Kenar * Uzun Kenar = 8 * 16 = 128 cm²
Bir Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 4² = 3 * 16 = 48 cm²
Elimizde iki tane daire olduğu için bu alanı 2 ile çarpmalıyız:
İki Dairenin Toplam Alanı: 48 * 2 = 96 cm²
- Adım 4: Son adımda, boyalı alanı bulmak için dikdörtgenin alanından iki dairenin toplam alanını çıkarıyoruz.
Boyalı Alan = Dikdörtgenin Alanı – İki Dairenin Alanı
Boyalı Alan = 128 – 96 = 32 cm²
Sonuç: C) 32
3. Soru: Şekilde |OA| = 2 cm, |AB| = 5 cm olduğuna göre boyalı alan kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu şekil bir halka ya da simit gibi değil mi? Boyalı halkanın alanını bulmak için büyük dairenin alanından içteki küçük beyaz dairenin alanını çıkarmalıyız.
- Adım 1: Önce dairelerin yarıçaplarını belirleyelim.
Küçük Dairenin Yarıçapı (r): |OA| = 2 cm
Büyük Dairenin Yarıçapı (R): |OB| = |OA| + |AB| = 2 + 5 = 7 cm
- Adım 2: Şimdi her iki dairenin alanını da hesaplayalım.
Büyük Dairenin Alanı: π * R² = 3 * 7² = 3 * 49 = 147 cm²
Küçük Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 2² = 3 * 4 = 12 cm²
- Adım 3: Boyalı alanı bulmak için büyük alandan küçük alanı çıkaralım.
Boyalı Alan = Büyük Dairenin Alanı – Küçük Dairenin Alanı
Boyalı Alan = 147 – 12 = 135 cm²
Sonuç: C) 135
4. Soru: Bir otlakta bulunan fıskiye otlağın ortasına yerleştirilmiştir. Fıskiye 8 m uzağa kadar su gönderebildiğine göre fıskiye en fazla kaç m²’lik alanı sulayabilir? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soru aslında bize şunu soruyor: Bir fıskiye etrafını dairesel bir şekilde sular. Suyun ulaştığı en uzak mesafe, bu dairenin yarıçapıdır. O zaman bu dairenin alanı nedir?
- Adım 1: Soruda verilen “8 m uzağa kadar” ifadesi bize dairenin yarıçapını (r) verir.
r = 8 m
- Adım 2: Dairenin alan formülünü kullanarak sulanabilen alanı hesaplayalım.
Alan = π * r² = 3 * 8² = 3 * 64 = 192 m²
Sonuç: D) 192
5. Soru: ABCD bir kare ve |AB| = 12 cm olduğuna göre boyalı bölgenin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Yine bir çıkarma işlemi sorusu! Boyalı alanı bulmak için karenin alanından, beyaz renkli çeyrek dairenin alanını çıkaracağız.
- Adım 1: Karenin alanını hesaplayalım. Karenin bir kenarı 12 cm verilmiş.
Karenin Alanı: Kenar * Kenar = 12 * 12 = 144 cm²
- Adım 2: Şimdi beyaz bölgenin, yani çeyrek dairenin alanını bulalım. Bu çeyrek dairenin merkezi B noktası ve yarıçapı da karenin bir kenarı, yani 12 cm’dir.
Önce tam bir dairenin alanını bulup sonra 4’e bölelim.
Tam Dairenin Alanı: π * r² = 3 * 12² = 3 * 144 = 432 cm²
Çeyrek Dairenin Alanı: Tam Dairenin Alanı / 4 = 432 / 4 = 108 cm²
- Adım 3: Boyalı alanı bulmak için karenin alanından çeyrek dairenin alanını çıkarıyoruz.
Boyalı Alan = Karenin Alanı – Çeyrek Dairenin Alanı
Boyalı Alan = 144 – 108 = 36 cm²
Sonuç: B) 36
6. Soru: Yukarıda A ve B merkezli çemberler verildiğine göre boyalı alanın tüm şeklin alanına oranı kaçtır?
Çözüm:
Oran sorularında, istenen değerleri bulup birbirine bölmemiz gerekir. Burada bizden (Boyalı Alan) / (Tüm Şeklin Alanı) oranını bulmamız isteniyor. Bu soruda sayısal bir değer verilmemiş, o yüzden yarıçapa bir harf vererek ilerleyeceğiz. Bu seni korkutmasın, çok kolay!
- Adım 1: Şekle baktığımızda, büyük dairenin yarıçapının, küçük dairenin çapına eşit olduğunu görüyoruz. Küçük dairenin yarıçapına ‘r’ diyelim.
Küçük dairenin yarıçapı = r
Küçük dairenin çapı = 2r
Öyleyse, büyük dairenin yarıçapı = 2r
- Adım 2: Şimdi bu bilgilere göre alanları hesaplayalım. π’yi sadeleşeceği için olduğu gibi bırakabiliriz.
Tüm Şeklin Alanı (Büyük Dairenin Alanı): π * (2r)² = π * 4r² = 4πr²
Küçük Beyaz Dairenin Alanı: π * r² = πr²
- Adım 3: Boyalı alanı bulalım. Boyalı alan, büyük daireden küçük dairenin çıkarılmasıyla bulunur.
Boyalı Alan = Büyük Alan – Küçük Alan = 4πr² – πr² = 3πr²
- Adım 4: Son adımda bizden istenen oranı yazalım ve sadeleştirelim.
Oran = (Boyalı Alan) / (Tüm Şeklin Alanı)
Oran = (3πr²) / (4πr²)
Gördüğün gibi, hem pay hem de paydada bulunan ‘πr²’ ifadeleri birbirini götürür (sadeleşir).
Oran = 3/4
Sonuç: C) 3/4
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, geometride şekli iyi analiz etmek ve doğru formülleri hatırlamak çok önemlidir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!