Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencim! Matematik dersinde bu hafta harika sorular çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
6.
$(frac{1}{2})^2 div frac{6}{5} – (-frac{1}{2})^3$ işleminin sonucu kaçtır?
Bu soruda üslü ifadeler, bölme ve çıkarma işlemleri var. Adım adım gidelim ki kafamız karışmasın.
Adım 1: Üslü ifadeleri hesaplayalım.
- $(frac{1}{2})^2$ demek, $frac{1}{2}$’yi kendisiyle çarpmak demektir.
$frac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{1 times 1}{2 times 2} = frac{1}{4}$
- $(-frac{1}{2})^3$ demek, $-frac{1}{2}$’yi kendisiyle 3 kere çarpmak demektir. Unutma, tek kuvvetlerde işaret aynı kalır.
$(-frac{1}{2}) times (-frac{1}{2}) times (-frac{1}{2}) = frac{1}{4} times (-frac{1}{2}) = -frac{1}{8}$
Şimdi işlemimiz şu hale geldi: $frac{1}{4} div frac{6}{5} – (-frac{1}{8})$
Adım 2: Bölme işlemini yapalım.
Kesirlerde bölme işlemi yaparken, ikinci kesri ters çevirip çarparız.
$frac{1}{4} div frac{6}{5} = frac{1}{4} times frac{5}{6}$
Şimdi payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarpalım:
$frac{1 times 5}{4 times 6} = frac{5}{24}$
İşlemimiz şimdi şöyle oldu: $frac{5}{24} – (-frac{1}{8})$
Adım 3: Çıkarma işlemini yapalım.
İki eksinin yan yana gelmesi toplama işlemi yapar. Yani, $- (-frac{1}{8})$ aslında $+frac{1}{8}$ demektir.
İşlemimiz: $frac{5}{24} + frac{1}{8}$
Toplama işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekiyor. 24, 8’in katı olduğu için 8’i 24 yapmak daha kolay. 8’i 3 ile çarparsak 24 olur. Kesrin paydasını 3 ile çarptığımızda, payını da 3 ile çarpmamız gerekiyor ki kesrin değeri değişmesin.
$frac{1}{8} = frac{1 times 3}{8 times 3} = frac{3}{24}$
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
$frac{5}{24} + frac{3}{24} = frac{5+3}{24} = frac{8}{24}$
Adım 4: Sadeleştirme yapalım.
Bulduğumuz $frac{8}{24}$ kesrini sadeleştirebiliriz. Hem 8 hem de 24, 8’e bölünebilir.
$frac{8 div 8}{24 div 8} = frac{1}{3}$
Sonuç: $boxed{frac{1}{3}}$
7. Aşağıdakilerden hangisi 0,35 ile 0,352 devirli ondalık gösterimleri arasında yer alır?
- A) 0,351
- B) 0,353
- C) 0,355
- D) 0,357
Bu soruda bize iki sayı verilmiş ve bu iki sayının arasında kalan bir sayı bulmamız isteniyor. Sayıları karşılaştırırken virgülden sonraki basamaklara dikkat etmemiz gerekiyor.
Adım 1: Verilen sayıları inceleyelim.
İlk sayımız 0,35. Bu sayının devamında sıfırlar olduğunu düşünebiliriz: 0,35000…
İkinci sayımız 0,352 devirli. Bu sayının anlamı, 2 rakamı sonsuza kadar tekrar ediyor: 0,352222…
Şimdi aradığımız sayının bu iki sayı arasında olup olmadığını kontrol edelim.
Adım 2: Seçenekleri karşılaştıralım.
- A) 0,351
- B) 0,353
- C) 0,355
- D) 0,357
0,350… ile 0,35222… arasında mı? Evet, 0,351 bu aralığa düşüyor. Çünkü 0,351 hem 0,35’ten büyük hem de 0,35222…’den küçüktür.
0,353 sayısı 0,35222…’den büyük olduğu için aralıkta değildir.
0,355 sayısı da 0,35222…’den büyük olduğu için aralıkta değildir.
0,357 sayısı da 0,35222…’den büyük olduğu için aralıkta değildir.
Gördüğümüz gibi, sadece 0,351 sayısı verilen iki devirli ondalık gösterim arasında yer alıyor.
Sonuç: $boxed{A) 0,351}$
8. $frac{1}{3}$ rasyonel sayısı, çarpma işlemine göre tersi olan sayıya bölünürse bölüm kaç olur?
Bu soruda önce $frac{1}{3}$’ün çarpma işlemine göre tersini bulacağız, sonra da bu iki sayıyı birbirine böleceğiz.
Adım 1: Çarpma işlemine göre tersini bulalım.
Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayıyı 1’e böldüğümüzde elde ettiğimiz sayıdır. Ya da daha basit bir ifadeyle, kesrin payı ile paydasını yer değiştirdiğimizde elde ettiğimiz sayıdır.
$frac{1}{3}$’ün çarpma işlemine göre tersi:
$frac{3}{1} = 3$
Adım 2: Bölme işlemini yapalım.
Soru diyor ki, $frac{1}{3}$ rasyonel sayısı, çarpma işlemine göre tersi olan sayıya bölünsün. Yani, $frac{1}{3}$’ü, 3’e böleceğiz.
$frac{1}{3} div 3$
Bir kesri tam sayıya bölerken, tam sayıyı kesir gibi düşünebiliriz (paydası 1 olur) ve sonra bölme işlemini kesirlerde bölme kuralına göre yaparız.
$3 = frac{3}{1}$
Şimdi bölme işlemini yapalım:
$frac{1}{3} div frac{3}{1}$
İkinci kesri ters çevirip çarpıyoruz:
$frac{1}{3} times frac{1}{3}$
Payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarpalım:
$frac{1 times 1}{3 times 3} = frac{1}{9}$
Sonuç: $boxed{frac{1}{9}}$
9. Bir kenar uzunluğu 6 metre olan kare şeklindeki bir okul kantininin dört köşesine, bir kenar uzunluğu $frac{7}{8}$ metre olan kare şeklindeki masalar konulmuştur. Masaların birbirine en yakın noktalarını köşe kabul eden karesel bölge boyanacaktır. Boyanacak bölgenin çevre uzunluğu kaç metredir?
Bu soruyu adım adım anlayarak çözelim. Kantin kare şeklinde ve masalar da kare şeklinde. Masaların nereye konulduğunu ve boyanacak alanın nasıl bir şekil olacağını hayal etmeye çalışalım.
Adım 1: Kantini ve masaları görselleştirelim.
Okul kantini kenarı 6 metre olan bir kare. Dört köşesine masalar konuluyor. Her masa kenarı $frac{7}{8}$ metre olan bir kare.
Masalar köşelere konulduğu için, kantinin her kenarından $frac{7}{8}$ metre içeride bir alan kaplayacaklar.
Adım 2: Boyanacak alanı belirleyelim.
Boyanacak alan, masaların birbirine en yakın noktalarını köşe kabul eden bir kare olacak. Masalar köşelere konulduğu için, bu boyanacak alan, kantinin ortasında kalan ve masaların kenarlarına değen bir kare şeklinde olacaktır.
Şimdi bu ortadaki karenin kenar uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Adım 3: Ortadaki karenin kenar uzunluğunu hesaplayalım.
Kantinin bir kenar uzunluğu 6 metre. Bu kenarın bir ucundan $frac{7}{8}$ metre masa kaplıyor, diğer ucundan da $frac{7}{8}$ metre masa kaplıyor. Ortada kalan boşluk ise boyanacak karenin bir kenarı olacak.
Ortadaki karenin kenarı = (Kantin kenarı) – (Bir masanın kenarı) – (Diğer masanın kenarı)
Ortadaki karenin kenarı = $6 – frac{7}{8} – frac{7}{8}$
Önce iki tane $frac{7}{8}$’i toplayalım:
$frac{7}{8} + frac{7}{8} = frac{7+7}{8} = frac{14}{8}$
Şimdi 6’dan bu toplamı çıkaracağız. 6’yı kesir olarak yazalım, paydası 1 olan bir kesir: $frac{6}{1}$.
$frac{6}{1} – frac{14}{8}$
Çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. 1’i 8 yapmak için 8 ile çarpmalıyız. Bu durumda payı da 8 ile çarpmalıyız.
$frac{6 times 8}{1 times 8} = frac{48}{8}$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
$frac{48}{8} – frac{14}{8} = frac{48-14}{8} = frac{34}{8}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem 34 hem de 8, 2’ye bölünebilir.
$frac{34 div 2}{8 div 2} = frac{17}{4}$
Demek ki boyanacak karenin bir kenar uzunluğu $frac{17}{4}$ metredir.
Adım 4: Boyanacak bölgenin çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Boyanacak bölge bir kare. Karenin çevresi, bir kenarının 4 katıdır.
Çevre = $4 times (text{kenar uzunluğu})$
Çevre = $4 times frac{17}{4}$
Burada 4’ü $frac{4}{1}$ olarak düşünebiliriz.
Çevre = $frac{4}{1} times frac{17}{4}$
Payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparken, paydaki 4 ile paydadaki 4 birbirini götürecektir (sadeleşir).
Çevre = $1 times 17 = 17$
Sonuç: $boxed{17 text{ metre}}$
10. Ayşe, teknoloji ve tasarım dersinde yukarıda verilen dikdörtgen şeklindeki kartondan oluşabilecek en büyük kareyi çizmiş, geriye kalan parçadan da yine oluşabilecek en büyük kareyi çizip kesmiştir. Bu işlemde en küçük kareyi elde edene kadar devam etmiştir. Elde ettiği en küçük karenin çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soru biraz daha dikkat gerektiriyor. Bize bir dikdörtgen verilmiş ve bu dikdörtgenden sürekli en büyük kareyi keserek küçülteceğimiz bir işlem anlatılıyor. En sonunda elde edeceğimiz en küçük karenin çevresini soruyor.
Adım 1: İlk dikdörtgenin boyutlarını belirleyelim.
Dikdörtgenin kenar uzunlukları $frac{58}{7}$ cm ve $frac{23}{7}$ cm olarak verilmiş.
Adım 2: İlk kareyi keselim.
Dikdörtgenden oluşabilecek en büyük kareyi çizmek için, kısa kenarı kullanırız. Kısa kenarımız $frac{23}{7}$ cm. Demek ki bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz ilk karenin kenarı: $frac{23}{7}$ cm.
Bu kareden sonra dikdörtgenin kalan parçası ne olur? Dikdörtgenin uzun kenarından, kestiğimiz karenin kenarını çıkarırız.
Kalan parçanın uzun kenarı = $frac{58}{7} – frac{23}{7} = frac{58-23}{7} = frac{35}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise ilk karenin kenarı kadardır: $frac{23}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{35}{7}$ cm’ye $frac{23}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Adım 3: İkinci kareyi keselim.
Şimdi elimizde $frac{35}{7}$ cm’ye $frac{23}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen var. Bu dikdörtgenden oluşabilecek en büyük kareyi çizeceğiz. Yine kısa kenarı kullanırız.
Kısa kenarımız $frac{23}{7}$ cm. Bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz ikinci karenin kenarı: $frac{23}{7}$ cm.
Bu kareden sonra kalan parçanın uzun kenarı = $frac{35}{7} – frac{23}{7} = frac{35-23}{7} = frac{12}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise bu karenin kenarı kadardır: $frac{23}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{12}{7}$ cm’ye $frac{23}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Adım 4: Üçüncü kareyi keselim.
Elimizde $frac{12}{7}$ cm’ye $frac{23}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen var. En büyük kareyi çizeceğiz.
Kısa kenarımız $frac{12}{7}$ cm. Bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz üçüncü karenin kenarı: $frac{12}{7}$ cm.
Bu kareden sonra kalan parçanın uzun kenarı = $frac{23}{7} – frac{12}{7} = frac{23-12}{7} = frac{11}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise bu karenin kenarı kadardır: $frac{12}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{11}{7}$ cm’ye $frac{12}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Adım 5: Dördüncü kareyi keselim.
Elimizde $frac{11}{7}$ cm’ye $frac{12}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen var. En büyük kareyi çizeceğiz.
Kısa kenarımız $frac{11}{7}$ cm. Bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz dördüncü karenin kenarı: $frac{11}{7}$ cm.
Bu kareden sonra kalan parçanın uzun kenarı = $frac{12}{7} – frac{11}{7} = frac{12-11}{7} = frac{1}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise bu karenin kenarı kadardır: $frac{11}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{1}{7}$ cm’ye $frac{11}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Adım 6: Beşinci kareyi keselim.
Elimizde $frac{1}{7}$ cm’ye $frac{11}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen var. En büyük kareyi çizeceğiz.
Kısa kenarımız $frac{1}{7}$ cm. Bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz beşinci karenin kenarı: $frac{1}{7}$ cm.
Bu kareden sonra kalan parçanın uzun kenarı = $frac{11}{7} – frac{1}{7} = frac{11-1}{7} = frac{10}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise bu karenin kenarı kadardır: $frac{1}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{10}{7}$ cm’ye $frac{1}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Adım 7: Altıncı kareyi keselim.
Elimizde $frac{10}{7}$ cm’ye $frac{1}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen var. En büyük kareyi çizeceğiz.
Kısa kenarımız $frac{1}{7}$ cm. Bu uzunlukta bir kare çizebiliriz.
Kestiğimiz altıncı karenin kenarı: $frac{1}{7}$ cm.
Bu kareden sonra kalan parçanın uzun kenarı = $frac{10}{7} – frac{1}{7} = frac{9}{7}$ cm.
Kalan parçanın kısa kenarı ise bu karenin kenarı kadardır: $frac{1}{7}$ cm.
Yani, kalan parça $frac{9}{7}$ cm’ye $frac{1}{7}$ cm’lik bir dikdörtgen oldu.
Bu işlemi devam ettirdiğimizde, her adımda kısa kenarımız $frac{1}{7}$ cm olmaya devam edecek ve uzun kenardan bu $frac{1}{7}$’yi çıkaracağız. Bu da en küçük kareyi elde edene kadar devam edecek.
Bu tür sorularda aslında en küçük karenin kenarı, başlangıçtaki kenarların “öklid algoritması” ile bulunan en büyük ortak bölenine benzer bir mantıkla bulunur. Burada kesirlerle uğraştığımız için biraz daha dikkatli olmalıyız.
Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $frac{1}{7}$
- B) $frac{2}{7}$
- C) $frac{3}{7}$
- D) $frac{4}{7}$
Şimdiye kadar kestiğimiz karelerin kenarları $frac{23}{7}$, $frac{23}{7}$, $frac{12}{7}$, $frac{11}{7}$, $frac{1}{7}$… Bu en küçük kare olmayabilir. İşleme devam etmemiz gerekiyor.
Şöyle bir mantıkla ilerleyelim: Başlangıçta kenarlar $frac{58}{7}$ ve $frac{23}{7}$.
- $frac{58}{7}$’den $frac{23}{7}$’yi kaç kere çıkarabiliriz?
$frac{58}{7} = 2 times frac{23}{7} + frac{12}{7}$
Bu demek oluyor ki, $frac{58}{7}$ kenarından $frac{23}{7}$ kenarında iki tane kare çıkarabiliriz. Bu işlem sonucunda kalan parça $frac{12}{7}$’ye $frac{23}{7}$ olur. - Şimdi elimizde $frac{23}{7}$’ye $frac{12}{7}$’lik bir dikdörtgen var. $frac{23}{7}$’den $frac{12}{7}$’yi kaç kere çıkarabiliriz?
$frac{23}{7} = 1 times frac{12}{7} + frac{11}{7}$
Bir tane kare çıkarabiliriz. Kalan parça $frac{11}{7}$’ye $frac{12}{7}$ olur. - Şimdi elimizde $frac{12}{7}$’ye $frac{11}{7}$’lik bir dikdörtgen var. $frac{12}{7}$’den $frac{11}{7}$’yi kaç kere çıkarabiliriz?
$frac{12}{7} = 1 times frac{11}{7} + frac{1}{7}$
Bir tane kare çıkarabiliriz. Kalan parça $frac{1}{7}$’ye $frac{11}{7}$ olur. - Şimdi elimizde $frac{11}{7}$’ye $frac{1}{7}$’lik bir dikdörtgen var. $frac{11}{7}$’den $frac{1}{7}$’yi kaç kere çıkarabiliriz?
