Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle “Sayılar ve İşlemler ile Kümeler” konusundaki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular ortak bölenler ve ortak katlar konusunu ne kadar anladığımızı görmek için harika bir fırsat. Hazırsanız, kalemlerinizi ve defterlerinizi hazırlayın, hadi başlayalım!
1. Soru: 600 ile 100 sayılarının ortak bölenlerini belirleyiniz.
Bu soruyu çözmek için iki sayıyı da kalansız bölebilen sayıları bulmamız gerekiyor. Burada size çok işinize yarayacak bir ipucu vereyim: Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise, küçük olan sayının bölenleri aynı zamanda iki sayının da ortak bölenleri olur.
Adım 1: İlk olarak 600 ve 100 sayıları arasındaki ilişkiye bakalım. 600’ü 100’e böldüğümüzde 6 çıkar, yani 600 sayısı 100’ün tam katıdır. Bu bizim işimizi çok kolaylaştırıyor!
Adım 2: Bu durumda, 100’ü bölebilen her sayı, otomatik olarak 600’ü de bölebilir. O zaman yapmamız gereken tek şey 100’ün bölenlerini (çarpanlarını) bulmaktır.
Adım 3: Şimdi 100’ün bölenlerini listeleyelim:
- 1 x 100 = 100
- 2 x 50 = 100
- 4 x 25 = 100
- 5 x 20 = 100
- 10 x 10 = 100
Sonuç: Gördüğünüz gibi 100’ün bölenleri 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100‘dür. Bu sayılar aynı zamanda 600’ün de bölenleri olduğu için, aradığımız ortak bölenler bunlardır.
2. Soru: 25 ile 40 sayılarının üç basamaklı olan ortak katlarını yazınız.
Bu soruda ise bizden hem 25’in hem de 40’ın katı olan sayıları bulmamız isteniyor, ama bir şartla: bu sayılar üç basamaklı olmalı. Ortak katları bulmanın en kolay yolu, öncelikle En Küçük Ortak Kat‘ı (EKOK) bulmaktır.
Adım 1: 25 ve 40’ın en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. Bunun için sayıların katlarını yazabiliriz veya asal çarpanlarına ayırabiliriz. Katlarını yazarak ilerleyelim:
- 25’in katları: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225…
- 40’ın katları: 40, 80, 120, 160, 200, 240…
Gördüğümüz gibi, iki sayının karşılaştığı ilk yer 200’dür. Yani EKOK(25, 40) = 200.
Adım 2: En küçük ortak katı bulduğumuza göre, diğer ortak katlar bu sayının katları olacaktır. Yani 200’ün katlarını yazacağız.
Adım 3: 200’ün katlarını listeleyelim ve üç basamaklı olanları seçelim:
- 200 x 1 = 200
- 200 x 2 = 400
- 200 x 3 = 600
- 200 x 4 = 800
- 200 x 5 = 1000 (Bu sayı dört basamaklı olduğu için listemize dahil etmiyoruz.)
Sonuç: 25 ile 40’ın üç basamaklı ortak katları 200, 400, 600 ve 800‘dür.
3. Soru: 16 ile 40 sayılarının ortak katlarından kaç tanesi 100 ile 500 arasındadır?
Bu soru da bir önceki soruya çok benziyor. Yine önce EKOK’u bulacağız, sonra da bulduğumuz EKOK’un katlarından 100 ile 500 arasında olanları sayacağız.
Adım 1: 16 ve 40’ın en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
- 16’nın katları: 16, 32, 48, 64, 80, 96…
- 40’ın katları: 40, 80, 120…
En küçük ortak katımız 80’dir. EKOK(16, 40) = 80.
Adım 2: Şimdi 80’in katlarını yazalım ve 100 ile 500 arasında olanları işaretleyelim.
- 80 x 1 = 80 (100’den küçük, o yüzden saymıyoruz.)
- 80 x 2 = 160 (100 ile 500 arasında)
- 80 x 3 = 240 (100 ile 500 arasında)
- 80 x 4 = 320 (100 ile 500 arasında)
- 80 x 5 = 400 (100 ile 500 arasında)
- 80 x 6 = 480 (100 ile 500 arasında)
- 80 x 7 = 560 (500’den büyük, o yüzden saymıyoruz.)
Adım 3: 100 ile 500 arasındaki sayıları sayalım: 160, 240, 320, 400, 480. Toplamda 5 tane sayı var.
Sonuç: 16 ile 40’ın 100 ile 500 arasında 5 tane ortak katı vardır.
4. Soru: Bir depodaki kitaplardan hiç artmayacak şekilde yirmi beşerli ve otuz beşerli paketler yapılabildiğine göre depodaki kitapların sayısı olabilecek üç adet doğal sayı yazınız.
“Hiç artmayacak şekilde” ifadesi bize kilit bilgiyi veriyor. Bu demektir ki, depodaki toplam kitap sayısı hem 25’e hem de 35’e tam olarak bölünebilmelidir. Yani, kitap sayısı 25 ve 35’in ortak bir katı olmalıdır.
Adım 1: Öncelikle 25 ve 35’in en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
- 25’in katları: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200…
- 35’in katları: 35, 70, 105, 140, 175, 210…
En küçük ortak katımız 175’tir. Yani depoda en az 175 kitap olabilir.
Adım 2: Soru bizden olabilecek “üç adet” doğal sayı istiyor. Bu sayılar, bulduğumuz EKOK’un katları olacaktır.
- 175 x 1 = 175
- 175 x 2 = 350
- 175 x 3 = 525
Sonuç: Depodaki kitap sayısı 175, 350 veya 525 olabilir. Tabii ki 175’in diğer katları da olabilir ama bizden sadece üç tane istendiği için ilk üçünü yazdık.
5. Soru: Bir market sahibi, 24 kg’lık un ve 40 kg’lık pirinci birbirine karıştırmadan ve eşit kütleli olacak şekilde paketleyip akrabalarına dağıtmak istiyor. Buna göre paketler kaçar kg’lık olabilir?
Bu soruda ise büyük çuvalları daha küçük ve “eşit kütleli” paketlere ayırmamız isteniyor. Büyükten küçüğe doğru bir bölme işlemi söz konusu. Bu bize bu sorunun ortak bölen sorusu olduğunu anlatıyor. Paketlerin kütlesi, hem 24’ü hem de 40’ı tam olarak bölebilen bir sayı olmalıdır.
Adım 1: 24 ve 40 sayılarının ortak bölenlerini bulmalıyız. Önce her bir sayının bölenlerini ayrı ayrı yazalım.
- 24’ün bölenleri:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 40’ın bölenleri:1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Adım 2: Şimdi iki listede de ortak olan sayıları işaretleyelim. Bunlar 1, 2, 4 ve 8’dir.
Sonuç: Bu demektir ki, market sahibi paketleri 1 kg’lık, 2 kg’lık, 4 kg’lık veya 8 kg’lık yapabilir. Bu ağırlıklardan herhangi birini seçtiğinde hem un hem de pirinç hiç artmadan paketlenmiş olur.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bu konular bol bol pratik yaparak pekişir. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim