Merhaba sevgili öğrencilerim,
Harika bir gün! Bugün sizlerle birlikte 6. Ünite’deki bazı ilginç geometri sorularını çözeceğiz. Kalemlerinizi ve defterlerinizi hazırlayın, çünkü çemberlerin ve prizmaların dünyasına keyifli bir yolculuk yapacağız. Unutmayın, matematikte her sorunun mantıklı bir çözümü vardır ve biz bu çözümleri adım adım birlikte bulacağız.
Haydi başlayalım!
***
Soru 5: Yarıçap uzunluklarının oranı 1/2 olan O ve M merkezli çemberlerin uzunluklarının oranı kaçtır?
Merhaba çocuklar, bu soru aslında bize çok önemli bir kuralı öğretmek için sorulmuş. Çemberin çevresi ile yarıçapı arasında dosdoğru bir ilişki vardır. Bakalım bu ilişki neymiş?
Çözüm:
- Adım 1: Soruyu daha iyi anlamak için kendimiz sayılar verelim. O merkezli küçük çemberin yarıçapına (r₁) 1 cm diyelim. Yarıçapların oranı 1/2 olduğuna göre, M merkezli büyük çemberin yarıçapı (r₂) küçük olanın 2 katı olmalı, yani 2 cm olur.
- Adım 2: Şimdi her iki çemberin de çevre uzunluklarını bulalım. Çemberin çevre formülü neydi? Çevre = 2 x π x r. (Burada π sayısını sembol olarak bırakabiliriz çünkü oran bulurken birbirini götürecek.)
- Küçük Çemberin (O) Çevresi: 2 x π x 1 = 2π
- Büyük Çemberin (M) Çevresi: 2 x π x 2 = 4π
- Adım 3: Soru bizden bu çemberlerin çevre uzunluklarının oranını istiyor. Yani küçük çemberin çevresini büyük çemberin çevresine böleceğiz.
Oran = (Küçük Çemberin Çevresi) / (Büyük Çemberin Çevresi) = (2π) / (4π)
Burada hem payda hem de paydada olan π’ler birbirini sadeleştirir. Geriye 2/4 kalır. Bu kesri de en sade haline getirirsek 1/2 buluruz.
Sonuç:
Gördüğünüz gibi, çemberlerin yarıçaplarının oranı ne ise, çevrelerinin oranı da birebir aynıdır. Bu harika bir kural! Yani yarıçap oranı 1/2 ise, çevre oranı da 1/2‘dir.
***
Soru 6: Yandaki şekil, A merkezli bir yarım çember ve [BC] çapından oluşmaktadır. |BC| = 20 cm olduğuna göre şeklin çevre uzunluğu kaç cm’dir? (π’yi 3,14 alınız.)
Bu soruda dikkat etmemiz gereken çok önemli bir nokta var! Şeklin çevresi dendiğinde, şeklin etrafındaki tüm kenarları düşünmeliyiz. Yani sadece yay uzunluğunu değil, düz olan çap uzunluğunu da hesaba katmalıyız.
Çözüm:
- Adım 1: Şeklin çevresi iki kısımdan oluşuyor:
- Yarım çemberin yay uzunluğu (eğri olan kısım).
- [BC] doğru parçasının uzunluğu, yani çap (düz olan kısım).
- Adım 2: Önce yarım çemberin yay uzunluğunu bulalım. Bunun için bize yarıçap (r) lazım. Çap (|BC|) 20 cm ise, yarıçap bunun yarısıdır.
r = 20 / 2 = 10 cm
- Adım 3: Şimdi tam bir çemberin çevresini hesaplayalım, sonra da ikiye böleriz.
Tam Çevre = 2 x π x r
Tam Çevre = 2 x 3,14 x 10
Tam Çevre = 62,8 cmBizim şeklimiz yarım çember olduğu için bu çevrenin yarısını almalıyız.
Yay Uzunluğu = 62,8 / 2 = 31,4 cm- Adım 4: Artık şeklin toplam çevresini bulabiliriz. Yay uzunluğu ile çap uzunluğunu toplamalıyız.
Şeklin Çevresi = (Yay Uzunluğu) + (Çap Uzunluğu)
Şeklin Çevresi = 31,4 + 20
Şeklin Çevresi = 51,4 cmSonuç:
Şeklin çevre uzunluğu 51,4 cm‘dir.
***
Soru 7: İzometrik kâğıda, hacmi 10 birimküp olan iki farklı dikdörtgenler prizması ve prizma olmayan bir yapı çiziniz.
Bu soru bizim hayal gücümüzü ve üç boyutlu düşünme yeteneğimizi kullanmamızı istiyor. Hacim, bir cismin içini dolduran birim küp sayısıdır. Hacmi 10 birimküp olan yapılar oluşturmak için 10 tane minik küpü birleştireceğiz.
Çözüm:
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, en x boy x yükseklik formülüyle bulunur. Hacmin 10 olması için bu üç sayının çarpımının 10 olması gerekir. 10’un çarpanları nelerdir? 1, 2, 5, 10.
- Adım 1: Birinci Dikdörtgenler Prizması
Çarpımları 10 olan üç sayı bulalım. Örneğin: 1, 2 ve 5.
Nasıl çizeriz? İzometrik kağıdın noktalarını birleştirerek tabanı 2 birime 5 birim olan bir dikdörtgen çizin. Sonra bu tabanın her köşesinden 1 birim yukarıya doğru çizgiler çizip üst tabanı oluşturun. İşte size eni 2, boyu 5, yüksekliği 1 birim olan bir prizma!
- Adım 2: İkinci Dikdörtgenler Prizması
Çarpımları 10 olan başka üç sayı düşünelim. Mesela: 1, 1 ve 10.
Nasıl çizeriz? Bu sefer tabanı 1 birime 1 birim olan, yani küçücük bir kare olan bir prizma çizeceğiz. Bu kare tabandan tam 10 birim yukarıya doğru uzanan, ince ve uzun bir kule gibi bir yapı çizin. Bu da hacmi 10 birimküp olan farklı bir prizmadır.
- Adım 3: Prizma Olmayan Bir Yapı
Şimdi işin eğlenceli kısmına geldik! 10 küpü kullanarak bir prizma oluşturmayacağız. Küpleri daha serbest bir şekilde birleştirebiliriz.
Nasıl çizeriz? Mesela 9 tane küpü kullanarak yerde 3’e 3’lük bir kare zemin yapın. Sonra kalan 1 küpü de bu karenin tam ortasındaki küpün üzerine koyun. Veya L harfine benzeyen bir şekil yapabilirsiniz. Önemli olan, toplamda 10 tane birim küp kullanmak ve şeklin düzgün bir kutu (prizma) gibi olmamasıdır.
Sonuç:
İzometrik kâğıdınıza, boyutları 1x2x5 olan bir prizma, boyutları 1x1x10 olan ikinci bir prizma ve 10 küpten oluşan merdiven gibi veya L harfi gibi serbest bir yapı çizerek bu soruyu tamamlayabilirsiniz. Hayal gücünüzü kullanın!
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, pratik yapmak matematiği sevmenin ve başarmanın en iyi yoludur. Başka sorularda görüşmek üzere