Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugünkü konumuz Çarpanlar ve Katlar. Görseldeki soruyu birlikte analiz edelim ve adım adım çözelim. Bu konu, sayıların gizemli dünyasına harika bir başlangıç!
Soru: Sinem ve Serkan, sonucu 12 ve çarpanları doğal sayı olan kaç farklı çarpma işlemi yazılabileceğini tartışıyorlar. Sinem “Sonucu 12 olan ve çarpanları doğal sayı olan sadece 3 çarpma işlemi yazabiliriz.” derken, Serkan “Hayır, bence daha fazla çarpma işlemi yazabiliriz.” diyor. Sizce hangisi haklıdır? Nedenini açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için aslında kendimize şu basit soruyu sormamız gerekiyor: “Hangi iki doğal sayıyı çarparsak sonuç 12 olur?”. Bir sayının çarpanlarını bulmak, o sayıyı hangi sayıların kalansız böldüğünü bulmakla aynı şeydir. Hadi 12’nin çarpanlarını (yani bölenlerini) birlikte bulalım!
Adım 1: Her zaman en küçük doğal sayı olan 1 ile başlayalım. 1 ile hangi sayıyı çarparsak 12 eder?
- 1 x 12 = 12
Adım 2: Sıradaki sayımız 2. 12, 2’ye tam bölünür mü? Evet! O zaman 2 ile hangi sayıyı çarparsak 12 eder?
- 2 x 6 = 12
Adım 3: Şimdi de 3’ü deneyelim. 12, 3’e tam bölünür mü? Elbette! Peki, 3 ile hangi sayıyı çarparsak 12 sonucunu buluruz?
- 3 x 4 = 12
Adım 4: Sırada 4 var. Ama bir dakika! 4’ü zaten bir önceki adımda bulmuştuk (3 x 4). Buradan sonra bulacağımız sayılar, daha önce bulduklarımızın tekrarı olacak. Bu yüzden burada durabiliriz.
Şimdi bulduğumuz çarpma işlemlerini listeleyelim:
- 1 x 12 = 12
- 2 x 6 = 12
- 3 x 4 = 12
Gördüğümüz gibi, sonucu 12 olan 3 farklı çarpan çifti bulduk. Bu açıdan bakınca Sinem haklı görünüyor, değil mi? Sinem tam olarak 3 işlemden bahsetmişti.
Peki, Serkan neden daha fazla olabileceğini düşünmüş olabilir?
Unutmayın çocuklar, çarpma işleminde sayıların yerini değiştirdiğimizde sonuç değişmez! Buna çarpma işleminin değişme özelliği diyoruz. Yani:
- 1 x 12 = 12 olduğu gibi, 12 x 1 = 12’dir.
- 2 x 6 = 12 olduğu gibi, 6 x 2 = 12’dir.
- 3 x 4 = 12 olduğu gibi, 4 x 3 = 12’dir.
Eğer bu işlemlerin her birini ayrı bir “çarpma işlemi” olarak sayarsak, o zaman toplamda 3 değil, 6 tane işlem yazmış oluruz. Bu durumda da Serkan haklı olur.
Sonuç:
Bu soru, nasıl baktığımıza göre cevabı değişebilen zekice bir soru.
Eğer bizden istenen 12’nin farklı çarpan çiftleri ise, yani (1, 12), (2, 6) ve (3, 4) gibi, o zaman 3 tane işlem vardır ve Sinem haklıdır.
Ancak bizden istenen, sayıların yerlerinin de önemli olduğu tüm olası çarpma işlemleri ise, o zaman 6 tane işlem vardır ve Serkan haklıdır.
Genellikle “çarpanlar” konusu işlenirken çarpan çiftleri (yani ilk durum) kastedilir. Bu yüzden Sinem’in düşüncesi konunun özüne daha yakındır. Ama Serkan’ın da matematiksel olarak doğru bir noktaya değindiğini unutmayalım!