$frac{11}{7} = 11 times frac{1}{7} + 0$
Burada $frac{1}{7}$ kenarında 11 tane kare çıkarabiliriz ve hiç parça kalmaz.
Bu durumda elde ettiğimiz en küçük karelerin kenarı $frac{1}{7}$ cm’dir.
Soruda “en küçük kareyi elde edene kadar devam etmiştir” diyor. Bu, işlem sonucunda kalan parçanın en küçük kare olduğu anlamına gelir.
Elde ettiğimiz en küçük karenin kenar uzunluğu $frac{1}{7}$ cm’dir.
Şimdi bu karenin çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Karenin çevresi = 4 x kenar uzunluğu
Çevre = $4 times frac{1}{7} = frac{4}{7}$ cm.
Sonuç: $boxed{D) frac{4}{7}}$
11. Simay, belediyenin toplu taşıma hizmetlerinden faydalanmak için otobüs kartı alır. Otobüse bindiği her sefer için karttaki para bakiyesi düşmekte, kart sıfırlandığında ise kredi kartından otobüs kartına otomatik olarak 40 Türk lirası yüklenmektedir. Okul çıkışında sinemaya gitmek isteyen Simay ve yedi arkadaşı belediye otobüsüne binerler. Otobüs kartında 16,50 Türk lira bakiyesi olan Simay, arkadaşlarının da otobüse binme ücretlerini öderse kartında kaç Türk lirası kalır? (Bir kişi için otobüs bileti 2,25 Türk lirasıdır.)
Bu soruda Simay’ın otobüs kartında ne kadar para kalacağını bulacağız. Simay hem kendisi için hem de arkadaşları için bilet ödüyor.
Adım 1: Toplam kişi sayısını bulalım.
Simay ve 7 arkadaşı var. Yani toplam kişi sayısı:
Simay + Arkadaşlar = 1 + 7 = 8 kişi.
Adım 2: Toplam bilet ücretini hesaplayalım.
Bir kişinin otobüs bileti 2,25 Türk lirası. 8 kişi için ödenecek toplam ücret:
Toplam ücret = Kişi sayısı x Bir bilet ücreti
Toplam ücret = $8 times 2,25$
Bu işlemi yaparken, 2,25’i alt alta yazıp 8 ile çarpabiliriz:
2,25
x 8
——
18,00
Yani toplam bilet ücreti 18,00 Türk lirasıdır.
Adım 3: Kartta kalan parayı hesaplayalım.
Simay’ın otobüs kartında başlangıçta 16,50 Türk lirası vardı. Toplam bilet ücreti 18,00 Türk lirası.
Kartta kalan para = Başlangıç bakiyesi – Toplam bilet ücreti
Kartta kalan para = $16,50 – 18,00$
Burada bir sorun var! Bakiye, ödenecek ücretten daha az. Bu durumda kart sıfırlanacak ve kredi kartından otomatik para yüklenecektir. Ancak soru, “kartında kaç Türk lirası kalır?” diye soruyor ve yükleme işleminin ne zaman olacağını belirtiyor. Yükleme olayı, kart sıfırlandığında gerçekleşiyor.
Simay’ın bakiyesi 16,50 TL. Ödemesi gereken tutar 18,00 TL. Bu durumda Simay önce kendi bakiyesinden 16,50 TL öder. Kalan borç ise 18,00 – 16,50 = 1,50 TL olur. Bu 1,50 TL’yi ödemek için kart otomatik olarak kredi kartından 40 TL yükleyecektir. Bu yükleme ile kalan borç ödenecektir.
Adım 4: Kartta kalan son bakiyeyi hesaplayalım.
Otomatik yükleme 40 TL oldu. Bu 40 TL’den 1,50 TL borç ödendi.
Kalan bakiye = Yüklenen para – Ödenen borç
Kalan bakiye = $40 – 1,50$
40,00
– 1,50
——-
38,50
Sonuç: $boxed{C) 38,5}$