Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte “Açılar ve Alan Ölçme” konusundaki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, paralelkenar ve üçgenlerin alanlarını ve yüksekliklerini ne kadar iyi anladığımızı görmemize yardımcı olacak. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, geometri bir bulmaca gibidir ve her adım bizi doğru sonuca götürür.
***
Soru 3: Aşağıdaki paralelkenar ve üçgenlerin birer kenarlarına ait yükseklikler çiziniz.
Sevgili çocuklar, bu soruda bizden çizim yapmamız isteniyor. Yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara (yani tabana) indirilen dik bir çizgidir. Dik olması demek, taban ile 90 derecelik bir açı yapması demektir. Tıpkı bir duvarın yere tam olarak dik durması gibi!
- a) şekli (Paralelkenar): Üst kenardaki bir köşeyi seçelim. Bu köşeden alt kenara (tabana) dümdüz, 90 derecelik bir açı yapacak şekilde bir çizgi indirelim. İşte bu çizgi, o tabana ait yüksekliktir.
- b) şekli (Paralelkenar): Aynı şekilde, üst köşelerden birinden alt tabana dik bir çizgi çizmemiz yeterli. Bu çizgi, bu paralelkenarın yüksekliğidir.
- c) şekli (Geniş Açılı Üçgen): Bu üçgen biraz farklı, değil mi? Üçgenin en tepesindeki köşeden tabana bir yükseklik indirmeye çalıştığımızda, çizginin üçgenin dışına taştığını görürüz. Bu çok normal! Bu durumda tabanı hayali bir çizgiyle uzatırız ve yüksekliği bu uzattığımız çizgiye dik olarak indiririz.
- ç) şekli (Dar Açılı Üçgen): Bu üçgende işimiz daha kolay. En tepedeki köşeden tabana dik bir çizgi indirdiğimizde, bu çizgi üçgenin içinde kalır. İşte bu çizgi, bu üçgenin yüksekliğidir.
***
Soru 4: ABCD paralelkenarında [AC] köşegen ve |AB| = 8 cm’dir. Pembe üçgenin alanı 28 cm² olduğuna göre |CH| kaç cm’dir?
Bu soruyu çözmek için çok önemli bir bilgiyi hatırlamalıyız. Bir paralelkenarda köşegen, paralelkenarı iki eş alana sahip üçgene ayırır.
Adım 1: Soruda bize pembe renkli ADC üçgeninin alanının 28 cm² olduğu söylenmiş. Köşegen, alanı ikiye böldüğü için diğer üçgenin, yani ABC üçgeninin alanı da ADC üçgeninin alanına eşittir. Öyleyse ABC üçgeninin alanı da 28 cm²’dir.
Adım 2: Artık ABC üçgeni ile ilgilenebiliriz. Bir üçgenin alanını nasıl buluyorduk? Alan = (Taban x Yükseklik) / 2 formülüyle, değil mi?
Adım 3: ABC üçgeninde tabanımız |AB| kenarıdır ve uzunluğu 8 cm’dir. Bu tabana ait yükseklik ise soruda bizden istenen |CH| uzunluğudur. Bildiklerimizi formülde yerine yazalım:
28 = (8 x |CH|) / 2
Adım 4: Şimdi bu denklemi çözerek |CH|’yi bulalım. Önce 8’i 2’ye bölebiliriz. 8 / 2 = 4. Denklemimiz şöyle oldu:
28 = 4 x |CH|
Hangi sayıyı 4 ile çarparsak 28 eder? Tabii ki 7!
Sonuç:
|CH| = 7 cm’dir.
***
Soru 5: KLMN paralelkenarında |NK| = 8 cm, |NA| = 6 cm, |NH| = 12 cm ise |NM| kaç cm’dir?
Arkadaşlar, bu soru paralelkenarın alanını iki farklı yoldan hesaplayabileceğimizi gösteren harika bir örnek. Bir paralelkenarın alanı sabittir, hangi kenarı ve o kenara ait yüksekliği kullanırsak kullanalım sonuç değişmez.
Adım 1: İlk olarak, bildiğimiz taban ve yükseklik çiftini kullanarak paralelkenarın alanını bulalım. Şekle baktığımızda, |KN| kenarını ve bu kenara ait olan |NH| yüksekliğini biliyoruz.
Taban = |KN| = 8 cm
Yükseklik = |NH| = 12 cm
Paralelkenarın Alanı = Taban x Yükseklik = 8 x 12 = 96 cm²
Adım 2: Artık KLMN paralelkenarının alanının 96 cm² olduğunu biliyoruz. Şimdi diğer taban ve yükseklik çiftini kullanalım. Bizden istenen |NM| kenarı, aynı zamanda |KL| kenarına eşittir ve bu bizim ikinci tabanımızdır. Bu tabana ait yükseklik ise |NA|’dır.
Taban = |NM| = ?
Yükseklik = |NA| = 6 cm
Adım 3: Alan formülünü bu değerlerle tekrar yazalım. Alanın 96 cm² olduğunu zaten bulmuştuk.
Alan = Taban x Yükseklik
96 = |NM| x 6
Adım 4: Hangi sayıyı 6 ile çarparsak 96 sonucunu buluruz? Bunu bulmak için 96’yı 6’ya bölmemiz yeterli.
96 / 6 = 16
Sonuç:
|NM| = 16 cm’dir.
***
Soru 6: Bir bahçenin planı yandaki kareli kâğıtta verilmiştir. Plana göre bahçedeki lale ekili alan ile papatya ekili alan toplam kaç br² dir?
Bu soruda kareli zemini kullanarak alanları bulacağız. Her bir kareye 1 birim (br) diyelim. Lale ekili bölgenin bir paralelkenar, papatya ekili bölgenin ise bir üçgen olduğunu görüyoruz.
Adım 1: Lale Ekili Alanı (Paralelkenar) Bulalım
Paralelkenarın tabanını sayalım: 4 birim.
Bu tabana ait yüksekliği sayalım (tabanlar arasındaki dik mesafe): 5 birim.
Lale Alanı = Taban x Yükseklik = 4 x 5 = 20 br²
Adım 2: Papatya Ekili Alanı (Üçgen) Bulalım
Üçgenin tabanını sayalım: 4 birim.
Bu tabana ait yüksekliği sayalım: 2 birim.
Papatya Alanı = (Taban x Yükseklik) / 2 = (4 x 2) / 2 = 8 / 2 = 4 br²
Adım 3: Toplam Alanı Bulalım
Soruda bizden bu iki alanın toplamı isteniyor.
Toplam Alan = Lale Alanı + Papatya Alanı = 20 + 4 = 24 br²
Sonuç:
Lale ve papatya ekili alanların toplamı 24 br²’dir.
***
Soru 7: Yandaki EDF dik üçgeninde |DE| = 24 cm, |DF| = 10 cm ve |EF| = 26 cm ise |DH| = h kaç cm’dir?
Bu soru da 5. soruya benziyor. Bir üçgenin alanını da farklı taban ve yükseklikler kullanarak hesaplayabiliriz ve sonuç hep aynı çıkar. Bu sorunun püf noktası da bu!
Adım 1: Öncelikle EDF üçgeni bir dik üçgen. Dik üçgenlerde alan bulmak çok kolaydır çünkü dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir. Dik kenarlarımız |DE| = 24 cm ve |DF| = 10 cm. Bu kenarları kullanarak alanı bulalım.
Alan = (Dik Kenar 1 x Dik Kenar 2) / 2
Alan = (24 x 10) / 2 = 240 / 2 = 120 cm²
Adım 2: Üçgenimizin alanının 120 cm² olduğunu artık biliyoruz. Şimdi alanı bir de diğer kenarı taban kabul ederek hesaplayalım. Bu sefer tabanımız |EF| kenarı olsun. Bu kenarın uzunluğu 26 cm.
Bu tabana ait yükseklik ise tam da soruda bizden istenen |DH| = h uzunluğudur.
Adım 3: Alan formülünü bu yeni taban ve yükseklik ile tekrar yazalım. Alanın 120 cm² olduğunu unutmayalım.
Alan = (Taban x Yükseklik) / 2
120 = (26 x h) / 2
Adım 4: Şimdi “h”yi bulmak için denklemi çözelim.
120 x 2 = 26 x h
240 = 26 x h
“h”yi bulmak için 240’ı 26’ya bölmemiz gerekiyor.
h = 240 / 26
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 2’ye bölelim.
Sonuç:
h = 120 / 13 cm’dir.
Harikasınız çocuklar! Bütün soruları başarıyla çözdük. Unutmayın, pratik yapmak sizi daha da güçlendirir. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!