Harika bir başlangıç yapıyoruz sevgili öğrencim! Kümeler konusu matematiğin en zevkli konularından biridir. Tıpkı eşyalarımızı grupladığımız gibi sayıları ve nesneleri de gruplayacağız. Şimdi gönderdiğin görseldeki soruları birlikte, adım adım inceleyelim ve çözelim.
Soru 1: Kümeler ile İlgili Temel Kavramlar
İkiz kardeşler Erdem ile Erdinç, aynı model olan kazaklarını yataklarına dizdiler. Erdem yeşil kazaklarını, Erdinç ise desenli kazaklarını ihtiyacı olanlara dağıtmak istiyor. İkiz kardeşlerin dağıtmak istedikleri kazakların;
- Tamamının kaç tane olduğu,
- Ortak olanlarının kaç tane olduğu
bulunurken nasıl bir yol izlenmelidir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce Erdem’in ve Erdinç’in kazaklarını ayrı ayrı birer küme olarak düşünelim. Küme, belirli özelliklere sahip nesnelerin bir araya geldiği bir topluluktur, unutma!
Adım 1: Kümeleri Belirleyelim
Resme dikkatlice baktığımızda yatakların üzerindeki kazakları sayalım.
- Erdem’in yatağında yeşil kazaklar var. Bunlardan 2 tanesi düz yeşil, 2 tanesi ise desenli yeşil. Yani Erdem’in kümesi 4 elemanlı: {düz yeşil kazak, düz yeşil kazak, desenli yeşil kazak, desenli yeşil kazak}.
- Erdinç’in yatağında ise desenli kazaklar var. Bunlardan 3 tanesi desenli mavi, 2 tanesi ise desenli yeşil. Yani Erdinç’in kümesi 5 elemanlı: {desenli mavi kazak, desenli mavi kazak, desenli mavi kazak, desenli yeşil kazak, desenli yeşil kazak}.
Adım 2: Toplam Kazak Sayısını Bulalım
Dağıtmak istedikleri tüm kazakları bulmak için, iki kümedeki farklı olan bütün kazakları saymalıyız. Ancak dikkat! Aynı olan kazakları iki kere saymamalıyız.
- Erdem’in 2 tane düz yeşil kazağı var.
- Erdinç’in 3 tane desenli mavi kazağı var.
- Hem Erdem’in hem de Erdinç’in elinde olan 2 tane desenli yeşil kazak var. Bunlar ortak kazaklardır.
Şimdi hepsini toplayalım: 2 (düz yeşil) + 3 (desenli mavi) + 2 (ortak olan desenli yeşil) = 7 tane farklı kazak vardır.
Yani, toplam kazak sayısını bulmak için, iki kümenin elemanlarını birleştiririz ama ortak olanları sadece bir kez sayarız.
Adım 3: Ortak Olan Kazakları Bulalım
Ortak olan kazakları bulmak için kendimize şu soruyu sorarız: “Hangi kazaklar hem yeşil (Erdem’in kümesinde) hem de desenli (Erdinç’in kümesinde)?”
Resme baktığımızda, 2 tane desenli yeşil kazağın bu şartı sağladığını görüyoruz. Bu kazaklar her iki kümenin de elemanıdır.
Sonuç olarak, toplamda 7 tane kazak vardır ve bunlardan 2 tanesi ortaktır. İzlememiz gereken yol, önce her bir gruba (kümeye) ait elemanları belirlemek, sonra bu kümelerin birleşimini (tüm elemanlar) ve kesişimini (ortak elemanlar) bulmaktır.
Soru 2: Örnek
Yandaki tahtada, K ve L kümeleri liste yöntemi ile verilmiştir. K ve L kümelerinin elemanlarını sembol kullanarak gösteriniz. Elemanların tamamını ve ortak olanları yazınız.
K = {2, 3, 5, 9}
L = {1, 3, 5, 7, 11}
Çözüm:
Bu da çok kolay bir alıştırma. “Elemanıdır” sembolü olan ∈ işaretini kullanacağız. Bu işaret, bir sayının veya nesnenin o kümenin içinde olduğunu gösterir.
Adım 1: Elemanları Sembolle Gösterelim
K kümesinin elemanları için:
- 2 ∈ K (2, K kümesinin elemanıdır.)
- 3 ∈ K (3, K kümesinin elemanıdır.)
- 5 ∈ K (5, K kümesinin elemanıdır.)
- 9 ∈ K (9, K kümesinin elemanıdır.)
L kümesinin elemanları için:
- 1 ∈ L (1, L kümesinin elemanıdır.)
- 3 ∈ L (3, L kümesinin elemanıdır.)
- 5 ∈ L (5, L kümesinin elemanıdır.)
- 7 ∈ L (7, L kümesinin elemanıdır.)
- 11 ∈ L (11, L kümesinin elemanıdır.)
Adım 2: Elemanların Tamamını Yazalım (Birleşim Kümesi)
Elemanların tamamını bulmak için K ve L kümelerindeki bütün sayıları yazarız. Ama unutma, bir sayıyı sadece bir kere yazarız. Haydi, K kümesinin elemanlarını yazarak başlayalım, sonra L kümesinden daha önce yazmadığımız sayıları ekleyelim.
K’den gelenler: 2, 3, 5, 9
L’den ekleyeceklerimiz (3 ve 5’i zaten yazdık): 1, 7, 11
O zaman elemanların tamamı: {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}
Adım 3: Ortak Olan Elemanları Yazalım (Kesişim Kümesi)
Şimdi de hem K kümesinde hem de L kümesinde olan sayıları bulalım. İki listeye de dikkatlice bakalım.
K = {2, 3, 5, 9}
L = {1, 3, 5, 7, 11}
Gördüğün gibi, 3 ve 5 sayıları her iki kümede de var. İşte bunlar bizim ortak elemanlarımız!
Ortak olan elemanlar: {3, 5}
Harika iş çıkardın! Kümeler konusuna çok iyi bir başlangıç yaptık. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin.